พื้นที่สี่เหลี่ยม

1

🟥 สี่เหลี่ยมจัตุรัส 🟥 Square

TH

สูตรการหาพื้นที่:

สูตร 1: ทราบความยาวด้าน

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \color{#1565c0}{\text{ด้าน}} \times \color{#d84315}{\text{ด้าน}} \\ &= \color{#1a237e}{s^2} \end{aligned} $$

สูตร 2: ทราบความยาวเส้นทแยงมุม

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times \color{#c2185b}{\text{ผลคูณของความยาวเส้นทแยงมุม}} \\ &= \frac{1}{2} \times \color{#c2185b}{d^2} \end{aligned} $$

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

ด้าน: ด้านทั้ง 4 ด้านยาวเท่ากันทุกประการ ($s_1 = s_2 = s_3 = s_4 = s$) และด้านตรงข้ามขนานกัน 2 คู่
มุม: มุมภายในทุกมุมเป็น มุมฉาก ($90^\circ$) โดยมีผลรวมมุมภายในเท่ากับ $360^\circ$
เส้นทแยงมุม: มี 2 เส้น ซึ่ง ยาวเท่ากัน ($d_1 = d_2 = d$), แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน, และ ตัดกันเป็นมุมฉาก ($90^\circ$)
แกนสมมาตร: มีแกนสมมาตรทั้งหมด $4$ แกน (แบ่งครึ่งด้าน 2 แกน และตามแนวเส้นทแยงมุม 2 แกน)

ข้อสังเกตการคำนวณ:
• เมื่อทราบ ความยาวด้าน ($s$) $\rightarrow$ ให้ใช้ สูตร 1 ได้ทันที
• เมื่อโจทย์กำหนด ความยาวเส้นทแยงมุม ($d$) $\rightarrow$ สามารถใช้ สูตร 2 คำนวณได้รวดเร็วโดยไม่ต้องหาความยาวด้านก่อน

EN

Area Formulas:

Formula 1: Given Side Length

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \color{#1565c0}{\text{side}} \times \color{#d84315}{\text{side}} \\ &= \color{#1a237e}{s^2} \end{aligned} $$

Formula 2: Given Diagonal Length

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times \color{#c2185b}{\text{Product of Diagonals}} \\ &= \frac{1}{2} \times \color{#c2185b}{d^2} \end{aligned} $$

Properties of a Square:

Sides: All 4 sides are equal in length ($s_1 = s_2 = s_3 = s_4 = s$), and opposite sides are parallel.
Angles: All 4 interior angles are right angles ($90^\circ$), summing to $360^\circ$.
Diagonals: Both diagonals are equal in length ($d_1 = d_2 = d$), bisect each other, and intersect at right angles ($90^\circ$).
Symmetry: Has $4$ lines of symmetry (2 along sides bisectors and 2 along diagonals).

Calculation Tips:
• When side length ($s$) is given $\rightarrow$ use Formula 1.
• When diagonal length ($d$) is given $\rightarrow$ use Formula 2 to find area directly without computing side length first.

Example 1.1

จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ $5$ หน่วย

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \text{ด้าน} \times \text{ด้าน} \\ &= 5 \times 5 \\ &= 25 \text{ ตารางหน่วย} \end{aligned} $$

Find the area of a square with a side length of $5$ units.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \text{Side} \times \text{Side} \\ &= 5 \times 5 \\ &= 25 \text{ sq. units} \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ $2.5$ เซนติเมตร

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= 2.5^2 \\ &= 2.5 \times 2.5 \\ &= 6.25 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

Find the area of a square with a side length of $2.5$ cm.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= 2.5^2 \\ &= 2.5 \times 2.5 \\ &= 6.25 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 1.3

สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีเส้นทแยงมุมยาว $8$ เมตร จงหาพื้นที่

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times \text{ผลคูณเส้นทแยงมุม} \\ &= \frac{1}{2} \times (8 \times 8) \\ &= \frac{1}{2} \times 64 \\ &= 32 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A square has a diagonal length of $8$ m. Find its area.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times \text{Product of Diagonals} \\ &= \frac{1}{2} \times (8 \times 8) \\ &= \frac{1}{2} \times 64 \\ &= 32 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

Example 1.4

สนามหญ้าจัตุรัสมีความยาวรอบรูป $24$ เมตร จะมีพื้นที่เท่าใด?

$$ \begin{aligned} \text{ความยาวด้าน} &= \frac{24}{4} \\&= 6 \text{ ม.} \\ \text{พื้นที่} &= 6 \times 6 \\ &= 36 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A square lawn has a perimeter of $24$ m. What is its area?

$$ \begin{aligned} \text{Side} &= \frac{24}{4} \\&= 6 \text{ m} \\ \text{Area} &= 6 \times 6 \\ &= 36 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

Example 1.5

ถ้าพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ $49$ ตารางนิ้ว ความยาวแต่ละด้านคือเท่าใด?

$$ \begin{aligned} \text{ด้าน}^2 &= 49 \\ \text{ด้าน} &= \sqrt{49} \\ &= 7 \text{ นิ้ว} \end{aligned} $$

If the area of a square is $49$ sq. in., what is the length of each side?

$$ \begin{aligned} \text{Side}^2 &= 49 \\ \text{Side} &= \sqrt{49} \\ &= 7 \text{ in} \end{aligned} $$

Example 1.6

หากเพิ่มความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็น $3$ เท่า พื้นที่จะเพิ่มเป็นกี่เท่า?

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่เดิม} &= x \times x \\&= x^2 \\ \text{พื้นที่ใหม่} &= (3x) \times (3x) \\&= 9x^2 \\ \text{ดังนั้น} &= \text{เพิ่มขึ้น } 9 \text{ เท่า} \end{aligned} $$

If the side length of a square is tripled, how many times does the area increase?

$$ \begin{aligned} \text{Old Area} &= x \times x \\&= x^2 \\ \text{New Area} &= (3x) \times (3x) \\&= 9x^2 \\ \text{Therefore} &= 9 \text{ times larger} \end{aligned} $$

Example 1.7

ต้องการปูกระเบื้องรูปจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมยาว $10\sqrt{2}$ ซม. กระเบื้องแผ่นนี้มีพื้นที่เท่าใด?

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times (10\sqrt{2}) \times (10\sqrt{2}) \\ &= \frac{1}{2} \times (100 \times 2) \\ &= 100 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A square tile has a diagonal of $10\sqrt{2}$ cm. What is the area of this tile?

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times (10\sqrt{2}) \times (10\sqrt{2}) \\ &= \frac{1}{2} \times (100 \times 2) \\ &= 100 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

2

🟩 สี่เหลี่ยมผืนผ้า 🟩 Rectangle

TH

สูตรการหาพื้นที่:

สูตร: ทราบความกว้างและความยาว

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \color{#d84315}{\text{กว้าง}} \times \color{#1565c0}{\text{ยาว}} \\ &= \color{#1b5e20}{w \times l} \end{aligned} $$

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

ด้าน: ด้านตรงข้ามยาวเท่ากันและขนานกัน 2 คู่ ($w_1 = w_2$ และ $l_1 = l_2$) แต่ด้านที่ติดกันยาวไม่เท่ากัน
มุม: มุมภายในทุกมุมเป็น มุมฉาก ($90^\circ$) โดยมีผลรวมมุมภายในเท่ากับ $360^\circ$
เส้นทแยงมุม: มี 2 เส้น ซึ่ง ยาวเท่ากัน ($d_1 = d_2 = d$), แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน (แต่ไม่ตัดกันเป็นมุมฉาก)
แกนสมมาตร: มีแกนสมมาตรทั้งหมด $2$ แกน (แบ่งครึ่งความกว้างและความยาวตามแนวขนาน ไม่รวมแนวเส้นทแยงมุม)

ข้อสังเกตการคำนวณ:
• เมื่อทราบ ความกว้าง ($w$) และ ความยาว ($l$) $\rightarrow$ สามารถหาพื้นที่ได้จาก กว้าง $\times$ ยาว
• ความยาวรอบรูปของสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือ $2 \times (w + l)$

EN

Area Formula:

Formula: Given Width and Length

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \color{#d84315}{\text{width}} \times \color{#1565c0}{\text{length}} \\ &= \color{#1b5e20}{w \times l} \end{aligned} $$

Properties of a Rectangle:

Sides: Opposite sides are equal in length and parallel ($w_1 = w_2$ and $l_1 = l_2$), while adjacent sides are unequal.
Angles: All 4 interior angles are right angles ($90^\circ$), summing to $360^\circ$.
Diagonals: Both diagonals are equal in length ($d_1 = d_2 = d$) and bisect each other (but not perpendicular).
Symmetry: Has $2$ lines of symmetry (parallel to the sides, not along diagonals).

Calculation Tips:
• When width ($w$) and length ($l$) are given $\rightarrow$ find the area with Width $\times$ Length.
• The perimeter of a rectangle is $2 \times (w + l)$.

Example 2.1

จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง $4$ ซม. ยาว $7$ ซม.

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= 4 \times 7 \\ &= 28 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

Find the area of a rectangle width $4$ cm, length $7$ cm.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= 4 \times 7 \\ &= 28 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง $3.2$ ม. ยาว $5$ ม.

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= 3.2 \times 5 \\ &= 16.0 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

Find the area of a rectangle width $3.2$ m, length $5$ m.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= 3.2 \times 5 \\ &= 16.0 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

Example 2.3

สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ $45$ ตร.ม. และกว้าง $5$ ม. จงหาความยาว

$$ \begin{aligned} 45 &= 5 \times \text{ยาว} \\ \text{ยาว} &= \frac{45}{5} \\ &= 9 \text{ ม.} \end{aligned} $$

A rectangle has an area of $45$ sq.m. and width $5$ m. Find its length.

$$ \begin{aligned} 45 &= 5 \times \text{Length} \\ \text{Length} &= \frac{45}{5} \\ &= 9 \text{ m} \end{aligned} $$

Example 2.4

รูปผืนผ้ามีความยาวรอบรูป $30$ ซม. และกว้าง $6$ ซม. จะมีพื้นที่เท่าใด?

$$ \begin{aligned} 30 &= 2 \times (6 + \text{ยาว}) \\ 15 &= 6 + \text{ยาว} \\ \text{ยาว} &= 9 \text{ ซม.} \\ \text{พื้นที่} &= 6 \times 9 \\&= 54 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A rectangle has a perimeter of $30$ cm and width $6$ cm. What is its area?

$$ \begin{aligned} 30 &= 2 \times (6 + \text{Length}) \\ 15 &= 6 + \text{Length} \\ \text{Length} &= 9 \text{ cm} \\ \text{Area} &= 6 \times 9 \\&= 54 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 2.5

แปลงผักกว้าง $10$ ม. และยาวเป็น $2$ เท่าของความกว้าง จงหาพื้นที่แปลงผักนี้

$$ \begin{aligned} \text{ยาว} &= 2 \times 10 \\ &= 20 \text{ ม.} \\ \text{พื้นที่} &= 10 \times 20 \\ &= 200 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A garden is $10$ m wide and its length is twice its width. Find the area.

$$ \begin{aligned} \text{Length} &= 2 \times 10 \\ &= 20 \text{ m} \\ \text{Area} &= 10 \times 20 \\ &= 200 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

Example 2.6

อัตราส่วน กว้าง:ยาว ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ $2:3$ หากยาว $12$ นิ้ว พื้นที่คือเท่าใด?

$$ \begin{aligned} \frac{\text{กว้าง}}{12} &= \frac{2}{3} \\ \text{กว้าง} &= 8 \text{ นิ้ว} \\ \text{พื้นที่} &= 8 \times 12 \\ &= 96 \text{ ตร.นิ้ว} \end{aligned} $$

The width:length ratio is $2:3$. If the length is $12$ in, what is the area?

$$ \begin{aligned} \frac{\text{Width}}{12} &= \frac{2}{3} \\ \text{Width} &= 8 \text{ in} \\ \text{Area} &= 8 \times 12 \\ &= 96 \text{ sq. in} \end{aligned} $$

Example 2.7

สระน้ำขนาด $10 \times 15$ เมตร มีทางเดินรอบสระกว้าง $1$ เมตร พื้นที่ทางเดินคือเท่าใด?

$$ \begin{aligned} \text{พท.รวม} &= (10+2) \times (15+2) \\ &= 12 \times 17 \\ &= 204 \\ \text{พท.สระ} &= 10 \times 15 \\ &= 150 \\ \text{พท.ทางเดิน} &= 204 - 150 \\&= 54 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A $10 \times 15$ m pool has a $1$ m wide path around it. What is the path's area?

$$ \begin{aligned} \text{Total Area} &= 12 \times 17 \\&= 204 \\ \text{Pool Area} &= 10 \times 15 \\&= 150 \\ \text{Path Area} &= 204 - 150 \\&= 54 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

3

🔶 สี่เหลี่ยมด้านขนาน 🔶 Parallelogram

TH

สูตรการหาพื้นที่:

สูตร: ทราบความยาวฐานและความสูง

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \color{#1565c0}{\text{ฐาน}} \times \color{#d84315}{\text{สูง}} \\ &= \color{#e65100}{b \times h} \end{aligned} $$

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

ด้าน: ด้านตรงข้ามยาวเท่ากันและขนานกัน 2 คู่
มุม: มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน และมุมที่อยู่ติดกันรวมกันได้ $180^\circ$
เส้นทแยงมุม: มี 2 เส้น ซึ่ง แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน (แต่ยาวไม่เท่ากันและไม่ตัดกันเป็นมุมฉาก)
แกนสมมาตร: โดยทั่วไปไม่มีแกนสมมาตร (ยกเว้นกรณีพิเศษ เช่น สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมผืนผ้า หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

ข้อสังเกตการคำนวณ:
• ความสูง ($h$) ต้องเป็น ระยะตั้งฉาก (ส่วนสูง) ระหว่างคู่ด้านขนานเสมอ ไม่ใช่ความยาวของด้านเอียง
• เมื่อทราบ ความยาวฐาน ($b$) และ ความสูง ($h$) $\rightarrow$ สามารถหาพื้นที่ได้จาก ฐาน $\times$ สูง
• ความยาวรอบรูปของสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือ $2 \times (\text{ด้านที่ 1} + \text{ด้านที่ 2})$

EN

Area Formula:

Formula: Given Base and Height

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \color{#1565c0}{\text{base}} \times \color{#d84315}{\text{height}} \\ &= \color{#e65100}{b \times h} \end{aligned} $$

Properties of a Parallelogram:

Sides: Opposite sides are equal in length and parallel.
Angles: Opposite angles are equal, and adjacent angles are supplementary (sum to $180^\circ$).
Diagonals: Both diagonals bisect each other (but are unequal in length and not perpendicular).
Symmetry: In general, it has no lines of symmetry (except special cases like rhombuses, rectangles, or squares).

Calculation Tips:
• Height ($h$) must always be the perpendicular distance (altitude) to the base, not the slanted side length.
• When base ($b$) and height ($h$) are given $\rightarrow$ find the area with Base $\times$ Height.
• The perimeter of a parallelogram is $2 \times (\text{side}_1 + \text{side}_2)$.

Example 3.1

สี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหนึ่งมีความยาวฐาน $8$ ซม. และมีความสูง $5$ ซม. จงหาพื้นที่ของรูปนี้

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \text{ฐาน} \times \text{สูง} \\ &= 8 \times 5 \\ &= 40 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A parallelogram has a base of $8$ cm and a height of $5$ cm. Find the area of this parallelogram.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \text{Base} \times \text{Height} \\ &= 8 \times 5 \\ &= 40 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 3.2

สี่เหลี่ยมด้านขนานมีฐานยาว $6.5$ นิ้ว และมีความสูงในแนวตั้งฉาก $4$ นิ้ว จงหาพื้นที่

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \text{ฐาน} \times \text{สูง} \\ &= 6.5 \times 4 \\ &= 26 \text{ ตร.นิ้ว} \end{aligned} $$

A parallelogram has a base of $6.5$ in and a perpendicular height of $4$ in. Find its area.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \text{Base} \times \text{Height} \\ &= 6.5 \times 4 \\ &= 26 \text{ sq. in} \end{aligned} $$

Example 3.3

สี่เหลี่ยมด้านขนานมีพื้นที่ $72$ ตร.ม. ถ้าความยาวฐานเท่ากับ $12$ ม. จงหาความสูงของสี่เหลี่ยมรูปนี้

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \text{ฐาน} \times \text{สูง} \\ 72 &= 12 \times \text{สูง} \\ \text{สูง} &= \frac{72}{12} \\ &= 6 \text{ ม.} \end{aligned} $$

A parallelogram has an area of $72$ sq.m. If the base is $12$ m, find the height of the parallelogram.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \text{Base} \times \text{Height} \\ 72 &= 12 \times \text{Height} \\ \text{Height} &= \frac{72}{12} \\ &= 6 \text{ m} \end{aligned} $$

Example 3.4

สี่เหลี่ยมด้านขนานมีฐานยาว $14$ ซม. และมีความสูงเป็นครึ่งหนึ่งของความยาวฐาน จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมนี้

$$ \begin{aligned} \text{สูง} &= \frac{14}{2} \\ &= 7 \text{ ซม.} \\ \text{พื้นที่} &= 14 \times 7 \\ &= 98 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A parallelogram has a base of $14$ cm, and its height is half of its base. Find its area.

$$ \begin{aligned} \text{Height} &= \frac{14}{2} \\ &= 7 \text{ cm} \\ \text{Area} &= 14 \times 7 \\ &= 98 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 3.5

สี่เหลี่ยมด้านขนานมีความยาวฐาน $(x+3)$ หน่วย และมีความสูง $x$ หน่วย ถ้ากำหนดให้ $x = 5$ จงหาพื้นที่

$$ \begin{aligned} \text{ฐาน} &= 5 + 3 \\ &= 8 \text{ หน่วย} \\ \text{สูง} &= 5 \text{ หน่วย} \\ \text{พื้นที่} &= 8 \times 5 \\ &= 40 \text{ ตร.หน่วย} \end{aligned} $$

A parallelogram has a base of $(x+3)$ units and a height of $x$ units. If $x = 5$, find its area.

$$ \begin{aligned} \text{Base} &= 5 + 3 \\ &= 8 \text{ units} \\ \text{Height} &= 5 \text{ units} \\ \text{Area} &= 8 \times 5 \\ &= 40 \text{ sq. units} \end{aligned} $$

Example 3.6

สี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหนึ่งมีพื้นที่เท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว $6$ หน่วย ถ้าสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้มีฐานยาว $9$ หน่วย จะมีความสูงกี่หน่วย?

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส} &= 6 \times 6 \\ &= 36 \text{ ตร.หน่วย} \\ \text{พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน} &= \text{ฐาน} \times \text{สูง} \\ 36 &= 9 \times \text{สูง} \\ \text{สูง} &= \frac{36}{9} \\ &= 4 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

A parallelogram has the same area as a square with side length of $6$ units. If the base of the parallelogram is $9$ units, what is its height?

$$ \begin{aligned} \text{Square Area} &= 6 \times 6 \\ &= 36 \text{ sq. units} \\ \text{Parallelogram Area} &= \text{Base} \times \text{Height} \\ 36 &= 9 \times \text{Height} \\ \text{Height} &= \frac{36}{9} \\ &= 4 \text{ units} \end{aligned} $$

Example 3.7

แผ่นไม้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีความยาวฐาน $2.5$ ม. และมีความสูง $1.2$ ม. ถ้าต้องการทาสีแผ่นไม้นี้ด้านหนึ่ง จะต้องทาสีเป็นพื้นที่กี่ตารางเมตร?

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \text{ฐาน} \times \text{สูง} \\ &= 2.5 \times 1.2 \\ &= 3.0 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A wooden board in the shape of a parallelogram has a base of $2.5$ m and a height of $1.2$ m. What is the area of one side to paint?

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \text{Base} \times \text{Height} \\ &= 2.5 \times 1.2 \\ &= 3.0 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

4

♦️ สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ♦️ Rhombus

TH

สูตรการหาพื้นที่:

สูตร 1: ทราบความยาวฐานและความสูง

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \color{#1565c0}{\text{ฐาน}} \times \color{#d84315}{\text{สูง}} \\ &= \color{#6a1b9a}{b \times h} \end{aligned} $$

สูตร 2: ทราบความยาวเส้นทแยงมุม

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times \color{#c2185b}{\text{ผลคูณของความยาวเส้นทแยงมุม}} \\ &= \frac{1}{2} \times \color{#c2185b}{d_1 \times d_2} \end{aligned} $$

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน:

ด้าน: ด้านทั้ง 4 ด้านยาวเท่ากันทุกประการ ($s_1 = s_2 = s_3 = s_4 = s$) และด้านตรงข้ามขนานกัน 2 คู่
มุม: มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน โดยไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก (หากเป็นมุมฉากจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส)
เส้นทแยงมุม: มี 2 เส้น ซึ่ง แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน, ตัดกันเป็นมุมฉาก ($90^\circ$), แต่ยาวไม่เท่ากัน ($d_1 \neq d_2$)
แกนสมมาตร: มีแกนสมมาตรทั้งหมด $2$ แกน (ตามแนวเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้น)

ข้อสังเกตการคำนวณ:
• เมื่อทราบ ความยาวฐาน ($b$) และ ความสูง ($h$) $\rightarrow$ ให้ใช้ สูตร 1 ได้ทันที
• เมื่อโจทย์กำหนด ความยาวเส้นทแยงมุม ($d_1, d_2$) $\rightarrow$ ให้ใช้ สูตร 2
• ความยาวรอบรูปของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คือ $4 \times \text{ด้าน}$

EN

Area Formulas:

Formula 1: Given Base and Height

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \color{#1565c0}{\text{base}} \times \color{#d84315}{\text{height}} \\ &= \color{#6a1b9a}{b \times h} \end{aligned} $$

Formula 2: Given Diagonal Lengths

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times \color{#c2185b}{\text{Product of Diagonals}} \\ &= \frac{1}{2} \times \color{#c2185b}{d_1 \times d_2} \end{aligned} $$

Properties of a Rhombus:

Sides: All 4 sides are equal in length ($s_1 = s_2 = s_3 = s_4 = s$), and opposite sides are parallel.
Angles: Opposite angles are equal, but none are right angles (otherwise it becomes a square).
Diagonals: Both diagonals bisect each other and intersect at right angles ($90^\circ$), but are unequal in length ($d_1 \neq d_2$).
Symmetry: Has $2$ lines of symmetry (along the diagonals).

Calculation Tips:
• When base ($b$) and height ($h$) are given $\rightarrow$ use Formula 1.
• When diagonals ($d_1, d_2$) are given $\rightarrow$ use Formula 2.
• The perimeter of a rhombus is $4 \times \text{side}$.

Example 4.1

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรูปหนึ่งมีเส้นทแยงมุมยาว $6$ ซม. และ $8$ ซม. จงหาพื้นที่ของรูปนี้

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ &= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \\ &= \frac{1}{2} \times 48 \\ &= 24 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A rhombus has diagonals of length $6$ cm and $8$ cm. Find the area of this rhombus.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ &= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \\ &= \frac{1}{2} \times 48 \\ &= 24 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 4.2

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาวฐาน $5$ นิ้ว และมีความสูง $4$ นิ้ว จงหาพื้นที่

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \text{ฐาน} \times \text{สูง} \\ &= 5 \times 4 \\ &= 20 \text{ ตร.นิ้ว} \end{aligned} $$

A rhombus has a base length of $5$ in and a height of $4$ in. Find its area.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \text{Base} \times \text{Height} \\ &= 5 \times 4 \\ &= 20 \text{ sq. in} \end{aligned} $$

Example 4.3

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีพื้นที่ $50$ ตร.ม. ถ้าเส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งยาว $10$ ม. จงหาความยาวของเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่ง

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ 50 &= \frac{1}{2} \times 10 \times d_2 \\ 50 &= 5 \times d_2 \\ d_2 &= \frac{50}{5} \\ &= 10 \text{ ม.} \end{aligned} $$

A rhombus has an area of $50$ sq.m. If one diagonal is $10$ m, find the length of the other diagonal.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ 50 &= \frac{1}{2} \times 10 \times d_2 \\ 50 &= 5 \times d_2 \\ d_2 &= \frac{50}{5} \\ &= 10 \text{ m} \end{aligned} $$

Example 4.4

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีเส้นทแยงมุมสองเส้นยาว $12$ ซม. และ $16$ ซม. จงคำนวณหาพื้นที่

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ &= \frac{1}{2} \times 12 \times 16 \\ &= 6 \times 16 \\ &= 96 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A rhombus has diagonals measuring $12$ cm and $16$ cm. Calculate its area.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ &= \frac{1}{2} \times 12 \times 16 \\ &= 6 \times 16 \\ &= 96 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 4.5

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาวรอบรูป $40$ ซม. และมีความสูง $8$ ซม. จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปนี้

$$ \begin{aligned} \text{ความยาวด้าน (ฐาน)} &= \frac{\text{ความยาวรอบรูป}}{4} \\ &= \frac{40}{4} \\ &= 10 \text{ ซม.} \\ \text{พื้นที่} &= \text{ฐาน} \times \text{สูง} \\ &= 10 \times 8 \\ &= 80 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A rhombus has a perimeter of $40$ cm and a height of $8$ cm. Find the area of this rhombus.

$$ \begin{aligned} \text{Side (Base)} &= \frac{\text{Perimeter}}{4} \\ &= \frac{40}{4} \\ &= 10 \text{ cm} \\ \text{Area} &= \text{Base} \times \text{Height} \\ &= 10 \times 8 \\ &= 80 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 4.6

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาวด้านละ $13$ หน่วย และมีเส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งยาว $10$ หน่วย จงหาพื้นที่ของรูปนี้ (ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาความยาวเส้นทแยงมุมอีกเส้น)

$$ \begin{aligned} \text{ครึ่งหนึ่งของ } d_1 &= \frac{10}{2} = 5 \text{ หน่วย} \\ \text{ครึ่งหนึ่งของ } d_2 &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= \sqrt{169 - 25} \\ &= \sqrt{144} \\ &= 12 \text{ หน่วย} \\ d_2 &= 12 \times 2 \\&= 24 \text{ หน่วย} \\ \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times 10 \times 24 \\ &= 120 \text{ ตร.หน่วย} \end{aligned} $$

A rhombus has sides of length $13$ units and one diagonal of length $10$ units. Find its area (using the Pythagorean theorem to find the other diagonal).

$$ \begin{aligned} \text{Half of } d_1 &= \frac{10}{2} = 5 \text{ units} \\ \text{Half of } d_2 &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= \sqrt{169 - 25} \\ &= \sqrt{144} \\ &= 12 \text{ units} \\ d_2 &= 12 \times 2 \\&= 24 \text{ units} \\ \text{Area} &= \frac{1}{2} \times 10 \times 24 \\ &= 120 \text{ sq. units} \end{aligned} $$

Example 4.7

กระเบื้องปูพื้นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีเส้นทแยงมุมยาว $0.4$ ม. และ $0.3$ ม. กระเบื้องแต่ละแผ่นมีพื้นที่กี่ตารางเมตร?

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ &= \frac{1}{2} \times 0.4 \times 0.3 \\ &= \frac{1}{2} \times 0.12 \\ &= 0.06 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A rhombus-shaped floor tile has diagonals of $0.4$ m and $0.3$ m. What is the area of each tile in square meters?

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ &= \frac{1}{2} \times 0.4 \times 0.3 \\ &= \frac{1}{2} \times 0.12 \\ &= 0.06 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

5

🔺 สี่เหลี่ยมคางหมู 🔺 Trapezoid

TH

สูตรการหาพื้นที่:

สูตร: ทราบความยาวด้านคู่ขนานและความสูง

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times \color{#1565c0}{\text{ผลบวกของความยาวด้านคู่ขนาน}} \times \color{#d84315}{\text{สูง}} \\ &= \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \end{aligned} $$

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู:

ด้าน: มีด้านตรงข้ามขนานกันเพียง 1 คู่เท่านั้น ($a \parallel b$) ส่วนอีกคู่หนึ่งไม่ขนานกัน
มุม: มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัดที่ตัดด้านคู่ขนานรวมกันได้ $180^\circ$
ชนิดพิเศษ:
• คางหมูหน้าจั่ว (Isosceles Trapezoid): ด้านที่ไม่ขนานกันยาวเท่ากัน มุมที่ฐานเท่ากัน และเส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน มีแกนสมมาตร 1 แกน
• คางหมูมุมฉาก (Right Trapezoid): มีมุมภายในเป็นมุมฉาก 2 มุม
แกนสมมาตร: โดยทั่วไปไม่มีแกนสมมาตร (ยกเว้นสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่มี 1 แกน)

ข้อสังเกตการคำนวณ:
• ความสูง ($h$) ต้องเป็น ระยะตั้งฉาก ระหว่างด้านคู่ขนานเสมอ ห้ามใช้ความยาวของด้านเอียง
• เมื่อทราบ ด้านคู่ขนาน ($a, b$) และ ความสูง ($h$) $\rightarrow$ สามารถหาพื้นที่ได้จาก $\frac{1}{2} \times (a + b) \times h$
• ความยาวรอบรูปของสี่เหลี่ยมคางหมู คือ ผลรวมความยาวของด้านทั้ง 4 ด้าน

EN

Area Formula:

Formula: Given Parallel Sides and Height

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times \color{#1565c0}{\text{Sum of Parallel Sides}} \times \color{#d84315}{\text{Height}} \\ &= \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \end{aligned} $$

Properties of a Trapezoid:

Sides: Has exactly one pair of parallel sides ($a \parallel b$), known as the bases.
Angles: Consecutive angles between the parallel bases are supplementary (sum to $180^\circ$).
Special Types:
• Isosceles Trapezoid: Non-parallel legs are equal, base angles are equal, diagonals are equal, and has 1 line of symmetry.
• Right Trapezoid: Contains two adjacent right angles.
Symmetry: Generally has no lines of symmetry (except an isosceles trapezoid which has 1).

Calculation Tips:
• Height ($h$) must always be the perpendicular distance between the two parallel bases.
• When parallel sides ($a, b$) and height ($h$) are given $\rightarrow$ find area with $\frac{1}{2} \times (a + b) \times h$.
• The perimeter of a trapezoid is the sum of all 4 side lengths.

Example 5.1

สี่เหลี่ยมคางหมูรูปหนึ่งมีด้านคู่ขนานยาว $4$ ซม. และ $6$ ซม. โดยมีระยะห่างระหว่างด้านคู่ขนาน (ความสูง) $5$ ซม. จงหาพื้นที่ของรูปนี้

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times \text{ผลบวกด้านคู่ขนาน} \times \text{สูง} \\ &= \frac{1}{2} \times (4 + 6) \times 5 \\ &= \frac{1}{2} \times 10 \times 5 \\ &= 5 \times 5 \\ &= 25 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A trapezoid has parallel sides of length $4$ cm and $6$ cm, and a height of $5$ cm. Find the area of this trapezoid.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \\ &= \frac{1}{2} \times (4 + 6) \times 5 \\ &= \frac{1}{2} \times 10 \times 5 \\ &= 5 \times 5 \\ &= 25 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 5.2

สี่เหลี่ยมคางหมูมีด้านคู่ขนานยาว $3.5$ ม. และ $4.5$ ม. และมีความสูง $2$ ม. จงคำนวณหาพื้นที่

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times (3.5 + 4.5) \times 2 \\ &= \frac{1}{2} \times 8 \times 2 \\ &= 8 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A trapezoid has parallel sides measuring $3.5$ m and $4.5$ m, with a height of $2$ m. Calculate its area.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times (3.5 + 4.5) \times 2 \\ &= \frac{1}{2} \times 8 \times 2 \\ &= 8 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

Example 5.3

สี่เหลี่ยมคางหมูมีพื้นที่ $30$ ตร.ซม. และมีด้านคู่ขนานยาว $7$ ซม. และ $8$ ซม. จงหาความสูงของสี่เหลี่ยมรูปนี้

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \\ 30 &= \frac{1}{2} \times (7 + 8) \times h \\ 30 &= \frac{1}{2} \times 15 \times h \\ 30 \times 2 &= 15 \times h \\ 60 &= 15h \\ h &= \frac{60}{15} \\ &= 4 \text{ ซม.} \end{aligned} $$

A trapezoid has an area of $30$ cm$^2$, and its parallel sides are $7$ cm and $8$ cm. Find the height of this trapezoid.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \\ 30 &= \frac{1}{2} \times (7 + 8) \times h \\ 30 &= \frac{1}{2} \times 15 \times h \\ 30 \times 2 &= 15 \times h \\ 60 &= 15h \\ h &= \frac{60}{15} \\ &= 4 \text{ cm} \end{aligned} $$

Example 5.4

สี่เหลี่ยมคางหมูมีพื้นที่ $24$ ตร.ม. และสูง $4$ ม. ถ้าด้านคู่ขนานด้านหนึ่งยาว $5$ ม. จงหาความยาวของด้านคู่ขนานอีกด้านหนึ่ง

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \\ 24 &= \frac{1}{2} \times (5 + x) \times 4 \\ 24 &= 2 \times (5 + x) \\ \frac{24}{2} &= 5 + x \\ 12 &= 5 + x \\ x &= 12 - 5 \\ &= 7 \text{ ม.} \end{aligned} $$

A trapezoid has an area of $24$ m$^2$ and a height of $4$ m. If one parallel side is $5$ m, find the length of the other parallel side.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \\ 24 &= \frac{1}{2} \times (5 + x) \times 4 \\ 24 &= 2 \times (5 + x) \\ \frac{24}{2} &= 5 + x \\ 12 &= 5 + x \\ x &= 12 - 5 \\ &= 7 \text{ m} \end{aligned} $$

Example 5.5

สี่เหลี่ยมคางหมูมีด้านคู่ขนานยาว $a$ ซม. และ $2a$ ซม. โดยมีความสูง $3$ ซม. ถ้าสี่เหลี่ยมนี้มีพื้นที่ $27$ ตร.ซม. จงหาค่าของ $a$

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times (a + 2a) \times 3 \\ 27 &= \frac{3}{2} \times 3a \\ 27 &= \frac{9a}{2} \\ 27 \times 2 &= 9a \\ 54 &= 9a \\ a &= \frac{54}{9} \\ &= 6 \text{ ซม.} \end{aligned} $$

A trapezoid has parallel sides of length $a$ cm and $2a$ cm, with a height of $3$ cm. If the area is $27$ cm$^2$, find the value of $a$.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times (a + 2a) \times 3 \\ 27 &= \frac{3}{2} \times 3a \\ 27 &= \frac{9a}{2} \\ 27 \times 2 &= 9a \\ 54 &= 9a \\ a &= \frac{54}{9} \\ &= 6 \text{ cm} \end{aligned} $$

Example 5.6

คลองส่งน้ำมีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู โดยก้นคลองกว้าง $2$ ม. ปากคลองกว้าง $6$ ม. และมีความลึก $3$ ม. จงหาพื้นที่หน้าตัดของคลองนี้

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่หน้าตัด} &= \frac{1}{2} \times (2 + 6) \times 3 \\ &= \frac{1}{2} \times 8 \times 3 \\ &= 4 \times 3 \\ &= 12 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A canal has a trapezoidal cross-section with a bottom width of $2$ m, a top width of $6$ m, and a depth of $3$ m. Find the cross-sectional area of the canal.

$$ \begin{aligned} \text{Cross Area} &= \frac{1}{2} \times (2 + 6) \times 3 \\ &= \frac{1}{2} \times 8 \times 3 \\ &= 4 \times 3 \\ &= 12 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

Example 5.7

แผ่นกระดาษรูปสี่เหลี่ยมคางหมูมีความสูง $10$ นิ้ว และมีผลบวกของความยาวด้านคู่ขนานเท่ากับ $25$ นิ้ว จงหาพื้นที่ของแผ่นกระดาษนี้

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times \text{ผลบวกด้านคู่ขนาน} \times \text{สูง} \\ &= \frac{1}{2} \times 25 \times 10 \\ &= 25 \times 5 \\ &= 125 \text{ ตร.นิ้ว} \end{aligned} $$

A trapezoidal sheet of paper has a height of $10$ in, and the sum of its parallel sides is $25$ in. Find the area of the paper.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times (\text{Sum of parallel sides}) \times h \\ &= \frac{1}{2} \times 25 \times 10 \\ &= 25 \times 5 \\ &= 125 \text{ sq. in} \end{aligned} $$

6

🪁 สี่เหลี่ยมรูปว่าว 🪁 Kite

TH

สูตรการหาพื้นที่:

สูตร: ทราบความยาวเส้นทแยงมุม

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times \color{#c2185b}{\text{ผลคูณของความยาวเส้นทแยงมุม}} \\ &= \frac{1}{2} \times \color{#c2185b}{d_1 \times d_2} \end{aligned} $$

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมรูปว่าว:

ด้าน: มีด้านที่อยู่ติดกัน (ด้านประชิด)ยาวเท่ากัน 2 คู่ แต่ด้านตรงข้ามยาวไม่เท่ากันและไม่ขนานกัน
มุม: มีมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน 1 คู่ (มุมที่อยู่ระหว่างด้านที่ยาวไม่เท่ากัน)
เส้นทแยงมุม: มี 2 เส้น ซึ่ง ตัดกันเป็นมุมฉาก ($90^\circ$) โดยเส้นทแยงมุมหลักที่เป็นแกนสมมาตรจะแบ่งครึ่งเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่ง แต่เส้นทแยงมุมทั้งสองยาวไม่เท่ากัน ($d_1 \neq d_2$)
แกนสมมาตร: มีแกนสมมาตรทั้งหมด $1$ แกน (ตามแนวเส้นทแยงมุมเส้นยาวที่เชื่อมระหว่างมุมยอดของด้านประชิดที่เท่ากัน)

ข้อสังเกตการคำนวณ:
• เมื่อทราบ ความยาวเส้นทแยงมุมทั้งสอง ($d_1, d_2$) $\rightarrow$ สามารถหาพื้นที่ได้จาก $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ ได้ทันที
• ในการหาความยาวเส้นทแยงมุม สามารถใช้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส บนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากย่อยที่เกิดจากการตัดกันของเส้นทแยงมุมได้
• ความยาวรอบรูปของสี่เหลี่ยมรูปว่าว คือ $2 \times (\text{ด้านสั้น} + \text{ด้านยาว})$

EN

Area Formula:

Formula: Given Diagonal Lengths

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times \color{#c2185b}{\text{Product of Diagonals}} \\ &= \frac{1}{2} \times \color{#c2185b}{d_1 \times d_2} \end{aligned} $$

Properties of a Kite:

Sides: Has two pairs of equal-length adjacent sides, but opposite sides are unequal and not parallel.
Angles: Has one pair of equal opposite angles (the angles between the unequal sides).
Diagonals: The diagonals intersect at right angles ($90^\circ$). The main diagonal (line of symmetry) bisects the other diagonal, but the two diagonals are unequal in length ($d_1 \neq d_2$).
Symmetry: Has $1$ line of symmetry (along the main diagonal).

Calculation Tips:
• When diagonal lengths ($d_1, d_2$) are given $\rightarrow$ find the area using $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$.
• Unknown diagonal halves can often be calculated using the Pythagorean Theorem on the four interior right triangles.
• The perimeter of a kite is $2 \times (\text{short side} + \text{long side})$.

Example 6.1

สี่เหลี่ยมรูปว่าวรูปหนึ่งมีเส้นทแยงมุมยาว $10$ ซม. และ $12$ ซม. จงหาพื้นที่ของรูปนี้

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ &= \frac{1}{2} \times 10 \times 12 \\ &= \frac{1}{2} \times 120 \\ &= 60 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A kite has diagonals of length $10$ cm and $12$ cm. Find the area of this kite.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ &= \frac{1}{2} \times 10 \times 12 \\ &= \frac{1}{2} \times 120 \\ &= 60 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 6.2

สี่เหลี่ยมรูปว่าวมีเส้นทแยงมุมยาว $5.5$ ม. และ $8$ ม. จงคำนวณหาพื้นที่

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ &= \frac{1}{2} \times 5.5 \times 8 \\ &= 5.5 \times 4 \\ &= 22 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A kite has diagonals measuring $5.5$ m and $8$ m. Calculate its area.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ &= \frac{1}{2} \times 5.5 \times 8 \\ &= 5.5 \times 4 \\ &= 22 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

Example 6.3

สี่เหลี่ยมรูปว่าวมีพื้นที่ $42$ ตร.นิ้ว ถ้าเส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งยาว $7$ นิ้ว จงหาความยาวของเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่ง

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ 42 &= \frac{1}{2} \times 7 \times x \\ 42 \times 2 &= 7x \\ 84 &= 7x \\ x &= \frac{84}{7} \\ &= 12 \text{ นิ้ว} \end{aligned} $$

A kite has an area of $42$ sq.in. If one diagonal is $7$ in, find the length of the other diagonal.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ 42 &= \frac{1}{2} \times 7 \times x \\ 42 \times 2 &= 7x \\ 84 &= 7x \\ x &= \frac{84}{7} \\ &= 12 \text{ in} \end{aligned} $$

Example 6.4

สี่เหลี่ยมรูปว่าวมีเส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งยาวเป็น 2 เท่าของอีกเส้นหนึ่ง ถ้าสี่เหลี่ยมรูปว่าวนี้มีพื้นที่ $36$ ซม.$^2$ จงหาความยาวของเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้น

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ 36 &= \frac{1}{2} \times x \times 2x \\ 36 &= x^2 \\ x &= \sqrt{36} \\ &= 6 \text{ ซม.} \\ 2x &= 2 \times 6 \\ &= 12 \text{ ซม.} \\ \text{ดังนั้นเส้นทแยงมุมทั้งสองยาว} &= 6 \text{ และ } 12 \text{ ซม.} \end{aligned} $$

In a kite, one diagonal is twice the length of the other. If the area is $36$ cm$^2$, find the lengths of both diagonals.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ 36 &= \frac{1}{2} \times x \times 2x \\ 36 &= x^2 \\ x &= \sqrt{36} \\ &= 6 \text{ cm} \\ 2x &= 2 \times 6 \\ &= 12 \text{ cm} \\ \text{Therefore, the diagonals are} &= 6 \text{ and } 12 \text{ cm} \end{aligned} $$

Example 6.5

แผ่นกระดาษทำว่าวมีผลบวกของเส้นทแยงมุมทั้งสองยาว $30$ ซม. ถ้าเส้นทแยงมุมเส้นสั้นยาว $10$ ซม. จงหาพื้นที่ของกระดาษรูปว่าวนี้

$$ \begin{aligned} \text{เส้นทแยงมุมเส้นยาว} &= 30 - 10 \\ &= 20 \text{ ซม.} \\ \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times 10 \times 20 \\ &= \frac{1}{2} \times 200 \\ &= 100 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A sheet of paper cut in a kite shape has diagonals whose sum is $30$ cm. If the shorter diagonal is $10$ cm, find the area of this kite.

$$ \begin{aligned} \text{Long Diagonal} &= 30 - 10 \\ &= 20 \text{ cm} \\ \text{Area} &= \frac{1}{2} \times 10 \times 20 \\ &= \frac{1}{2} \times 200 \\ &= 100 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 6.6

ว่าวตัวหนึ่งทำจากโครงไม้ไผ่ที่ไขว้กันในแนวตั้งฉากยาว $40$ ซม. และ $60$ ซม. จะต้องใช้กระดาษติดบนตัวว่าวคิดเป็นพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร?

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ &= \frac{1}{2} \times 40 \times 60 \\ &= \frac{1}{2} \times 2400 \\ &= 1200 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A kite is built from perpendicular wooden spars measuring $40$ cm and $60$ cm. How much paper area (in cm$^2$) is needed to cover the kite?

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ &= \frac{1}{2} \times 40 \times 60 \\ &= \frac{1}{2} \times 2400 \\ &= 1200 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 6.7

สี่เหลี่ยมรูปว่าวมีเส้นทแยงมุมยาว $a$ หน่วย และ $3a$ หน่วย จงเขียนนิพจน์แสดงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปว่าวนี้

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ &= \frac{1}{2} \times a \times 3a \\ &= \frac{3a^2}{2} \text{ ตร.หน่วย} \end{aligned} $$

A kite has diagonals of length $a$ units and $3a$ units. Find the expression for the area of this kite.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \\ &= \frac{1}{2} \times a \times 3a \\ &= \frac{3a^2}{2} \text{ sq. units} \end{aligned} $$

7

🧩 สี่เหลี่ยมใดๆ (สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า) 🧩 Any Quadrilateral

TH

สูตรการหาพื้นที่:

สูตร: ทราบความยาวเส้นทแยงมุมและเส้นกิ่ง

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times \color{#1565c0}{\text{เส้นทแยงมุม}} \times \color{#d84315}{\text{ผลบวกของความยาวเส้นกิ่ง}} \\ &= \frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2) \end{aligned} $$

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมใดๆ (ด้านไม่เท่า):

ด้าน: ความยาวด้านทั้ง 4 ด้านมักยาวไม่เท่ากัน และไม่มีคู่ขนาน
มุม: มุมภายในทั้ง 4 มุมมีขนาดแตกต่างกัน โดยมีผลรวมของมุมภายในเท่ากับ $360^\circ$ เสมอ
เส้นทแยงมุมและเส้นกิ่ง: เมื่อลากเส้นทแยงมุม 1 เส้น จะแบ่งสี่เหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม 2 รูป โดยเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดที่เหลือมายังเส้นทแยงมุมเรียกว่า "เส้นกิ่ง (Offsets)"
แกนสมมาตร: โดยทั่วไปไม่มีแกนสมมาตร

ข้อสังเกตการคำนวณ:
• เส้นกิ่ง ($h_1, h_2$) ต้องเป็น ระยะตั้งฉาก จากจุดยอดมายังเส้นทแยงมุมร่วมเสมอ
• ที่มาของสูตรมาจากการรวมพื้นที่สามเหลี่ยม 2 รูป: $\text{พท.} = \frac{1}{2}dh_1 + \frac{1}{2}dh_2 = \frac{1}{2}d(h_1 + h_2)$
• ความยาวรอบรูป คือ ผลรวมความยาวของด้านทั้ง 4 ด้าน

EN

Area Formula:

Formula: Given Diagonal and Offsets

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times \color{#1565c0}{\text{Diagonal}} \times \color{#d84315}{\text{Sum of Offsets}} \\ &= \frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2) \end{aligned} $$

Properties of Any Quadrilateral:

Sides: Generally all 4 sides have unequal lengths and no parallel pairs.
Angles: All 4 interior angles may differ, always summing to $360^\circ$.
Diagonal & Offsets: Drawing one diagonal divides the quadrilateral into two triangles. The perpendiculars dropped from the opposite vertices onto this diagonal are called Offsets ($h_1, h_2$).
Symmetry: In general, it has no lines of symmetry.

Calculation Tips:
• Offsets ($h_1, h_2$) must be perpendicular to the shared diagonal.
• Derivation comes from the sum of two triangles: $\text{Area} = \frac{1}{2}dh_1 + \frac{1}{2}dh_2 = \frac{1}{2}d(h_1 + h_2)$.
• The perimeter is the sum of all 4 side lengths.

Example 7.1

สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีเส้นทแยงมุมยาว $10$ ซม. และมีเส้นกิ่งที่ลากจากจุดยอดมาตั้งฉากยาว $3$ ซม. และ $4$ ซม. จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปนี้

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2) \\ &= \frac{1}{2} \times 10 \times (3 + 4) \\ &= 5 \times 7 \\ &= 35 \text{ ตร.ซม.} \end{aligned} $$

A quadrilateral has a diagonal of length $10$ cm, and perpendicular offsets from the other two vertices of $3$ cm and $4$ cm. Find the area of this quadrilateral.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2) \\ &= \frac{1}{2} \times 10 \times (3 + 4) \\ &= 5 \times 7 \\ &= 35 \text{ cm}^2 \end{aligned} $$

Example 7.2

สี่เหลี่ยมใดๆ มีความยาวเส้นทแยงมุม $15.5$ ม. และมีความยาวเส้นกิ่งทั้งสองเส้นเป็น $2.5$ ม. และ $1.5$ ม. จงคำนวณหาพื้นที่

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2) \\ &= \frac{1}{2} \times 15.5 \times (2.5 + 1.5) \\ &= \frac{1}{2} \times 15.5 \times 4 \\ &= 15.5 \times 2 \\ &= 31 \text{ ตร.ม.} \end{aligned} $$

A general quadrilateral has a diagonal measuring $15.5$ m, with perpendicular offsets of $2.5$ m and $1.5$ m. Calculate its area.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2) \\ &= \frac{1}{2} \times 15.5 \times (2.5 + 1.5) \\ &= \frac{1}{2} \times 15.5 \times 4 \\ &= 15.5 \times 2 \\ &= 31 \text{ m}^2 \end{aligned} $$

Example 7.3

สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีพื้นที่ $48$ ตร.นิ้ว และมีเส้นทแยงมุมยาว $12$ นิ้ว ถ้าเส้นกิ่งเส้นแรกยาว $3$ นิ้ว จงหาความยาวของเส้นกิ่งเส้นที่สอง

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2) \\ 48 &= \frac{1}{2} \times 12 \times (3 + x) \\ 48 &= 6 \times (3 + x) \\ \frac{48}{6} &= 3 + x \\ 8 &= 3 + x \\ x &= 8 - 3 \\ &= 5 \text{ นิ้ว} \end{aligned} $$

A quadrilateral has an area of $48$ sq.in. and a diagonal of length $12$ in. If the first offset is $3$ in, find the length of the second offset.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2) \\ 48 &= \frac{1}{2} \times 12 \times (3 + x) \\ 48 &= 6 \times (3 + x) \\ \frac{48}{6} &= 3 + x \\ 8 &= 3 + x \\ x &= 8 - 3 \\ &= 5 \text{ in} \end{aligned} $$

Example 7.4

สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีเส้นกิ่งสองเส้นยาวเท่ากัน และมีเส้นทแยงมุมยาว $10$ ซม. ถ้าสี่เหลี่ยมนี้มีพื้นที่ $40$ ซม.$^2$ จงหาความยาวของเส้นกิ่งแต่ละเส้น

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d \times (x + x) \\ 40 &= \frac{1}{2} \times 10 \times 2x \\ 40 &= 5 \times 2x \\ 40 &= 10x \\ x &= \frac{40}{10} \\ &= 4 \text{ ซม.} \end{aligned} $$

A quadrilateral has two equal offsets and a diagonal of $10$ cm. If its area is $40$ cm$^2$, find the length of each offset.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d \times (x + x) \\ 40 &= \frac{1}{2} \times 10 \times 2x \\ 40 &= 5 \times 2x \\ 40 &= 10x \\ x &= \frac{40}{10} \\ &= 4 \text{ cm} \end{aligned} $$

Example 7.5

ที่ดินรูปสี่เหลี่ยมใดๆ แปลงหนึ่ง มีแนวเส้นทแยงมุมยาว $20$ ม. และมีเส้นกิ่งยาว $8$ ม. และ $7$ ม. ถ้าต้องการขายที่ดินแปลงนี้ในราคาตารางเมตรละ $100$ บาท จะได้เงินกี่บาท?

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2) \\ &= \frac{1}{2} \times 20 \times (8 + 7) \\ &= 10 \times 15 \\ &= 150 \text{ ตร.ม.} \\ \text{ราคาขาย} &= 150 \times 100 \\ &= 15,000 \text{ บาท} \end{aligned} $$

A plot of general quadrilateral land has a diagonal of $20$ m and offsets of $8$ m and $7$ m. If the land is sold at $100$ THB per square meter, what is the total selling price?

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d \times (h_1 + h_2) \\ &= \frac{1}{2} \times 20 \times (8 + 7) \\ &= 10 \times 15 \\ &= 150 \text{ m}^2 \\ \text{Selling Price} &= 150 \times 100 \\ &= 15,000 \text{ THB} \end{aligned} $$

Example 7.6

สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งมีเส้นทแยงมุมยาว $20$ หน่วย และมีพื้นที่ $60$ ตารางหน่วย ถ้าอัตราส่วนความยาวของเส้นกิ่งทั้งสองคือ $1:2$ จงหาความยาวของเส้นกิ่งแต่ละเส้น

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่} &= \frac{1}{2} \times d \times (x + 2x) \\ 60 &= \frac{1}{2} \times 20 \times 3x \\ 60 &= 10 \times 3x \\ 60 &= 30x \\ x &= \frac{60}{30} \\ &= 2 \\ 2x &= 2 \times 2 \\ &= 4 \\ \text{ดังนั้นเส้นกิ่งทั้งสองยาว} &= 2 \text{ และ } 4 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

A quadrilateral has a diagonal of $20$ units and an area of $60$ square units. If the ratio of the two offsets is $1:2$, find the length of each offset.

$$ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} \times d \times (x + 2x) \\ 60 &= \frac{1}{2} \times 20 \times 3x \\ 60 &= 10 \times 3x \\ 60 &= 30x \\ x &= \frac{60}{30} \\ &= 2 \\ 2x &= 2 \times 2 \\ &= 4 \\ \text{Therefore, the offsets are} &= 2 \text{ and } 4 \text{ units} \end{aligned} $$

Example 7.7

สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งถูกแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยม 2 รูป โดยใช้เส้นทแยงมุมร่วมกันยาว $D$ หน่วย และมีความสูงของสามเหลี่ยมแต่ละรูปเท่ากับ $h_1$ และ $h_2$ หน่วย จงแสดงที่มาของสูตรพื้นที่รวม

$$ \begin{aligned} \text{พื้นที่ } \triangle_1 &= \frac{1}{2} \times D \times h_1 \\ \text{พื้นที่ } \triangle_2 &= \frac{1}{2} \times D \times h_2 \\ \text{พื้นที่รวม} &= \text{พื้นที่ } \triangle_1 + \text{พื้นที่ } \triangle_2 \\ &= \frac{1}{2}D h_1 + \frac{1}{2}D h_2 \\ &= \frac{1}{2}D(h_1 + h_2) \end{aligned} $$

A quadrilateral is split into two triangles sharing a common diagonal of length $D$ units, with heights $h_1$ and $h_2$ units. Derive the total area formula.

$$ \begin{aligned} \text{Area } \triangle_1 &= \frac{1}{2} \times D \times h_1 \\ \text{Area } \triangle_2 &= \frac{1}{2} \times D \times h_2 \\ \text{Total Area} &= \text{Area } \triangle_1 + \text{Area } \triangle_2 \\ &= \frac{1}{2}D h_1 + \frac{1}{2}D h_2 \\ &= \frac{1}{2}D(h_1 + h_2) \end{aligned} $$

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Quadrilateral	quattuor (four) + latus (side)	รูปสี่เหลี่ยม · รูปเรขาคณิต 2 มิติที่มี 4 ด้านและ 4 มุม
Area	area (level ground)	พื้นที่ · ขนาดของพื้นผิวภายในขอบเขตของรูปเรขาคณิต 2 มิติ
Square	ex- (out) + quadrare (make square)	สี่เหลี่ยมจัตุรัส · ด้านเท่ากันทุกด้านและมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก
Rectangle	rectus (straight/right) + angulus (angle)	สี่เหลี่ยมผืนผ้า · มุมทุกมุมเป็นมุมฉาก ด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน
Parallelogram	parallelos (parallel) + gramma (drawn)	สี่เหลี่ยมด้านขนาน · ด้านตรงข้ามขนานกันและยาวเท่ากัน
Rhombus	rhombos (spinning top)	สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน · ด้านเท่ากันทุกด้าน เส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉาก
Trapezoid	trapeza (table)	สี่เหลี่ยมคางหมู · มีด้านขนานกันเพียง 1 คู่
Kite	Old English 'cyta' (bird of prey)	สี่เหลี่ยมรูปว่าว · ด้านประชิดยาวเท่ากัน 2 คู่ เส้นทแยงมุมตัดเป็นมุมฉาก
Diagonal	dia (across) + gonia (angle)	เส้นทแยงมุม · เส้นตรงที่ลากเชื่อมระหว่างมุมที่อยู่ตรงข้ามกัน
Perimeter	peri (around) + metron (measure)	ความยาวรอบรูป · ผลรวมของความยาวด้านทุกด้านของรูปเรขาคณิต

พื้นที่สี่เหลี่ยม
Area of Quadrilaterals

🟥 สี่เหลี่ยมจัตุรัส 🟥 Square

🟩 สี่เหลี่ยมผืนผ้า 🟩 Rectangle

🔶 สี่เหลี่ยมด้านขนาน 🔶 Parallelogram

♦️ สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ♦️ Rhombus

🔺 สี่เหลี่ยมคางหมู 🔺 Trapezoid

🪁 สี่เหลี่ยมรูปว่าว 🪁 Kite

🧩 สี่เหลี่ยมใดๆ (สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า) 🧩 Any Quadrilateral

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary