พื้นที่วงกลม

วงกลม (Circle) เป็นรูปเรขาคณิตสองมิติที่จุดทุกจุดบนเส้นรอบวงมีระยะห่างจาก "จุดศูนย์กลาง" เท่ากันเสมอ ระยะห่างนั้นเรียกว่า "รัศมี" ($r$) ในบทเรียนนี้เราจะมาเรียนรู้การหาพื้นที่ของวงกลมในรูปแบบต่างๆ โดยใช้ค่าคงที่ $\pi$ (พาย) ซึ่งมีค่าประมาณ $3.14$ หรือ $\frac{22}{7}$

A Circle is a 2D geometric shape where all points on the boundary are at an equal distance from the "center". This distance is called the "radius" ($r$). In this lesson, we will learn how to calculate the area of circles in various forms using the constant $\pi$ (Pi), which is approximately $3.14$ or $\frac{22}{7}$.

🟣 ส่วนประกอบของวงกลม 🟣 Parts of a Circle

ส่วนประกอบและสมบัติสำคัญของวงกลม:

จุดศูนย์กลาง (Center : $O$): จุดคงที่ศูนย์กลางที่จุดทุกจุดบนเส้นรอบวงมีระยะห่างเท่ากันเสมอ
รัศมี (Radius : $r$): ระยะจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นรอบวง เป็นครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง ($r = \frac{d}{2}$)
เส้นผ่านศูนย์กลาง (Diameter : $d$): ส่วนของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางเชื่อมขอบทั้งสองฝั่ง ยาวเป็น 2 เท่าของรัศมี ($d = 2r$) และเป็น คอร์ดที่ยาวที่สุด ของวงกลม
เส้นรอบวง (Circumference : $C$): ความยาวของเส้นรอบขอบวงกลม คำนวณจาก $2\pi r$ หรือ $\pi d$
คอร์ด (Chord): ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุด $2$ จุดใดๆ บนเส้นรอบวง
เส้นตัดวงกลม (Secant Line): เส้นตรงที่ลากตัดผ่านวงกลมและตัดกับเส้นรอบวง 2 จุด
เส้นสัมผัสวงกลม (Tangent Line): เส้นตรงที่สัมผัสเส้นรอบวงเพียง 1 จุด (จุดสัมผัส) และ ตั้งฉากกับรัศมี ($90^\circ$) ณ จุดสัมผัสนั้นเสมอ
เซกเตอร์ (Sector): บริเวณหรือพื้นที่รูปพัด (ชิ้นพาย) ที่ล้อมรอบด้วยรัศมี $2$ เส้น และส่วนโค้งของวงกลม
เซกเมนต์ (Segment): บริเวณหรือพื้นที่ของวงกลมที่ถูกปิดล้อมด้วย คอร์ด และ ส่วนโค้งของวงกลม (พื้นที่รูปเสี้ยววงกลมที่ถูกคอร์ดตัดแบ่ง)

Key Components and Properties of a Circle:

Center ($O$): The central fixed point equidistant to every point on the circumference.
Radius ($r$): Distance from the center to any point on the boundary, equal to half the diameter ($r = \frac{d}{2}$).
Diameter ($d$): A segment passing through the center connecting two boundary points, twice the radius ($d = 2r$), and the longest chord of the circle.
Circumference ($C$): The perimeter of the circle, given by $2\pi r$ or $\pi d$.
Chord: A straight segment connecting any two points on the circumference.
Secant Line: A straight line that passes through the circle intersecting it at two distinct points.
Tangent Line: A line touching the circumference at exactly one point (point of tangency) and is always perpendicular ($90^\circ$) to the radius at that point.
Sector: A pie-slice shaped area bounded by two radii and their intercepted arc.
Segment: The region of a circle bounded by a chord and its corresponding circular arc.

🔵 พื้นที่วงกลมเต็มรูป 🔵 Full Circle Area

สูตรการหาพื้นที่และความยาวรอบรูป:

สูตร 1: การหาพื้นที่วงกลม (Area)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \pi \times \color{#d84315}{\text{รัศมี}}^2 \\ &= \pi r^2 \ \text{หรือ} \ \left(\frac{\pi d^2}{4}\right) \end{aligned} $$

สูตร 2: ความยาวรอบรูปวงกลม (Circumference)

$$ \begin{aligned} \text{ความยาวรอบรูป} &= 2\pi r \\&= \pi d \end{aligned} $$

Area & Circumference Formulas:

Formula 1: Area of a Circle

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \pi \times \color{#d84315}{\text{radius}}^2 \\ &= \pi r^2 \ \text{or} \ \left(\frac{\pi d^2}{4}\right) \end{aligned} $$

Formula 2: Circumference of a Circle

$$ \begin{aligned} \text{Circumference} &= 2\pi r \\&= \pi d \end{aligned} $$

Example 2.1

วงกลมรูปหนึ่งมีรัศมียาว $7$ ซม. จงหาพื้นที่ของวงกลมนี้ (กำหนดให้ $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \pi r^2 \\ &\approx \frac{22}{7} \times 7^2 \\ &= \frac{22}{7} \times 49 \\ &= 22 \times 7 \\ &= 154 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A circle has a radius of $7$ cm. Find the area of this circle. (Use $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \pi r^2 \\ &\approx \frac{22}{7} \times 7^2 \\ &= \frac{22}{7} \times 49 \\ &= 22 \times 7 \\ &= 154 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 2.2

วงกลมรูปหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว $10$ ม. จงหาพื้นที่ของวงกลมนี้ (กำหนดให้ $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \text{รัศมี } (r) &= \frac{d}{2} \\ &= \frac{10}{2} \\&= 5 \text{ ม.} \\ \text{พื้นที่} &= \pi r^2 \\ &\approx 3.14 \times 5^2 \\ &= 3.14 \times 25 \\ &= 78.5 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A circle has a diameter of $10$ m. Find the area of this circle. (Use $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \text{Radius } (r) &= \frac{d}{2} \\&= \frac{10}{2} \\&= 5 \text{ m} \\ \text{Area} &= \pi r^2 \\ &\approx 3.14 \times 5^2 \\ &= 3.14 \times 25 \\ &= 78.5 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

Example 2.3

วงกลมรูปหนึ่งมีรัศมียาว $14$ นิ้ว จงหาความยาวรอบรูปของวงกลมนี้ (กำหนดให้ $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{ความยาวรอบรูป} &= 2\pi r \\ &\approx 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \\ &= 2 \times 22 \times 2 \\ &= 88 \text{ นิ้ว} \end{aligned} $$

A circle has a radius of $14$ inches. Find the circumference of this circle. (Use $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{Circumference} &= 2\pi r \\ &\approx 2 \times \frac{22}{7} \times 14 \\ &= 2 \times 22 \times 2 \\ &= 88 \text{ inches} \end{aligned} $$

Example 2.4

วงกลมรูปหนึ่งมีพื้นที่ $616$ ตร.ซม. จงหารัศมีของวงกลมนี้ (กำหนดให้ $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \pi r^2 \\ 616 &= \frac{22}{7} \times r^2 \\ r^2 &= 616 \times \frac{7}{22} \\ r^2 &= 28 \times 7 \\ r^2 &= 196 \\ r &= \sqrt{196} \\ &= 14 \text{ ซม.} \end{aligned} $$

A circle has an area of $616$ cm$^2$. Find its radius. (Use $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \pi r^2 \\ 616 &= \frac{22}{7} \times r^2 \\ r^2 &= 616 \times \frac{7}{22} \\ r^2 &= 28 \times 7 \\ r^2 &= 196 \\ r &= \sqrt{196} \\ &= 14 \text{ cm} \end{aligned} $$

Example 2.5

วงกลมรูปหนึ่งมีความยาวรอบรูป $44$ ม. จงหาพื้นที่ของวงกลมนี้ (กำหนดให้ $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{ความยาวรอบรูป} &= 2\pi r \\ 44 &= 2 \times \frac{22}{7} \times r \\ 44 &= \frac{44}{7} \times r \\ r &= 44 \times \frac{7}{44} \\ &= 7 \text{ ม.} \\ \text{พื้นที่} &= \pi r^2 \\ &\approx \frac{22}{7} \times 7^2 \\ &= 22 \times 7 \\ &= 154 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A circle has a circumference of $44$ m. Find the area of this circle. (Use $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{Circumference} &= 2\pi r \\ 44 &= 2 \times \frac{22}{7} \times r \\ 44 &= \frac{44}{7} \times r \\ r &= 44 \times \frac{7}{44} \\ &= 7 \text{ m} \\ \text{Area} &= \pi r^2 \\ &\approx \frac{22}{7} \times 7^2 \\ &= 22 \times 7 \\ &= 154 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

Example 2.6

วงกลมสองวงมีอัตราส่วนของรัศมีเป็น $1:3$ จงหาอัตราส่วนของพื้นที่วงกลมทั้งสองรูปนี้

$$ \begin{aligned} \frac{\text{พื้นที่}_1}{\text{พื้นที่}_2} &= \frac{\pi (r_1)^2}{\pi (r_2)^2} \\ &= \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \\ &= \left(\frac{1}{3}\right)^2 \\ &= \frac{1}{9} \\ \text{ดังนั้นอัตราส่วนพื้นที่คือ} &= 1:9 \end{aligned} $$

Two circles have radii in the ratio of $1:3$. Find the ratio of their areas.

$$ \begin{aligned} \frac{\text{Area}_1}{\text{Area}_2} &= \frac{\pi (r_1)^2}{\pi (r_2)^2} \\ &= \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \\ &= \left(\frac{1}{3}\right)^2 \\ &= \frac{1}{9} \\ \text{Therefore, the ratio of areas is} &= 1:9 \end{aligned} $$

Example 2.7

สนามหญ้ารูปวงกลมมีรัศมียาว $10$ ม. ถ้าต้องการปลูกหญ้าโดยมีค่าใช้จ่ายตารางเมตรละ $50$ บาท จะต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท? (กำหนดให้ $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \pi r^2 \\ &\approx 3.14 \times 10^2 \\ &= 3.14 \times 100 \\ &= 314 \text{ ตร.ม.} \\ \text{ค่าใช้จ่ายทั้งหมด} &= 314 \times 50 \\ &= 15,700 \text{ บาท} \end{aligned} $$

A circular lawn has a radius of $10$ m. If planting grass costs $50$ THB per square meter, what is the total cost? (Use $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \pi r^2 \\ &\approx 3.14 \times 10^2 \\ &= 3.14 \times 100 \\ &= 314 \text{ m}^2 \\ \text{Total Cost} &= 314 \times 50 \\ &= 15,700 \text{ THB} \end{aligned} $$

🌗 พื้นที่ครึ่งวงกลม 🌗 Semicircle Area

สูตรการหาพื้นที่และความยาวรอบรูปครึ่งวงกลม:

สูตร 1: การหาพื้นที่ครึ่งวงกลม (Area)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่ครึ่งวงกลม} &= \frac{\pi r^2}{2} \\ &= \frac{\pi d^2}{8} \end{aligned} $$

สูตร 2: ความยาวรอบรูปครึ่งวงกลม (Perimeter รวมฐาน)

$$ \begin{aligned} \text{ความยาวรอบรูป} &= \text{ส่วนโค้ง} + \text{เส้นผ่านศูนย์กลาง} \\ &= \pi r + 2r \ \text{หรือ} \ (\pi r + d) \end{aligned} $$

Semicircle Area & Perimeter Formulas:

Formula 1: Semicircle Area

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{\pi r^2}{2} \\ &= \frac{\pi d^2}{8} \end{aligned} $$

Formula 2: Semicircle Perimeter (Including Base)

$$ \begin{aligned} \text{Perimeter} &= \text{Arc} + \text{Diameter} \\ &= \pi r + 2r \ \text{or} \ (\pi r + d) \end{aligned} $$

Example 3.1

จงหาพื้นที่ของครึ่งวงกลมที่มีรัศมี $14$ ซม. (กำหนดให้ $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{\pi r^2}{2} \\ &\approx \frac{\frac{22}{7} \times 14^2}{2} \\ &= \frac{616}{2} \\ &= 308 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

Find the area of a semicircle with a radius of $14$ cm. (Use $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{\pi r^2}{2} \\ &\approx \frac{\frac{22}{7} \times 14^2}{2} \\ &= \frac{616}{2} \\ &= 308 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหาพื้นที่ครึ่งวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $20$ เมตร (กำหนดให้ $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \text{จะได้ } r &= \frac{20}{2} = 10 \\ \text{พื้นที่} &= \frac{\pi r^2}{2} \\ &\approx \frac{3.14 \times 10^2}{2} \\ &= \frac{314}{2} \\ &= 157 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

Find the area of a semicircle with a diameter of $20$ m. (Use $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \text{Thus, } r &= \frac{20}{2} = 10 \\ \text{Area} &= \frac{\pi r^2}{2} \\ &\approx \frac{3.14 \times 10^2}{2} \\ &= \frac{314}{2} \\ &= 157 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

Example 3.3

จงหาความยาวรอบรูปของแผ่นไม้รูปครึ่งวงกลมที่มีรัศมี $7$ ซม. (กำหนดให้ $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{ความยาวรอบรูป} &= \pi r + 2r \\ &\approx \left(\frac{22}{7} \times 7\right) + (2 \times 7) \\ &= 22 + 14 \\ &= 36 \text{ ซม.} \end{aligned} $$

Find the perimeter of a semicircular wooden board with a radius of $7$ cm. (Use $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{Perimeter} &= \pi r + 2r \\ &\approx \left(\frac{22}{7} \times 7\right) + (2 \times 7) \\ &= 22 + 14 \\ &= 36 \text{ cm} \end{aligned} $$

Example 3.4

ครึ่งวงกลมมีพื้นที่ $77$ ตร.ซม. จงหารัศมี (กำหนดให้ $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \frac{\pi r^2}{2} &= 77 \\ \frac{22}{7} \times r^2 &= 77 \times 2 \\ \frac{22}{7} \times r^2 &= 154 \\ r^2 &= 154 \times \frac{7}{22} \\ r^2 &= 49 \\ r &= 7 \text{ ซม.} \end{aligned} $$

A semicircle has an area of $77$ cm². Find its radius. (Use $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \frac{\pi r^2}{2} &= 77 \\ \frac{22}{7} \times r^2 &= 77 \times 2 \\ \frac{22}{7} \times r^2 &= 154 \\ r^2 &= 154 \times \frac{7}{22} \\ r^2 &= 49 \\ r &= 7 \text{ cm} \end{aligned} $$

Example 3.5

หน้าต่างรูปครึ่งวงกลมมีรัศมี $3$ ฟุต จงหาพื้นที่ของกระจกที่ใช้ทำหน้าต่างนี้ (กำหนดให้ $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{\pi r^2}{2} \\ &\approx \frac{3.14 \times 3^2}{2} \\ &= \frac{3.14 \times 9}{2} \\ &= \frac{28.26}{2} \\ &= 14.13 \text{ ตร.ฟุต} \end{aligned} $$

A semicircular window has a radius of $3$ feet. Find the area of the glass used. (Use $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{\pi r^2}{2} \\ &\approx \frac{3.14 \times 3^2}{2} \\ &= \frac{3.14 \times 9}{2} \\ &= \frac{28.26}{2} \\ &= 14.13 \text{ sq ft} \end{aligned} $$

Example 3.6

สระน้ำรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด $14 \times 20$ เมตร มีส่วนโค้งครึ่งวงกลมต่อยื่นออกมาที่ด้านกว้างทั้งสองฝั่ง จงหาพื้นที่ทั้งหมดของสระน้ำ (กำหนดให้ $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่สี่เหลี่ยม} &= 14 \times 20 \\&= 280 \\ \text{พื้นที่โค้ง } 2 \text{ ฝั่ง} &= 2 \times \left(\frac{\pi r^2}{2}\right) \\&= \pi r^2 \\ \text{รัศมี } r &= \frac{14}{2} \\&= 7 \\ \text{พื้นที่วงกลมรวม} &= \frac{22}{7} \times 7^2 \\&= 154 \\ \text{พื้นที่รวม} &= 280 + 154 \\&= 434 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A rectangular pool $14 \times 20$ m has semicircular extensions on both width sides. Find the total area. (Use $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{Rectangle Area} &= 14 \times 20 \\&= 280 \\ \text{Area of } 2 \text{ curves} &= 2 \times \left(\frac{\pi r^2}{2}\right) \\&= \pi r^2 \\ \text{Radius } r &= \frac{14}{2} \\&= 7 \\ \text{Total Circular Area} &= \frac{22}{7} \times 7^2 \\&= 154 \\ \text{Total Area} &= 280 + 154 \\&= 434 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

Example 3.7

เส้นโค้งครึ่งวงกลม (ไม่รวมเส้นผ่านศูนย์กลาง) มีความยาว $31.4$ ซม. จงหาพื้นที่ครึ่งวงกลมนี้ (กำหนดให้ $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \pi r &= 31.4 \\ 3.14 \times r &= 31.4 \\ r &= 10 \\ \text{พื้นที่} &= \frac{\pi r^2}{2} \\ &\approx \frac{3.14 \times 10^2}{2} \\ &= 157 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A semicircular arc (excluding diameter) has a length of $31.4$ cm. Find the semicircle's area. (Use $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \pi r &= 31.4 \\ 3.14 \times r &= 31.4 \\ r &= 10 \\ \text{Area} &= \frac{\pi r^2}{2} \\ &\approx \frac{3.14 \times 10^2}{2} \\ &= 157 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

🍕 พื้นที่ส่วนของวงกลม (เซกเตอร์) 🍕 Sector Area

สูตรการหาพื้นที่และความยาวรอบรูปเซกเตอร์:

สูตร 1: การหาพื้นที่เซกเตอร์ (Sector Area)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่เซกเตอร์} &= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \end{aligned} $$

สูตร 2: ความยาวส่วนโค้งและรอบรูป (Arc Length & Perimeter)

$$ \begin{aligned} \text{ความยาวส่วนโค้ง } (L) &= \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \\ \text{ความยาวรอบรูป} &= L + 2r \end{aligned} $$

Sector Area & Perimeter Formulas:

Formula 1: Sector Area

$$ \begin{aligned} \text{Sector Area} &= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \end{aligned} $$

Formula 2: Arc Length & Sector Perimeter

$$ \begin{aligned} \text{Arc Length } (L) &= \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \\ \text{Perimeter} &= L + 2r \end{aligned} $$

Example 4.1

จงหาพื้นที่ของเซกเตอร์ที่มีมุมศูนย์กลาง $90^\circ$ (เสี้ยววงกลม) และมีรัศมี $14$ ซม. (กำหนดให้ $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ &= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14^2 \\ &= \frac{1}{4} \times 616 \\ &= 154 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

Find the area of a sector with a central angle of $90^\circ$ (quarter circle) and a radius of $14$ cm. (Use $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ &= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14^2 \\ &= \frac{1}{4} \times 616 \\ &= 154 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 4.2

จงหาพื้นที่เซกเตอร์ที่มีรัศมี $12$ นิ้ว และมุมศูนย์กลาง $60^\circ$ (กำหนดให้ $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ &= \frac{1}{6} \times 3.14 \times 12^2 \\ &= \frac{1}{6} \times 3.14 \times 144 \\ &= 3.14 \times 24 \\ &= 75.36 \text{ ตร.นิ้ว} \end{aligned} $$

Find the area of a sector with a radius of $12$ inches and a central angle of $60^\circ$. (Use $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ &= \frac{1}{6} \times 3.14 \times 12^2 \\ &= \frac{1}{6} \times 3.14 \times 144 \\ &= 3.14 \times 24 \\ &= 75.36 \text{ sq inches} \end{aligned} $$

Example 4.3

พิซซ่าถาดหนึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลาง $16$ นิ้ว ถูกตัดออกเป็น $8$ ชิ้นเท่าๆ กัน จงหาพื้นที่ของพิซซ่า $1$ ชิ้น (กำหนดให้ $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \text{มุม } 1 \text{ ชิ้น } (\theta) &= \frac{360^\circ}{8} \\&= 45^\circ \\ \text{รัศมี } (r) &= \frac{16}{2} \\&= 8 \\ \text{พื้นที่} &= \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ &= \frac{1}{8} \times 3.14 \times 8^2 \\ &= \frac{1}{8} \times 3.14 \times 64 \\ &= 3.14 \times 8 \\&= 25.12 \text{ ตร.นิ้ว} \end{aligned} $$

A pizza with a $16$-inch diameter is cut into $8$ equal slices. Find the area of $1$ slice. (Use $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \text{Angle of } 1 \text{ slice } (\theta) &= \frac{360^\circ}{8} \\&= 45^\circ \\ \text{Radius } (r) &= \frac{16}{2} \\&= 8 \\ \text{Area} &= \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ &= \frac{1}{8} \times 3.14 \times 8^2 \\ &= \frac{1}{8} \times 3.14 \times 64 \\ &= 3.14 \times 8 \\&= 25.12 \text{ sq inches} \end{aligned} $$

Example 4.4

เซกเตอร์หนึ่งมีพื้นที่ $77$ ตร.ซม. และมีรัศมี $14$ ซม. จงหามุมที่จุดศูนย์กลาง (กำหนดให้ $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 &= 77 \\ \frac{\theta}{360^\circ} \times \left(\frac{22}{7} \times 14^2\right) &= 77 \\ \frac{\theta}{360^\circ} \times 616 &= 77 \\ \theta &= \frac{77 \times 360^\circ}{616} \\ \theta &= 45^\circ \end{aligned} $$

A sector has an area of $77$ cm² and a radius of $14$ cm. Find the central angle. (Use $\pi \approx \frac{22}{7}$)

Example 4.5

พัดกระดาษกางออกทำมุม $120^\circ$ วัดรัศมีได้ $21$ ซม. จงหาพื้นที่กระดาษของพัด (กำหนดให้ $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ &= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21^2 \\ &= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 441 \\ &= 1 \times 22 \times 21 \\ &= 462 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A paper fan opens to a $120^\circ$ angle with a radius of $21$ cm. Find the area of the paper. (Use $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ &= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 21^2 \\ &= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 441 \\ &= 1 \times 22 \times 21 \\ &= 462 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 4.6

เซกเตอร์หนึ่งมีพื้นที่ $157$ ตร.ซม. และมีมุมที่ศูนย์กลาง $72^\circ$ จงหารัศมี (กำหนดให้ $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \frac{72^\circ}{360^\circ} \times 3.14 \times r^2 &= 157 \\ \frac{1}{5} \times 3.14 \times r^2 &= 157 \\ r^2 &= \frac{157 \times 5}{3.14} \\ r^2 &= 50 \times 5 \\ r^2 &= 250 \\ r &= \sqrt{250} \\& \approx 15.81 \text{ ซม.} \end{aligned} $$

A sector has an area of $157$ cm² and a central angle of $72^\circ$. Find the radius. (Use $\pi \approx 3.14$)

Example 4.7

ลู่วิ่งโค้งมีรัศมี $35$ เมตร กวาดมุม $72^\circ$ จงหาพื้นที่ของเซกเตอร์นี้ (กำหนดให้ $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{72^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ &= \frac{1}{5} \times \frac{22}{7} \times 35^2 \\ &= \frac{1}{5} \times \frac{22}{7} \times 1225 \\ &= 1 \times 22 \times 35 \\ &= 770 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A curved track has a radius of $35$ meters and sweeps a $72^\circ$ angle. Find the area of this sector. (Use $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{72^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ &= \frac{1}{5} \times \frac{22}{7} \times 35^2 \\ &= \frac{1}{5} \times \frac{22}{7} \times 1225 \\ &= 1 \times 22 \times 35 \\ &= 770 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

🍩 พื้นที่วงแหวน 🍩 Annulus Area

สูตรการหาพื้นที่วงแหวน:

สูตรการหาพื้นที่วงแหวน (Annulus Area)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่วงแหวน} &= \color{#6a1b9a}{\pi} \color{#d84315}{R}^2 - \color{#6a1b9a}{\pi} \color{#00838f}{r}^2 \\ &= \color{#6a1b9a}{\pi}(\color{#d84315}{R}^2 - \color{#00838f}{r}^2) \end{aligned} $$

Annulus Area Formula:

Annulus Area Formula

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \color{#6a1b9a}{\pi} \color{#d84315}{R}^2 - \color{#6a1b9a}{\pi} \color{#00838f}{r}^2 \\ &= \color{#6a1b9a}{\pi}(\color{#d84315}{R}^2 - \color{#00838f}{r}^2) \end{aligned} $$

Example 5.1

จงหาพื้นที่วงแหวนที่มีรัศมีวงใหญ่ $7$ ซม. และวงเล็ก $5$ ซม. (ติดค่า $\pi$ ไว้)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \pi(R^2 - r^2) \\ &= \pi(7^2 - 5^2) \\ &= \pi(49 - 25) \\ &= 24\pi \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

Find the area of an annulus with outer radius $7$ cm and inner radius $5$ cm. (Leave in terms of $\pi$)

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \pi(R^2 - r^2) \\ &= \pi(7^2 - 5^2) \\ &= \pi(49 - 25) \\ &= 24\pi \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 5.2

จงหาพื้นที่วงแหวนเมื่อ $R=14$ และ $r=7$ (กำหนดให้ $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \pi(R-r)(R+r) \\ &\approx \frac{22}{7} \times (14-7)(14+7) \\ &= \frac{22}{7} \times (7)(21) \\ &= 22 \times 21 \\ &= 462 \text{ ตร.หน่วย} \end{aligned} $$

Find the area of an annulus where $R=14$ and $r=7$. (Use $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \pi(R-r)(R+r) \\ &\approx \frac{22}{7} \times (14-7)(14+7) \\ &= \frac{22}{7} \times (7)(21) \\ &= 22 \times 21 \\ &= 462 \text{ sq units} \end{aligned} $$

Example 5.3

สระน้ำวงกลมมีรัศมี $10$ เมตร มีทางเดินรอบสระกว้าง $2$ เมตร จงหาพื้นที่ทางเดิน (กำหนดให้ $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \text{รัศมีสระ } (r) &= 10 \\ \text{รัศมีรวมทางเดิน } (R) &= 10 + 2 \\&= 12 \\ \text{พื้นที่ทางเดิน} &= \pi(R^2 - r^2) \\ &\approx 3.14 \times (12^2 - 10^2) \\ &= 3.14 \times (144 - 100) \\ &= 3.14 \times 44 \\ &= 138.16 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A circular pool has a radius of $10$ m. A path $2$ m wide surrounds it. Find the path's area. (Use $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} \text{Pool radius } (r) &= 10 \\ \text{Total radius } (R) &= 10 + 2 \\&= 12 \\ \text{Path Area} &= \pi(R^2 - r^2) \\ &\approx 3.14 \times (12^2 - 10^2) \\ &= 3.14 \times (144 - 100) \\ &= 3.14 \times 44 \\ &= 138.16 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

Example 5.4

แหวนโลหะมีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก $20$ มม. และภายใน $10$ มม. จงหาพื้นที่หน้าตัด (กำหนดให้ $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} R &= \frac{20}{2} \\&= 10 \\ r &= \frac{10}{2} \\&= 5 \\ \text{พื้นที่} &= \pi(R^2 - r^2) \\ &\approx 3.14 \times (10^2 - 5^2) \\ &= 3.14 \times (100 - 25) \\ &= 3.14 \times 75 \\ &= 235.5 \text{ ตร.มม.} \end{aligned} $$

A metal washer has an outer diameter of $20$ mm and an inner diameter of $10$ mm. Find the cross-sectional area. (Use $\pi \approx 3.14$)

$$ \begin{aligned} R &= \frac{20}{2} \\&= 10 \\ r &= \frac{10}{2} \\&= 5 \\ \text{Area} &= \pi(R^2 - r^2) \\ &\approx 3.14 \times (10^2 - 5^2) \\ &= 3.14 \times (100 - 25) \\ &= 3.14 \times 75 \\ &= 235.5 \text{ mm}^2 \end{aligned} $$

Example 5.5

จงหาพื้นที่วงแหวนที่มี $R=15$ ซม. และ $r=13$ ซม. (กำหนดให้ $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \pi(R-r)(R+r) \\ &\approx \frac{22}{7} \times (15-13)(15+13) \\ &= \frac{22}{7} \times (2)(28) \\ &= 22 \times 2 \times 4 \\ &= 176 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

Find the area of an annulus with $R=15$ cm and $r=13$ cm. (Use $\pi \approx \frac{22}{7}$)

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \pi(R-r)(R+r) \\ &\approx \frac{22}{7} \times (15-13)(15+13) \\ &= \frac{22}{7} \times (2)(28) \\ &= 22 \times 2 \times 4 \\ &= 176 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 5.6

พื้นที่วงแหวนเท่ากับ $88\pi$ ตร.ซม. ถ้ารัศมีวงใหญ่ $R=13$ ซม. จงหารัศมีวงเล็ก ($r$)

$$ \begin{aligned} \pi(13^2 - r^2) &= 88\pi \\ 169 - r^2 &= 88 \\ r^2 &= 169 - 88 \\ r^2 &= 81 \\ r &= 9 \text{ ซม.} \end{aligned} $$

The area of an annulus is $88\pi$ cm². If the outer radius $R=13$ cm, find the inner radius ($r$).

$$ \begin{aligned} \pi(13^2 - r^2) &= 88\pi \\ 169 - r^2 &= 88 \\ r^2 &= 169 - 88 \\ r^2 &= 81 \\ r &= 9 \text{ cm} \end{aligned} $$

Example 5.7

เป้าธนูมีจุดศูนย์กลาง(Bullseye) รัศมี $2$ นิ้ว และมีแถบวงแหวนล้อมรอบกว้างแถบละ $2$ นิ้ว จงหาพื้นที่ของแถบวงแหวนวงแรก (ติดค่า $\pi$ ไว้)

$$ \begin{aligned} \text{รัศมีวงใน } (r) &= 2 \\ \text{รัศมีวงนอก } (R) &= 2 + 2 \\&= 4 \\ \text{พื้นที่แถบ} &= \pi(R^2 - r^2) \\ &= \pi(4^2 - 2^2) \\ &= \pi(16 - 4) \\ &= 12\pi \text{ ตร.นิ้ว} \end{aligned} $$

A target has a bullseye radius of $2$ inches. Concentric rings are each $2$ inches wide. Find the area of the first ring. (Leave in terms of $\pi$)

$$ \begin{aligned} \text{Inner radius } (r) &= 2 \\ \text{Outer radius } (R) &= 2 + 2 \\&= 4 \\ \text{Ring Area} &= \pi(R^2 - r^2) \\ &= \pi(4^2 - 2^2) \\ &= \pi(16 - 4) \\ &= 12\pi \text{ sq inches} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Circle	circulus (small ring)	วงกลม · รูปเรขาคณิตที่ทุกจุดบนขอบมีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน
Radius	radius (ray, spoke of a wheel)	รัศมี ($r$) · ระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นรอบวง (ครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง)
Diameter	dia- (across) + metron (measure)	เส้นผ่านศูนย์กลาง ($d$) · ส่วนของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางเชื่อมจุดบนเส้นรอบวงสองฝั่ง
Circumference	circum- (around) + ferre (to carry)	ความยาวรอบรูปวงกลม · ระยะทางทั้งหมดรอบขอบของวงกลม
Chord	chorde (string, gut)	คอร์ด · ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดบนเส้นรอบวง
Secant	secare (to cut)	เส้นตัดวงกลม · เส้นตรงที่ตัดผ่านเส้นรอบวงสองจุด
Tangent	tangere (to touch)	เส้นสัมผัสวงกลม · เส้นตรงที่แตะเส้นรอบวงเพียงจุดเดียวและตั้งฉากกับรัศมี
Segment	secare (to cut)	เซกเมนต์ · บริเวณของวงกลมที่ถูกล้อมรอบด้วยคอร์ดและส่วนโค้ง
Area	area (vacant piece of level ground)	พื้นที่ · ขนาดของพื้นผิวภายในขอบเขตของรูปเรขาคณิตสองมิติ
Semicircle	semi- (half) + circle	ครึ่งวงกลม · พื้นที่ครึ่งหนึ่งของวงกลมเต็มรูป
Sector	secare (to cut)	ส่วนของวงกลม (เซกเตอร์) · พื้นที่ที่ถูกตัดแบ่งด้วยรัศมี 2 เส้นและส่วนโค้ง
Annulus	anulus (little ring)	วงแหวน · พื้นที่ระหว่างวงกลมสองวงที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกัน
Concentric	con- (together) + centrum (center)	ร่วมศูนย์กลาง · วงกลมตั้งแต่ 2 วงขึ้นไปที่มีจุดศูนย์กลางเดียวกัน
Constant	con- (with) + stare (to stand)	ค่าคงที่ · ตัวเลขที่มีค่าไม่เปลี่ยนแปลง (เช่น $\pi \approx 3.14159...$)