การแยกตัวประกอบของพหุนาม

การแยกตัวประกอบพหุนาม (Factoring Polynomials) คือการเขียนพหุนามในรูปของการคูณกันของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า ซึ่งจะช่วยให้การแก้สมการและการจัดรูปทางพีชคณิตง่ายขึ้นมาก

Factoring Polynomials is the process of writing a polynomial as a product of lower-degree polynomials. This simplifies solving equations and algebraic manipulation.

การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง Factoring by Distributive Property

หรือที่เรียกกันว่า "การดึงตัวร่วม" หลักการคือหา ห.ร.ม. ของสัมประสิทธิ์และตัวแปรที่มีเหมือนกันในทุกพจน์ แล้วดึงออกมาไว้นอกวงเล็บ

$$ {\color{#e65100}a}b + {\color{#e65100}a}c = {\color{#e65100}a}(b + c) $$

Also known as "pulling out common factors." Find the Greatest Common Factor (GCF) of the coefficients and variables, then pull it outside the parentheses.

$$ {\color{#e65100}a}b + {\color{#e65100}a}c = {\color{#e65100}a}(b + c) $$

Example 1.1

แยกตัวประกอบของ: $2x + 4$

$$ \begin{aligned} 2x + 4 &= 2(x) + 2(2) \\ &= 2(x + 2) \end{aligned} $$

Factor: $2x + 4$

$$ \begin{aligned} 2x + 4 &= 2(x) + 2(2) \\ &= 2(x + 2) \end{aligned} $$

Example 1.2

แยกตัวประกอบของ: $x^2 + 3x$

$$ \begin{aligned} x^2 + 3x &= x(x) + x(3) \\ &= x(x + 3) \end{aligned} $$

Factor: $x^2 + 3x$

$$ \begin{aligned} x^2 + 3x &= x(x) + x(3) \\ &= x(x + 3) \end{aligned} $$

Example 1.3

แยกตัวประกอบของ: $6x^2 - 9x$

$$ \begin{aligned} 6x^2 - 9x &= 3x(2x) - 3x(3) \\ &= 3x(2x - 3) \end{aligned} $$

Factor: $6x^2 - 9x$

$$ \begin{aligned} 6x^2 - 9x &= 3x(2x) - 3x(3) \\ &= 3x(2x - 3) \end{aligned} $$

Example 1.4

แยกตัวประกอบของ: $15x^3y^2 + 10x^2y^3$

$$ \begin{aligned} 15x^3y^2 + 10x^2y^3 &= 5x^2y^2(3x) + 5x^2y^2(2y) \\ &= 5x^2y^2(3x + 2y) \end{aligned} $$

Factor: $15x^3y^2 + 10x^2y^3$

$$ \begin{aligned} 15x^3y^2 + 10x^2y^3 &= 5x^2y^2(3x) + 5x^2y^2(2y) \\ &= 5x^2y^2(3x + 2y) \end{aligned} $$

Example 1.5

แยกตัวประกอบของ: $-4x^2 - 12x$

$$ \begin{aligned} -4x^2 - 12x &= -4x(x) - 4x(3) \\ &= -4x(x + 3) \end{aligned} $$

Factor: $-4x^2 - 12x$

$$ \begin{aligned} -4x^2 - 12x &= -4x(x) - 4x(3) \\ &= -4x(x + 3) \end{aligned} $$

Example 1.6

แยกตัวประกอบของ: $a(x+y) + b(x+y)$

$$ \begin{aligned} a(x+y) + b(x+y) &= (x+y)(a) + (x+y)(b) \\ &= (x+y)(a + b) \end{aligned} $$

Factor: $a(x+y) + b(x+y)$

$$ \begin{aligned} a(x+y) + b(x+y) &= (x+y)(a) + (x+y)(b) \\ &= (x+y)(a + b) \end{aligned} $$

Example 1.7

แยกตัวประกอบของ: $x(a-b) - y(a-b)$

$$ \begin{aligned} x(a-b) - y(a-b) &= (a-b)(x) - (a-b)(y) \\ &= (a-b)(x - y) \end{aligned} $$

Factor: $x(a-b) - y(a-b)$

$$ \begin{aligned} x(a-b) - y(a-b) &= (a-b)(x) - (a-b)(y) \\ &= (a-b)(x - y) \end{aligned} $$

พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว ($ax^2 + bx + c$) Quadratic Polynomials ($ax^2 + bx + c$)

กรณี $a = 1$: หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ $c$ และบวกกันได้ $b$

$$ x^2 + bx + c = (x + m)(x + n) $$ $$ \text{โดยที่ } m \cdot n = c \quad \text{และ} \quad m + n = b $$

กรณี $a \neq 1$: แยกเป็นสองวงเล็บโดยพิจารณาพจน์หน้า, พจน์กลาง (ใกล้คูณใกล้ + ไกลคูณไกล) และพจน์หลัง

$$ ax^2 + bx + c = (px + r)(qx + s) $$ $$ \begin{aligned} \text{พจน์หน้า: } & p \cdot q = a \\ \text{พจน์หลัง: } & r \cdot s = c \\ \text{พจน์กลาง: } & rq + ps = b \quad (\text{ใกล้}\times\text{ใกล้} + \text{ไกล}\times\text{ไกล}) \end{aligned} $$

Case $a = 1$: Find two numbers that multiply to $c$ and add up to $b$.

$$ x^2 + bx + c = (x + m)(x + n) $$ $$ \text{where } m \cdot n = c \quad \text{and} \quad m + n = b $$

Case $a \neq 1$: Split into two binomials, checking the first terms, middle terms (inner + outer products), and last terms.

$$ ax^2 + bx + c = (px + r)(qx + s) $$ $$ \begin{aligned} \text{First terms: } & p \cdot q = a \\ \text{Last terms: } & r \cdot s = c \\ \text{Middle term: } & rq + ps = b \quad (\text{Inner} + \text{Outer products}) \end{aligned} $$

Example 2.1

แยกตัวประกอบของ: $x^2 + 5x + 6$

$$ \begin{aligned} x^2 + 5x + 6 &= (x + \underline{\hspace{1em}})(x + \underline{\hspace{1em}}) \\ &= (x + 2)(x + 3) \end{aligned} $$

💡 วิธีคิด: หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ $6$ และบวกกันได้ $5$ ซึ่งคือ $2$ และ $3$ เพราะ $2 \times 3 = 6$ และ $2 + 3 = 5$

Factor: $x^2 + 5x + 6$

$$ \begin{aligned} x^2 + 5x + 6 &= (x + \underline{\hspace{1em}})(x + \underline{\hspace{1em}}) \\ &= (x + 2)(x + 3) \end{aligned} $$

💡 Thought Process: Find two numbers that multiply to $6$ and add up to $5$, which are $2$ and $3$ since $2 \times 3 = 6$ and $2 + 3 = 5$.

Example 2.2

แยกตัวประกอบของ: $x^2 - 7x + 12$

$$ \begin{aligned} x^2 - 7x + 12 &= (x - 3)(x - 4) \end{aligned} $$

💡 วิธีคิด: หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ $12$ และบวกกันได้ $-7$ (ผลคูณบวก ผลบวกลบ $\rightarrow$ ทั้งสองตัวต้องติดลบ) ซึ่งคือ $-3$ และ $-4$ เพราะ $(-3) \times (-4) = 12$ และ $(-3) + (-4) = -7$

Factor: $x^2 - 7x + 12$

$$ \begin{aligned} x^2 - 7x + 12 &= (x - 3)(x - 4) \end{aligned} $$

💡 Thought Process: Find two numbers that multiply to $12$ and add up to $-7$ (product $>0$ but sum $<0$ $\rightarrow$ both must be negative), which are $-3$ and $-4$ since $(-3)(-4) = 12$ and $(-3) + (-4) = -7$.

Example 2.3

แยกตัวประกอบของ: $x^2 + 2x - 15$

$$ \begin{aligned} x^2 + 2x - 15 &= (x + 5)(x - 3) \end{aligned} $$

💡 วิธีคิด: หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ $-15$ และบวกกันได้ $2$ (ผลคูณติดลบ $\rightarrow$ เครื่องหมายต่างกัน) ซึ่งคือ $5$ และ $-3$ เพราะ $5 \times (-3) = -15$ และ $5 + (-3) = 2$

Factor: $x^2 + 2x - 15$

$$ \begin{aligned} x^2 + 2x - 15 &= (x + 5)(x - 3) \end{aligned} $$

💡 Thought Process: Find two numbers that multiply to $-15$ and add up to $2$ (product $<0$ $\rightarrow$ opposite signs), which are $5$ and $-3$ since $(5)(-3) = -15$ and $5 + (-3) = 2$.

Example 2.4

แยกตัวประกอบของ: $2x^2 + 7x + 3$

$$ \begin{aligned} 2x^2 + 7x + 3 &= (2x + 1)(x + 3) \end{aligned} $$

💡 วิธีคิด: พจน์หน้า $2x^2 = (2x)(x)$ และพจน์หลัง $3 = (1)(3)$
ตรวจสอบพจน์กลาง: ใกล้ $\times$ ใกล้ $= 1x$, ไกล $\times$ ไกล $= 6x$ รวมกันได้ $1x + 6x = \mathbf{7x}$ ✓

Factor: $2x^2 + 7x + 3$

$$ \begin{aligned} 2x^2 + 7x + 3 &= (2x + 1)(x + 3) \end{aligned} $$

💡 Thought Process: First term $2x^2 = (2x)(x)$ and last term $3 = (1)(3)$.
Check middle term: Inner $= 1x$, Outer $= 6x$, sum is $1x + 6x = \mathbf{7x}$ ✓

Example 2.5

แยกตัวประกอบของ: $3x^2 - 10x + 8$

$$ \begin{aligned} 3x^2 - 10x + 8 &= (3x - 4)(x - 2) \end{aligned} $$

💡 วิธีคิด: พจน์หน้า $3x^2 = (3x)(x)$ และพจน์หลัง $8 = (-4)(-2)$ (เลือกติดลบเพราะพจน์กลางติดลบ)
ตรวจสอบพจน์กลาง: $(-4x) + (-6x) = \mathbf{-10x}$ ✓

Factor: $3x^2 - 10x + 8$

$$ \begin{aligned} 3x^2 - 10x + 8 &= (3x - 4)(x - 2) \end{aligned} $$

💡 Thought Process: First term $3x^2 = (3x)(x)$ and last term $8 = (-4)(-2)$ (both negative since middle term is negative).
Check middle term: $(-4x) + (-6x) = \mathbf{-10x}$ ✓

Example 2.6

แยกตัวประกอบของ: $6x^2 + 11x - 10$

$$ \begin{aligned} 6x^2 + 11x - 10 &= (3x - 2)(2x + 5) \end{aligned} $$

💡 วิธีคิด: พจน์หน้า $6x^2 = (3x)(2x)$ และพจน์หลัง $-10 = (-2)(5)$
ตรวจสอบพจน์กลาง: ใกล้ $\times$ ใกล้ $= -4x$, ไกล $\times$ ไกล $= 15x$ รวมกันได้ $-4x + 15x = \mathbf{11x}$ ✓

Factor: $6x^2 + 11x - 10$

$$ \begin{aligned} 6x^2 + 11x - 10 &= (3x - 2)(2x + 5) \end{aligned} $$

💡 Thought Process: First term $6x^2 = (3x)(2x)$ and last term $-10 = (-2)(5)$.
Check middle term: Inner $= -4x$, Outer $= 15x$, sum is $-4x + 15x = \mathbf{11x}$ ✓

Example 2.7

แยกตัวประกอบของ: $4x^2 - 12x + 5$

$$ \begin{aligned} 4x^2 - 12x + 5 &= (2x - 1)(2x - 5) \end{aligned} $$

💡 วิธีคิด: พจน์หน้า $4x^2 = (2x)(2x)$ และพจน์หลัง $5 = (-1)(-5)$
ตรวจสอบพจน์กลาง: ใกล้ $\times$ ใกล้ $= -2x$, ไกล $\times$ ไกล $= -10x$ รวมกันได้ $(-2x) + (-10x) = \mathbf{-12x}$ ✓

Factor: $4x^2 - 12x + 5$

$$ \begin{aligned} 4x^2 - 12x + 5 &= (2x - 1)(2x - 5) \end{aligned} $$

💡 Thought Process: First term $4x^2 = (2x)(2x)$ and last term $5 = (-1)(-5)$.
Check middle term: Inner $= -2x$, Outer $= -10x$, sum is $(-2x) + (-10x) = \mathbf{-12x}$ ✓

สูตรกำลังสองสมบูรณ์ Perfect Square Trinomial

สูตร กำลังสองสมบูรณ์ มีรูปแบบตายตัวเมื่อกำหนดให้ $a$ แทนพจน์หน้า และ $b$ แทนพจน์หลัง ดังนี้:

$$ ({\color{#1565c0}a} + {\color{#e65100}b})^2 = {\color{#1565c0}a}^2 + 2{\color{#1565c0}a}{\color{#e65100}b} + {\color{#e65100}b}^2 $$ $$ ({\color{#1565c0}a} - {\color{#e65100}b})^2 = {\color{#1565c0}a}^2 - 2{\color{#1565c0}a}{\color{#e65100}b} + {\color{#e65100}b}^2 $$

📌 ข้อสังเกต: เครื่องหมายของ พจน์กลาง ($2ab$) จะเป็นไปตามเครื่องหมายในวงเล็บเสมอ ส่วนพจน์หลัง ($b^2$) จะเป็น บวกเสมอ

Perfect Square Trinomial formulas have fixed patterns, where $a$ is the first term and $b$ is the last term:

📌 Key Note: The sign of the middle term ($2ab$) always matches the sign in the parentheses, while the last term ($b^2$) is always positive.

Example 3.1

แยกตัวประกอบของ: $x^2 + 6x + 9$

$$ \begin{aligned} x^2 + 6x + 9 &= (x)^2 + 2(x)(3) + (3)^2 \\ &= (x + 3)^2 \end{aligned} $$

Factor: $x^2 + 6x + 9$

$$ \begin{aligned} x^2 + 6x + 9 &= (x)^2 + 2(x)(3) + (3)^2 \\ &= (x + 3)^2 \end{aligned} $$

Example 3.2

แยกตัวประกอบของ: $x^2 - 10x + 25$

$$ \begin{aligned} x^2 - 10x + 25 &= (x)^2 - 2(x)(5) + (5)^2 \\ &= (x - 5)^2 \end{aligned} $$

Factor: $x^2 - 10x + 25$

$$ \begin{aligned} x^2 - 10x + 25 &= (x)^2 - 2(x)(5) + (5)^2 \\ &= (x - 5)^2 \end{aligned} $$

Example 3.3

แยกตัวประกอบของ: $4x^2 + 12x + 9$

$$ \begin{aligned} 4x^2 + 12x + 9 &= (2x)^2 + 2(2x)(3) + (3)^2 \\ &= (2x + 3)^2 \end{aligned} $$

Factor: $4x^2 + 12x + 9$

$$ \begin{aligned} 4x^2 + 12x + 9 &= (2x)^2 + 2(2x)(3) + (3)^2 \\ &= (2x + 3)^2 \end{aligned} $$

Example 3.4

แยกตัวประกอบของ: $9x^2 - 24x + 16$

$$ \begin{aligned} 9x^2 - 24x + 16 &= (3x)^2 - 2(3x)(4) + (4)^2 \\ &= (3x - 4)^2 \end{aligned} $$

Factor: $9x^2 - 24x + 16$

$$ \begin{aligned} 9x^2 - 24x + 16 &= (3x)^2 - 2(3x)(4) + (4)^2 \\ &= (3x - 4)^2 \end{aligned} $$

Example 3.5

แยกตัวประกอบของ: $25x^2 + 20xy + 4y^2$

$$ \begin{aligned} 25x^2 + 20xy + 4y^2 &= (5x)^2 + 2(5x)(2y) + (2y)^2 \\ &= (5x + 2y)^2 \end{aligned} $$

Factor: $25x^2 + 20xy + 4y^2$

$$ \begin{aligned} 25x^2 + 20xy + 4y^2 &= (5x)^2 + 2(5x)(2y) + (2y)^2 \\ &= (5x + 2y)^2 \end{aligned} $$

Example 3.6

แยกตัวประกอบของ: $x^2 - 2x + 1$

$$ \begin{aligned} x^2 - 2x + 1 &= (x)^2 - 2(x)(1) + (1)^2 \\ &= (x - 1)^2 \end{aligned} $$

Factor: $x^2 - 2x + 1$

$$ \begin{aligned} x^2 - 2x + 1 &= (x)^2 - 2(x)(1) + (1)^2 \\ &= (x - 1)^2 \end{aligned} $$

Example 3.7

แยกตัวประกอบของ: $16x^2 - 40xy + 25y^2$

$$ \begin{aligned} 16x^2 - 40xy + 25y^2 &= (4x)^2 - 2(4x)(5y) + (5y)^2 \\ &= (4x - 5y)^2 \end{aligned} $$

Factor: $16x^2 - 40xy + 25y^2$

$$ \begin{aligned} 16x^2 - 40xy + 25y^2 &= (4x)^2 - 2(4x)(5y) + (5y)^2 \\ &= (4x - 5y)^2 \end{aligned} $$

สูตรผลต่างกำลังสอง Difference of Squares

สูตร ผลต่างกำลังสอง ใช้เมื่อมี 2 พจน์ลบกัน และจัดรูปกำลังสองได้ โดยให้ $a$ แทนพจน์หน้า และ $b$ แทนพจน์หลัง ดังนี้:

$$ {\color{#1565c0}a}^2 - {\color{#e65100}b}^2 = ({\color{#1565c0}a} - {\color{#e65100}b})({\color{#1565c0}a} + {\color{#e65100}b}) $$

📌 ข้อสังเกต: แยกตัวประกอบได้เป็นคู่ (ลบ) และ (บวก) เสมอ และใช้ได้เฉพาะกรณีที่เป็น ผลต่าง (เครื่องหมายลบ) เท่านั้น

Difference of Squares applies when two terms are subtracted and each is a perfect square, where $a$ is the first term and $b$ is the last term:

$$ {\color{#1565c0}a}^2 - {\color{#e65100}b}^2 = ({\color{#1565c0}a} - {\color{#e65100}b})({\color{#1565c0}a} + {\color{#e65100}b}) $$

📌 Key Note: It always factors into conjugate pairs of (minus) and (plus), and only works for subtraction.

Example 4.1

แยกตัวประกอบของ: $x^2 - 16$

$$ \begin{aligned} x^2 - 16 &= x^2 - 4^2 \\ &= (x - 4)(x + 4) \end{aligned} $$

Factor: $x^2 - 16$

$$ \begin{aligned} x^2 - 16 &= x^2 - 4^2 \\ &= (x - 4)(x + 4) \end{aligned} $$

Example 4.2

แยกตัวประกอบของ: $4x^2 - 25$

$$ \begin{aligned} 4x^2 - 25 &= (2x)^2 - 5^2 \\ &= (2x - 5)(2x + 5) \end{aligned} $$

Factor: $4x^2 - 25$

$$ \begin{aligned} 4x^2 - 25 &= (2x)^2 - 5^2 \\ &= (2x - 5)(2x + 5) \end{aligned} $$

Example 4.3

แยกตัวประกอบของ: $9x^2 - y^2$

$$ \begin{aligned} 9x^2 - y^2 &= (3x)^2 - y^2 \\ &= (3x - y)(3x + y) \end{aligned} $$

Factor: $9x^2 - y^2$

$$ \begin{aligned} 9x^2 - y^2 &= (3x)^2 - y^2 \\ &= (3x - y)(3x + y) \end{aligned} $$

Example 4.4

แยกตัวประกอบของ: $1 - 49x^2$

$$ \begin{aligned} 1 - 49x^2 &= 1^2 - (7x)^2 \\ &= (1 - 7x)(1 + 7x) \end{aligned} $$

Factor: $1 - 49x^2$

$$ \begin{aligned} 1 - 49x^2 &= 1^2 - (7x)^2 \\ &= (1 - 7x)(1 + 7x) \end{aligned} $$

Example 4.5

แยกตัวประกอบของ: $x^4 - 81$

$$ \begin{aligned} x^4 - 81 &= (x^2)^2 - 9^2 \\ &= (x^2 - 9)(x^2 + 9) \\ &= (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9) \end{aligned} $$

Factor: $x^4 - 81$

$$ \begin{aligned} x^4 - 81 &= (x^2)^2 - 9^2 \\ &= (x^2 - 9)(x^2 + 9) \\ &= (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9) \end{aligned} $$

Example 4.6

แยกตัวประกอบของ: $(x+2)^2 - 9$

$$ \begin{aligned} (x+2)^2 - 9 &= (x+2)^2 - 3^2 \\ &= ((x+2) - 3)((x+2) + 3) \\ &= (x - 1)(x + 5) \end{aligned} $$

Factor: $(x+2)^2 - 9$

$$ \begin{aligned} (x+2)^2 - 9 &= (x+2)^2 - 3^2 \\ &= ((x+2) - 3)((x+2) + 3) \\ &= (x - 1)(x + 5) \end{aligned} $$

Example 4.7

แยกตัวประกอบของ: $25x^2 - 16y^2$

$$ \begin{aligned} 25x^2 - 16y^2 &= (5x)^2 - (4y)^2 \\ &= (5x - 4y)(5x + 4y) \end{aligned} $$

Factor: $25x^2 - 16y^2$

$$ \begin{aligned} 25x^2 - 16y^2 &= (5x)^2 - (4y)^2 \\ &= (5x - 4y)(5x + 4y) \end{aligned} $$

ผลบวกและผลต่างกำลังสาม Sum & Difference of Cubes

สูตร ผลบวกและผลต่างกำลังสาม ใช้เมื่อมี 2 พจน์บวกหรือลบกัน และจัดรูปกำลังสามได้ โดยให้ $a$ แทนพจน์หน้า และ $b$ แทนพจน์หลัง ดังนี้:

$$ {\color{#1565c0}a}^3 + {\color{#e65100}b}^3 = ({\color{#1565c0}a} + {\color{#e65100}b})({\color{#1565c0}a}^2 - {\color{#1565c0}a}{\color{#e65100}b} + {\color{#e65100}b}^2) $$ $$ {\color{#1565c0}a}^3 - {\color{#e65100}b}^3 = ({\color{#1565c0}a} - {\color{#e65100}b})({\color{#1565c0}a}^2 + {\color{#1565c0}a}{\color{#e65100}b} + {\color{#e65100}b}^2) $$

📌 ข้อสังเกต: วงเล็บแรกจะมีเครื่องหมาย เหมือนโจทย์ ส่วนวงเล็บหลังพจน์กลาง ($ab$) จะมีเครื่องหมาย ตรงข้ามกับวงเล็บแรก และพจน์หลัง ($b^2$) จะเป็น บวกเสมอ

Sum & Difference of Cubes formulas apply when two terms are added or subtracted and each is a perfect cube, where $a$ is the first term and $b$ is the last term:

📌 Key Note: The first factor has the same sign as the problem, the middle term ($ab$) in the second factor has the opposite sign, and the last term ($b^2$) is always positive.

Example 5.1

แยกตัวประกอบของ: $x^3 - 8$

$$ \begin{aligned} x^3 - 8 &= x^3 - 2^3 \\ &= (x - 2)(x^2 + (x)(2) + 2^2) \\ &= (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \end{aligned} $$

Factor: $x^3 - 8$

$$ \begin{aligned} x^3 - 8 &= x^3 - 2^3 \\ &= (x - 2)(x^2 + (x)(2) + 2^2) \\ &= (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \end{aligned} $$

Example 5.2

แยกตัวประกอบของ: $x^3 + 27$

$$ \begin{aligned} x^3 + 27 &= x^3 + 3^3 \\ &= (x + 3)(x^2 - 3x + 9) \end{aligned} $$

Factor: $x^3 + 27$

$$ \begin{aligned} x^3 + 27 &= x^3 + 3^3 \\ &= (x + 3)(x^2 - 3x + 9) \end{aligned} $$

Example 5.3

แยกตัวประกอบของ: $8x^3 - 1$

$$ \begin{aligned} 8x^3 - 1 &= (2x)^3 - 1^3 \\ &= (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) \end{aligned} $$

Factor: $8x^3 - 1$

$$ \begin{aligned} 8x^3 - 1 &= (2x)^3 - 1^3 \\ &= (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) \end{aligned} $$

Example 5.4

แยกตัวประกอบของ: $27x^3 + 64$

$$ \begin{aligned} 27x^3 + 64 &= (3x)^3 + 4^3 \\ &= (3x + 4)(9x^2 - 12x + 16) \end{aligned} $$

Factor: $27x^3 + 64$

$$ \begin{aligned} 27x^3 + 64 &= (3x)^3 + 4^3 \\ &= (3x + 4)(9x^2 - 12x + 16) \end{aligned} $$

Example 5.5

แยกตัวประกอบของ: $x^3 - 125y^3$

$$ \begin{aligned} x^3 - 125y^3 &= x^3 - (5y)^3 \\ &= (x - 5y)(x^2 + 5xy + 25y^2) \end{aligned} $$

Factor: $x^3 - 125y^3$

$$ \begin{aligned} x^3 - 125y^3 &= x^3 - (5y)^3 \\ &= (x - 5y)(x^2 + 5xy + 25y^2) \end{aligned} $$

Example 5.6

แยกตัวประกอบของ: $1000x^3 + 1$

$$ \begin{aligned} 1000x^3 + 1 &= (10x)^3 + 1^3 \\ &= (10x + 1)(100x^2 - 10x + 1) \end{aligned} $$

Factor: $1000x^3 + 1$

$$ \begin{aligned} 1000x^3 + 1 &= (10x)^3 + 1^3 \\ &= (10x + 1)(100x^2 - 10x + 1) \end{aligned} $$

Example 5.7

แยกตัวประกอบของ: $a^3b^3 - 216$

$$ \begin{aligned} a^3b^3 - 216 &= (ab)^3 - 6^3 \\ &= (ab - 6)(a^2b^2 + 6ab + 36) \end{aligned} $$

Factor: $a^3b^3 - 216$

$$ \begin{aligned} a^3b^3 - 216 &= (ab)^3 - 6^3 \\ &= (ab - 6)(a^2b^2 + 6ab + 36) \end{aligned} $$

สูตรกำลังสามสมบูรณ์ Perfect Cube

สูตร กำลังสามสมบูรณ์ มีรูปแบบตายตัวเมื่อกำหนดให้ $a$ แทนพจน์หน้า และ $b$ แทนพจน์หลัง ดังนี้:

$$ ({\color{#1565c0}a} + {\color{#e65100}b})^3 = {\color{#1565c0}a}^3 + 3{\color{#1565c0}a}^2{\color{#e65100}b} + 3{\color{#1565c0}a}{\color{#e65100}b}^2 + {\color{#e65100}b}^3 $$ $$ ({\color{#1565c0}a} - {\color{#e65100}b})^3 = {\color{#1565c0}a}^3 - 3{\color{#1565c0}a}^2{\color{#e65100}b} + 3{\color{#1565c0}a}{\color{#e65100}b}^2 - {\color{#e65100}b}^3 $$

📌 ข้อสังเกต: สัมประสิทธิ์คือ 1, 3, 3, 1 เสมอ โดยกรณีผลลบเครื่องหมายจะ สลับกันแบบ $+ - + -$ (พจน์ที่ $b$ ยกกำลังคี่จะติดลบ)

Perfect Cube formulas have fixed patterns, where $a$ is the first term and $b$ is the last term:

📌 Key Note: Coefficients are always 1, 3, 3, 1. For the difference case, the signs alternate as $+ - + -$ (odd powers of $b$ are negative).

Example 6.1

แยกตัวประกอบของ: $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

$$ \begin{aligned} x^3 + 3x^2 + 3x + 1 &= (x)^3 + 3(x)^2(1) + 3(x)(1)^2 + (1)^3 \\ &= (x + 1)^3 \end{aligned} $$

Factor: $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

$$ \begin{aligned} x^3 + 3x^2 + 3x + 1 &= (x)^3 + 3(x)^2(1) + 3(x)(1)^2 + (1)^3 \\ &= (x + 1)^3 \end{aligned} $$

Example 6.2

แยกตัวประกอบของ: $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

$$ \begin{aligned} x^3 - 6x^2 + 12x - 8 &= (x)^3 - 3(x)^2(2) + 3(x)(2)^2 - (2)^3 \\ &= (x - 2)^3 \end{aligned} $$

Factor: $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

$$ \begin{aligned} x^3 - 6x^2 + 12x - 8 &= (x)^3 - 3(x)^2(2) + 3(x)(2)^2 - (2)^3 \\ &= (x - 2)^3 \end{aligned} $$

Example 6.3

แยกตัวประกอบของ: $8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$

$$ \begin{aligned} 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 &= (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + (1)^3 \\ &= (2x + 1)^3 \end{aligned} $$

Factor: $8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$

$$ \begin{aligned} 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 &= (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + (1)^3 \\ &= (2x + 1)^3 \end{aligned} $$

Example 6.4

แยกตัวประกอบของ: $27x^3 - 27x^2 + 9x - 1$

$$ \begin{aligned} 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 &= (3x)^3 - 3(3x)^2(1) + 3(3x)(1)^2 - (1)^3 \\ &= (3x - 1)^3 \end{aligned} $$

Factor: $27x^3 - 27x^2 + 9x - 1$

$$ \begin{aligned} 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 &= (3x)^3 - 3(3x)^2(1) + 3(3x)(1)^2 - (1)^3 \\ &= (3x - 1)^3 \end{aligned} $$

Example 6.5

แยกตัวประกอบของ: $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

$$ \begin{aligned} x^3 + 9x^2 + 27x + 27 &= (x)^3 + 3(x)^2(3) + 3(x)(3)^2 + (3)^3 \\ &= (x + 3)^3 \end{aligned} $$

Factor: $x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

$$ \begin{aligned} x^3 + 9x^2 + 27x + 27 &= (x)^3 + 3(x)^2(3) + 3(x)(3)^2 + (3)^3 \\ &= (x + 3)^3 \end{aligned} $$

Example 6.6

แยกตัวประกอบของ: $64x^3 - 144x^2 + 108x - 27$

$$ \begin{aligned} 64x^3 - 144x^2 + 108x - 27 &= (4x)^3 - 3(4x)^2(3) + 3(4x)(3)^2 - (3)^3 \\ &= (4x - 3)^3 \end{aligned} $$

Factor: $64x^3 - 144x^2 + 108x - 27$

$$ \begin{aligned} 64x^3 - 144x^2 + 108x - 27 &= (4x)^3 - 3(4x)^2(3) + 3(4x)(3)^2 - (3)^3 \\ &= (4x - 3)^3 \end{aligned} $$

Example 6.7

แยกตัวประกอบของ: $8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$

$$ \begin{aligned} 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 &= (2a)^3 + 3(2a)^2(3b) + 3(2a)(3b)^2 + (3b)^3 \\ &= (2a + 3b)^3 \end{aligned} $$

Factor: $8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$

$$ \begin{aligned} 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 &= (2a)^3 + 3(2a)^2(3b) + 3(2a)(3b)^2 + (3b)^3 \\ &= (2a + 3b)^3 \end{aligned} $$

การจัดกลุ่มและดึงตัวร่วม Factoring by Grouping

มักใช้กับพหุนามที่มี 4 พจน์ขึ้นไป โดยการจับกลุ่มพจน์เข้าด้วยกัน แล้วดึงตัวร่วมของแต่ละกลุ่มออกมาก่อน จากนั้นจึงดึงตัวร่วมที่เหมือนกันในวงเล็บอีกครั้ง

Often used for polynomials with 4 or more terms. Group the terms, factor out the GCF from each group, and then factor out the common binomial.

Example 7.1

แยกตัวประกอบของ: $ax + ay + bx + by$

$$ \begin{aligned} ax + ay + bx + by &= a(x + y) + b(x + y) \\ &= (x + y)(a + b) \end{aligned} $$

Factor: $ax + ay + bx + by$

$$ \begin{aligned} ax + ay + bx + by &= a(x + y) + b(x + y) \\ &= (x + y)(a + b) \end{aligned} $$

Example 7.2

แยกตัวประกอบของ: $x^3 + x^2 + x + 1$

$$ \begin{aligned} x^3 + x^2 + x + 1 &= x^2(x + 1) + 1(x + 1) \\ &= (x + 1)(x^2 + 1) \end{aligned} $$

Factor: $x^3 + x^2 + x + 1$

$$ \begin{aligned} x^3 + x^2 + x + 1 &= x^2(x + 1) + 1(x + 1) \\ &= (x + 1)(x^2 + 1) \end{aligned} $$

Example 7.3

แยกตัวประกอบของ: $x^3 - 2x^2 - 3x + 6$

$$ \begin{aligned} x^3 - 2x^2 - 3x + 6 &= x^2(x - 2) - 3(x - 2) \\ &= (x - 2)(x^2 - 3) \end{aligned} $$

Factor: $x^3 - 2x^2 - 3x + 6$

$$ \begin{aligned} x^3 - 2x^2 - 3x + 6 &= x^2(x - 2) - 3(x - 2) \\ &= (x - 2)(x^2 - 3) \end{aligned} $$

Example 7.4

แยกตัวประกอบของ: $2x^3 - 3x^2 + 4x - 6$

$$ \begin{aligned} 2x^3 - 3x^2 + 4x - 6 &= x^2(2x - 3) + 2(2x - 3) \\ &= (2x - 3)(x^2 + 2) \end{aligned} $$

Factor: $2x^3 - 3x^2 + 4x - 6$

$$ \begin{aligned} 2x^3 - 3x^2 + 4x - 6 &= x^2(2x - 3) + 2(2x - 3) \\ &= (2x - 3)(x^2 + 2) \end{aligned} $$

Example 7.5

แยกตัวประกอบของ: $x^2 - y^2 + 2x + 2y$

$$ \begin{aligned} x^2 - y^2 + 2x + 2y &= (x - y)(x + y) + 2(x + y) \\ &= (x + y)(x - y + 2) \end{aligned} $$

Factor: $x^2 - y^2 + 2x + 2y$

$$ \begin{aligned} x^2 - y^2 + 2x + 2y &= (x - y)(x + y) + 2(x + y) \\ &= (x + y)(x - y + 2) \end{aligned} $$

Example 7.6

แยกตัวประกอบของ: $ab - 5a + 2b - 10$

$$ \begin{aligned} ab - 5a + 2b - 10 &= a(b - 5) + 2(b - 5) \\ &= (b - 5)(a + 2) \end{aligned} $$

Factor: $ab - 5a + 2b - 10$

$$ \begin{aligned} ab - 5a + 2b - 10 &= a(b - 5) + 2(b - 5) \\ &= (b - 5)(a + 2) \end{aligned} $$

Example 7.7

แยกตัวประกอบของ: $x^2 - 4x + 4 - y^2$

$$ \begin{aligned} x^2 - 4x + 4 - y^2 &= (x - 2)^2 - y^2 \\ &= (x - 2 - y)(x - 2 + y) \end{aligned} $$

Factor: $x^2 - 4x + 4 - y^2$

$$ \begin{aligned} x^2 - 4x + 4 - y^2 &= (x - 2)^2 - y^2 \\ &= (x - 2 - y)(x - 2 + y) \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Factor	facere (to do, to make)	ตัวประกอบ · จำนวนหรือพหุนามที่นำมาคูณกันแล้วได้ผลลัพธ์ที่กำหนด
Polynomial	poly- (many) + nomen (name)	พหุนาม · นิพจน์ที่ประกอบด้วยหลายพจน์บวกหรือลบกัน
Monomial	mono- (single, alone) + nomen (name)	เอกนาม · พหุนามที่ประกอบด้วยเพียงพจน์เดียว
Binomial	bi- (two) + nomen (name)	ทวินาม · พหุนามที่ประกอบด้วยสองพจน์
Trinomial	tri- (three) + nomen (name)	ไตรนาม · พหุนามที่ประกอบด้วยสามพจน์
Coefficient	co- (together) + efficere (to produce)	สัมประสิทธิ์ · ค่าคงตัวที่คูณอยู่หน้าตัวแปรในแต่ละพจน์
Constant	constare (to stand firm)	ค่าคงตัว · พจน์ที่เป็นจำนวนตัวเลขเดี่ยวๆ โดยไม่มีตัวแปร
Degree	de- (down) + gradus (step)	ดีกรี · เลขชี้กำลังสูงสุดของตัวแปรในพหุนาม
Common Factor	communis (shared) + facere (to make)	ตัวประกอบร่วม · จำนวนหรือตัวแปรที่สามารถหารทุกพจน์ลงตัว (ดึงตัวร่วม)
Quadratic	quadratus (made square)	กำลังสอง (ดีกรีสอง) · พหุนามที่มีกำลังสูงสุดเป็น 2
Cubic	kybos (cube, solid block)	กำลังสาม (ดีกรีสาม) · พหุนามที่มีกำลังสูงสุดเป็น 3
Distributive	dis- (apart) + tribuere (to assign)	การแจกแจง · สมบัติการกระจายผลคูณเข้าไปในวงเล็บ หรือการดึงตัวร่วมออกมา
Grouping	gruppo (knot, cluster)	การจัดกลุ่ม · การจับคู่พจน์เพื่อดึงตัวประกอบร่วมออกทีละกลุ่ม