เศษส่วนของพหุนาม

เศษส่วนของพหุนาม (Rational Expressions) มีลักษณะคล้ายกับเศษส่วนของจำนวนเต็มทั่วไป แต่เปลี่ยนจากตัวเลขมาเป็น พหุนาม (Polynomials) หลักการคำนวณต่างๆ ทั้งการตัดทอน การบวกลบคูณหาร และการแก้สมการ จึงอิงพื้นฐานเดียวกับเศษส่วนปกติ เพียงแต่ต้องอาศัยเทคนิค การแยกตัวประกอบ (Factoring) เข้ามาช่วย

Rational Expressions are similar to regular numerical fractions, but they consist of Polynomials. Operations like simplifying, adding, subtracting, multiplying, dividing, and solving equations follow the same basic fraction rules, heavily relying on factoring techniques.

ความรู้เบื้องต้นและเงื่อนไขสำคัญ Introduction & Key Conditions

ความหมาย: นิพจน์ที่เขียนอยู่ในรูป $\displaystyle \frac{\textcolor{#1565c0}{P}}{\textcolor{#e65100}{Q}}$ โดยที่ $\textcolor{#1565c0}{P}$ และ $\textcolor{#e65100}{Q}$ เป็นพหุนาม เรียกว่าเศษส่วนของพหุนาม ($\textcolor{#1565c0}{P}$ = ตัวเศษ, $\textcolor{#e65100}{Q}$ = ตัวส่วน)

ข้อควรระวังสำคัญ: การหารด้วยศูนย์ไม่นิยามในระบบจำนวนจริง ดังนั้น ตัวส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์ ($\textcolor{#c62828}{Q \neq 0}$) เสมอ ในการพิจารณาเศษส่วนของพหุนาม ต้องระบุเงื่อนไขของตัวแปรที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ด้วย

Meaning: An expression in the form $\displaystyle \frac{\textcolor{#1565c0}{P}}{\textcolor{#e65100}{Q}}$, where $\textcolor{#1565c0}{P}$ and $\textcolor{#e65100}{Q}$ are polynomials, is a rational expression ($\textcolor{#1565c0}{P}$ = Numerator, $\textcolor{#e65100}{Q}$ = Denominator).

Important Rule: Division by zero is undefined. Therefore, the denominator can never be zero ($\textcolor{#c62828}{Q \neq 0}$). We must always state the variable restrictions that make the denominator zero.

Example 1.1

จงหาเงื่อนไขของตัวแปรในนิพจน์ $\displaystyle \frac{5}{x-3}$

$$ \begin{aligned} \text{ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์:} \\ x - 3 &\neq 0 \\ x &\neq 3 \end{aligned} $$

Find the domain restriction for $\displaystyle \frac{5}{x-3}$

$$ \begin{aligned} \text{Denominator cannot be zero:} \\ x - 3 &\neq 0 \\ x &\neq 3 \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหาเงื่อนไขของตัวแปรในนิพจน์ $\displaystyle \frac{x+1}{2x+4}$

$$ \begin{aligned} 2x + 4 &\neq 0 \\ 2x &\neq -4 \\ x &\neq -2 \end{aligned} $$

Find the domain restriction for $\displaystyle \frac{x+1}{2x+4}$

$$ \begin{aligned} 2x + 4 &\neq 0 \\ 2x &\neq -4 \\ x &\neq -2 \end{aligned} $$

Example 1.3

จงหาเงื่อนไขของตัวแปรในนิพจน์ $\displaystyle \frac{7x}{x^2-9}$

$$ \begin{aligned} x^2 - 9 &\neq 0 \\ (x-3)(x+3) &\neq 0 \\ x &\neq 3 \text{ และ } x \neq -3 \end{aligned} $$

Find the domain restriction for $\displaystyle \frac{7x}{x^2-9}$

$$ \begin{aligned} x^2 - 9 &\neq 0 \\ (x-3)(x+3) &\neq 0 \\ x &\neq 3 \text{ and } x \neq -3 \end{aligned} $$

Example 1.4

จงหาเงื่อนไขของตัวแปรในนิพจน์ $\displaystyle \frac{4}{x^2-4x}$

$$ \begin{aligned} x^2 - 4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x &\neq 0 \text{ และ } x \neq 4 \end{aligned} $$

Find the domain restriction for $\displaystyle \frac{4}{x^2-4x}$

$$ \begin{aligned} x^2 - 4x &\neq 0 \\ x(x-4) &\neq 0 \\ x &\neq 0 \text{ and } x \neq 4 \end{aligned} $$

Example 1.5

จงหาเงื่อนไขของตัวแปรในนิพจน์ $\displaystyle \frac{x-5}{x^2-5x+6}$

$$ \begin{aligned} x^2 - 5x + 6 &\neq 0 \\ (x-2)(x-3) &\neq 0 \\ x &\neq 2 \text{ และ } x \neq 3 \end{aligned} $$

Find the domain restriction for $\displaystyle \frac{x-5}{x^2-5x+6}$

$$ \begin{aligned} x^2 - 5x + 6 &\neq 0 \\ (x-2)(x-3) &\neq 0 \\ x &\neq 2 \text{ and } x \neq 3 \end{aligned} $$

Example 1.6

จงหาเงื่อนไขของตัวแปรในนิพจน์ $\displaystyle \frac{10}{x^2+1}$

$$ \begin{aligned} \text{เนื่องจาก } x^2 \ge 0 \text{ เสมอ} \\ \text{ดังนั้น } x^2 + 1 \ge 1 > 0 \\ \text{จึงไม่มีเงื่อนไขใดๆ } (x \text{ เป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้}) \end{aligned} $$

Find the domain restriction for $\displaystyle \frac{10}{x^2+1}$

$$ \begin{aligned} \text{Since } x^2 \ge 0 \text{ always,} \\ \text{then } x^2 + 1 \ge 1 > 0 \\ \text{There are no restrictions } (x \text{ can be any real number}). \end{aligned} $$

Example 1.7

จงหาเงื่อนไขของตัวแปรในนิพจน์ $\displaystyle \frac{2x}{x^3-x}$

$$ \begin{aligned} x^3 - x &\neq 0 \\ x(x^2 - 1) &\neq 0 \\ x(x-1)(x+1) &\neq 0 \\ x \neq 0, \ x &\neq 1, \ x \neq -1 \end{aligned} $$

Find the domain restriction for $\displaystyle \frac{2x}{x^3-x}$

$$ \begin{aligned} x^3 - x &\neq 0 \\ x(x^2 - 1) &\neq 0 \\ x(x-1)(x+1) &\neq 0 \\ x \neq 0, \ x &\neq 1, \ x \neq -1 \end{aligned} $$

การทอนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ Simplifying Rational Expressions

หลักการพื้นฐาน: คล้ายกับการทำเศษส่วนตัวเลขให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ แต่ต้องใช้การแยกตัวประกอบ (Factoring)

ขั้นตอน:

แยกตัวประกอบของตัวเศษให้สมบูรณ์
แยกตัวประกอบของตัวส่วนให้สมบูรณ์
นำวงเล็บที่เหมือนกันมาตัดทอน (หารกันได้ $1$)
พหุนามที่เหลือคือเศษส่วนอย่างต่ำ

Basic Principle: Similar to reducing numerical fractions, but requires factoring.

Steps:

Completely factor the numerator.
Completely factor the denominator.
Cancel out common factors (divide to $1$).
The remaining expression is the simplified form.

Example 2.1

จงทอนเศษส่วน $\displaystyle \frac{2x+4}{2}$ ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

$$ \begin{aligned} \frac{2x+4}{2} &= \frac{2(x+2)}{2} \\ &= x+2 \end{aligned} $$

Simplify $\displaystyle \frac{2x+4}{2}$

$$ \begin{aligned} \frac{2x+4}{2} &= \frac{2(x+2)}{2} \\ &= x+2 \end{aligned} $$

Example 2.2

จงทอนเศษส่วน $\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}$

$$ \begin{aligned} \frac{x^2-4}{x-2} &= \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \\ &= x+2 \quad (x \neq 2) \end{aligned} $$

Simplify $\displaystyle \frac{x^2-4}{x-2}$

$$ \begin{aligned} \frac{x^2-4}{x-2} &= \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \\ &= x+2 \quad (x \neq 2) \end{aligned} $$

Example 2.3

จงทอนเศษส่วน $\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x^2-9}$

$$ \begin{aligned} \frac{x^2-x-6}{x^2-9} &= \frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)} \\ &= \frac{x+2}{x+3} \quad (x \neq 3, -3) \end{aligned} $$

Simplify $\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x^2-9}$

$$ \begin{aligned} \frac{x^2-x-6}{x^2-9} &= \frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)} \\ &= \frac{x+2}{x+3} \quad (x \neq 3, -3) \end{aligned} $$

Example 2.4

จงทอนเศษส่วน $\displaystyle \frac{3x^2-12x}{x^2-16}$

$$ \begin{aligned} \frac{3x(x-4)}{(x-4)(x+4)} &= \frac{3x}{x+4} \end{aligned} $$

Simplify $\displaystyle \frac{3x^2-12x}{x^2-16}$

$$ \begin{aligned} \frac{3x(x-4)}{(x-4)(x+4)} &= \frac{3x}{x+4} \end{aligned} $$

Example 2.5

จงทอนเศษส่วน $\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{x^2-1}$

$$ \begin{aligned} \frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} &= \frac{x-1}{x+1} \end{aligned} $$

Simplify $\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{x^2-1}$

$$ \begin{aligned} \frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} &= \frac{x-1}{x+1} \end{aligned} $$

Example 2.6

จงทอนเศษส่วน $\displaystyle \frac{2x^2+5x+3}{2x^2-x-3}$

$$ \begin{aligned} \frac{(2x+3)(x+1)}{(2x-3)(x+1)} &= \frac{2x+3}{2x-3} \end{aligned} $$

Simplify $\displaystyle \frac{2x^2+5x+3}{2x^2-x-3}$

$$ \begin{aligned} \frac{(2x+3)(x+1)}{(2x-3)(x+1)} &= \frac{2x+3}{2x-3} \end{aligned} $$

Example 2.7

จงทอนเศษส่วน $\displaystyle \frac{x-y}{y-x}$ (ทริคเรื่องเครื่องหมายลบ)

$$ \begin{aligned} \frac{x-y}{-(x-y)} &= \frac{1}{-1} \\ &= -1 \end{aligned} $$

Simplify $\displaystyle \frac{x-y}{y-x}$ (Negative sign trick)

$$ \begin{aligned} \frac{x-y}{-(x-y)} &= \frac{1}{-1} \\ &= -1 \end{aligned} $$

การคูณและการหารเศษส่วนของพหุนาม Multiplying and Dividing

การคูณ: $\displaystyle \frac{\textcolor{#1565c0}{A}}{\textcolor{#e65100}{B}} \times \frac{\textcolor{#1565c0}{C}}{\textcolor{#e65100}{D}} = \frac{\textcolor{#1565c0}{A \times C}}{\textcolor{#e65100}{B \times D}}$
เทคนิค: ให้แยกตัวประกอบของทุกพหุนามก่อน แล้วไขว้ตัดทอนวงเล็บที่เหมือนกันระหว่างเศษและส่วน

การหาร: $\displaystyle \frac{\textcolor{#1565c0}{A}}{\textcolor{#e65100}{B}} \div \frac{\textcolor{#1565c0}{C}}{\textcolor{#e65100}{D}} = \frac{\textcolor{#1565c0}{A}}{\textcolor{#e65100}{B}} \times \frac{\textcolor{#1565c0}{D}}{\textcolor{#e65100}{C}}$
เทคนิค: เปลี่ยน "หาร" เป็น "คูณ" และกลับเศษเป็นส่วนเฉพาะพหุนามตัวหลัง จากนั้นทำเหมือนการคูณ

Multiplication: $\displaystyle \frac{\textcolor{#1565c0}{A}}{\textcolor{#e65100}{B}} \times \frac{\textcolor{#1565c0}{C}}{\textcolor{#e65100}{D}} = \frac{\textcolor{#1565c0}{A \times C}}{\textcolor{#e65100}{B \times D}}$
Tip: Factor all polynomials first, then cross-cancel common factors between numerator and denominator.

Division: $\displaystyle \frac{\textcolor{#1565c0}{A}}{\textcolor{#e65100}{B}} \div \frac{\textcolor{#1565c0}{C}}{\textcolor{#e65100}{D}} = \frac{\textcolor{#1565c0}{A}}{\textcolor{#e65100}{B}} \times \frac{\textcolor{#1565c0}{D}}{\textcolor{#e65100}{C}}$
Tip: Change "divide" to "multiply" and flip the second fraction (reciprocal), then follow multiplication steps.

Example 3.1

จงหาผลคูณ $\displaystyle \frac{2x}{3y} \times \frac{9y^2}{4x^2}$

$$ \begin{aligned} \frac{2x \cdot 9y^2}{3y \cdot 4x^2} &= \frac{18xy^2}{12x^2y} \\ &= \frac{3y}{2x} \end{aligned} $$

Multiply $\displaystyle \frac{2x}{3y} \times \frac{9y^2}{4x^2}$

$$ \begin{aligned} \frac{2x \cdot 9y^2}{3y \cdot 4x^2} &= \frac{18xy^2}{12x^2y} \\ &= \frac{3y}{2x} \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหาผลคูณ $\displaystyle \frac{x-2}{x+3} \times \frac{x+3}{x-2}$

$$ \begin{aligned} \frac{(x-2)(x+3)}{(x+3)(x-2)} &= 1 \end{aligned} $$

Multiply $\displaystyle \frac{x-2}{x+3} \times \frac{x+3}{x-2}$

$$ \begin{aligned} \frac{(x-2)(x+3)}{(x+3)(x-2)} &= 1 \end{aligned} $$

Example 3.3

จงหาผลคูณ $\displaystyle \frac{x^2-1}{x+2} \times \frac{x^2+4x+4}{x-1}$

$$ \begin{aligned} \frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)} \times \frac{(x+2)(x+2)}{(x-1)} &= (x+1)(x+2) \\ &= x^2+3x+2 \end{aligned} $$

Multiply $\displaystyle \frac{x^2-1}{x+2} \times \frac{x^2+4x+4}{x-1}$

$$ \begin{aligned} \frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)} \times \frac{(x+2)(x+2)}{(x-1)} &= (x+1)(x+2) \\ &= x^2+3x+2 \end{aligned} $$

Example 3.4

จงหาผลหาร $\displaystyle \frac{8x^3}{5y} \div \frac{4x}{15y^2}$

$$ \begin{aligned} \frac{8x^3}{5y} \times \frac{15y^2}{4x} &= \frac{8x^3 \cdot 15y^2}{5y \cdot 4x} \\ &= \frac{120x^3y^2}{20xy} \\ &= 6x^2y \end{aligned} $$

Divide $\displaystyle \frac{8x^3}{5y} \div \frac{4x}{15y^2}$

$$ \begin{aligned} \frac{8x^3}{5y} \times \frac{15y^2}{4x} &= \frac{8x^3 \cdot 15y^2}{5y \cdot 4x} \\ &= \frac{120x^3y^2}{20xy} \\ &= 6x^2y \end{aligned} $$

Example 3.5

จงหาผลหาร $\displaystyle \frac{x^2-4}{x+1} \div \frac{x-2}{x+1}$

$$ \begin{aligned} \frac{x^2-4}{x+1} \times \frac{x+1}{x-2} &= \frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)} \times \frac{(x+1)}{(x-2)} \\ &= x+2 \end{aligned} $$

Divide $\displaystyle \frac{x^2-4}{x+1} \div \frac{x-2}{x+1}$

$$ \begin{aligned} \frac{x^2-4}{x+1} \times \frac{x+1}{x-2} &= \frac{(x-2)(x+2)}{(x+1)} \times \frac{(x+1)}{(x-2)} \\ &= x+2 \end{aligned} $$

Example 3.6

จงหาผลหาร $\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x^2-9} \div \frac{x+2}{x+3}$

$$ \begin{aligned} \frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)} \times \frac{x+3}{x+2} &= \frac{x+2}{x+3} \times \frac{x+3}{x+2} \\ &= 1 \end{aligned} $$

Divide $\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x^2-9} \div \frac{x+2}{x+3}$

$$ \begin{aligned} \frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)} \times \frac{x+3}{x+2} &= \frac{x+2}{x+3} \times \frac{x+3}{x+2} \\ &= 1 \end{aligned} $$

Example 3.7

จงหาผลสำเร็จของ $\displaystyle \frac{x^2-y^2}{x+y} \times \frac{1}{x-y}$

$$ \begin{aligned} \frac{(x-y)(x+y)}{x+y} \times \frac{1}{x-y} &= (x-y) \times \frac{1}{x-y} \\ &= 1 \end{aligned} $$

Simplify $\displaystyle \frac{x^2-y^2}{x+y} \times \frac{1}{x-y}$

$$ \begin{aligned} \frac{(x-y)(x+y)}{x+y} \times \frac{1}{x-y} &= (x-y) \times \frac{1}{x-y} \\ &= 1 \end{aligned} $$

การหา ค.ร.น. ของพหุนาม Finding the LCM of Polynomials

ความสำคัญ: เพื่อเตรียมบวกและลบเศษส่วนที่มีตัวส่วนไม่เท่ากัน จำเป็นต้องทำตัวส่วนให้เท่ากันด้วย ค.ร.น. (LCM)

วิธีการหา ค.ร.น.:

แยกตัวประกอบของพหุนามแต่ละตัวให้สมบูรณ์
เลือกวงเล็บที่ซ้ำกันมา 1 ชุด (ถ้ามีเลขชี้กำลัง ให้เลือกกำลังสูงสุด)
นำวงเล็บที่ไม่ซ้ำมาคูณต่อให้หมด

Importance: Before adding or subtracting fractions with different denominators, we need a common denominator using the LCM.

Steps to find LCM:

Completely factor each polynomial.
Take the highest power of each common factor.
Multiply with all non-common factors.

Example 4.1

จงหา ค.ร.น. ของ $2x$ และ $4x^2$

$$ \begin{aligned} 2x &= 2 \cdot x \\ 4x^2 &= 2^2 \cdot x^2 \\ \text{ค.ร.น.} &= 2^2 \cdot x^2 \\&= 4x^2 \end{aligned} $$

Find the LCM of $2x$ and $4x^2$

$$ \begin{aligned} 2x &= 2 \cdot x \\ 4x^2 &= 2^2 \cdot x^2 \\ \text{LCM} &= 2^2 \cdot x^2 \\ &= 4x^2 \end{aligned} $$

Example 4.2

จงหา ค.ร.น. ของ $3x^2y$ และ $6xy^3$

$$ \begin{aligned} \text{ค.ร.น. ตัวเลข} &= 6 \\ \text{ค.ร.น. ตัวแปร} &= x^2y^3 \\ \text{รวม ค.ร.น.} &= 6x^2y^3 \end{aligned} $$

Find the LCM of $3x^2y$ and $6xy^3$

$$ \begin{aligned} \text{Number LCM} &= 6 \\ \text{Variable LCM} &= x^2y^3 \\ \text{Total LCM} &= 6x^2y^3 \end{aligned} $$

Example 4.3

จงหา ค.ร.น. ของ $(x-1)$ และ $(x-1)^2$

$$ \begin{aligned} \text{เลือกกำลังสูงสุด} \\ \text{ค.ร.น.} &= (x-1)^2 \end{aligned} $$

Find the LCM of $(x-1)$ and $(x-1)^2$

$$ \begin{aligned} \text{Select highest power} \\ \text{LCM} &= (x-1)^2 \end{aligned} $$

Example 4.4

จงหา ค.ร.น. ของ $(x-2)$ และ $(x+2)$

$$ \begin{aligned} \text{ไม่มีวงเล็บซ้ำกันเลย ให้นำมาคูณกัน} \\ \text{ค.ร.น.} &= (x-2)(x+2) \\ &= x^2-4 \end{aligned} $$

Find the LCM of $(x-2)$ and $(x+2)$

$$ \begin{aligned} \text{No common factors, multiply them.} \\ \text{LCM} &= (x-2)(x+2) \\ &= x^2-4 \end{aligned} $$

Example 4.5

จงหา ค.ร.น. ของ $x^2-4$ และ $x-2$

$$ \begin{aligned} x^2-4 &= (x-2)(x+2) \\ x-2 &= (x-2) \\ \text{ค.ร.น.} &= (x-2)(x+2) \\&= x^2-4 \end{aligned} $$

Find the LCM of $x^2-4$ and $x-2$

$$ \begin{aligned} x^2-4 &= (x-2)(x+2) \\ x-2 &= (x-2) \\ \text{LCM} &= (x-2)(x+2) \\&= x^2-4 \end{aligned} $$

Example 4.6

จงหา ค.ร.น. ของ $x^2-x-6$ และ $x^2-9$

$$ \begin{aligned} x^2-x-6 &= (x-3)(x+2) \\ x^2-9 &= (x-3)(x+3) \\ \text{ค.ร.น.} &= (x-3)(x+2)(x+3) \end{aligned} $$

Find the LCM of $x^2-x-6$ and $x^2-9$

$$ \begin{aligned} x^2-x-6 &= (x-3)(x+2) \\ x^2-9 &= (x-3)(x+3) \\ \text{LCM} &= (x-3)(x+2)(x+3) \end{aligned} $$

Example 4.7

จงหา ค.ร.น. ของ $x^2-1$, $x^2+2x+1$ และ $x^2-2x+1$

$$ \begin{aligned} x^2-1 &= (x-1)(x+1) \\ x^2+2x+1 &= (x+1)^2 \\ x^2-2x+1 &= (x-1)^2 \\ \text{ค.ร.น.} &= (x-1)^2(x+1)^2 \end{aligned} $$

Find the LCM of $x^2-1$, $x^2+2x+1$ and $x^2-2x+1$

$$ \begin{aligned} x^2-1 &= (x-1)(x+1) \\ x^2+2x+1 &= (x+1)^2 \\ x^2-2x+1 &= (x-1)^2 \\ \text{LCM} &= (x-1)^2(x+1)^2 \end{aligned} $$

การบวกและการลบเศษส่วนของพหุนาม Adding and Subtracting

ตัวส่วนเท่ากัน: นำตัวเศษบวกลบกันได้เลย $\displaystyle \frac{\textcolor{#1565c0}{A}}{\textcolor{#e65100}{C}} \pm \frac{\textcolor{#1565c0}{B}}{\textcolor{#e65100}{C}} = \frac{\textcolor{#1565c0}{A \pm B}}{\textcolor{#e65100}{C}}$

ตัวส่วนไม่เท่ากัน:

หา ค.ร.น. ของตัวส่วนทั้งหมด
คูณพหุนามทั้งเศษและส่วนเพื่อให้ตัวส่วนเท่ากับ ค.ร.น.
นำตัวเศษมาบวกลบกัน และตรวจสอบว่าสามารถตัดทอนได้อีกหรือไม่

ข้อควรระวัง: ในการลบ ต้องระวังการกระจายเครื่องหมายลบเข้าไปในทุกๆ พจน์ของพหุนามตัวหลัง!

Equal Denominators: Add/subtract numerators directly $\displaystyle \frac{\textcolor{#1565c0}{A}}{\textcolor{#e65100}{C}} \pm \frac{\textcolor{#1565c0}{B}}{\textcolor{#e65100}{C}} = \frac{\textcolor{#1565c0}{A \pm B}}{\textcolor{#e65100}{C}}$

Unequal Denominators:

Find the LCM of the denominators.
Multiply numerator and denominator to match the LCM.
Add/subtract numerators and check if it can be simplified.

Caution: When subtracting, remember to distribute the negative sign to all terms of the following polynomial!

Example 5.1

จงหาผลบวก $\displaystyle \frac{x}{5} + \frac{2x}{5}$

$$ \begin{aligned} \frac{x+2x}{5} &= \frac{3x}{5} \end{aligned} $$

Add $\displaystyle \frac{x}{5} + \frac{2x}{5}$

$$ \begin{aligned} \frac{x+2x}{5} &= \frac{3x}{5} \end{aligned} $$

Example 5.2

จงหาผลลบ $\displaystyle \frac{3}{x-1} - \frac{2}{x-1}$

$$ \begin{aligned} \frac{3-2}{x-1} &= \frac{1}{x-1} \end{aligned} $$

Subtract $\displaystyle \frac{3}{x-1} - \frac{2}{x-1}$

$$ \begin{aligned} \frac{3-2}{x-1} &= \frac{1}{x-1} \end{aligned} $$

Example 5.3

จงหาผลบวก $\displaystyle \frac{2}{x} + \frac{3}{y}$

$$ \begin{aligned} \frac{2(y)}{xy} + \frac{3(x)}{xy} &= \frac{2y + 3x}{xy} \end{aligned} $$

Add $\displaystyle \frac{2}{x} + \frac{3}{y}$

$$ \begin{aligned} \frac{2(y)}{xy} + \frac{3(x)}{xy} &= \frac{2y + 3x}{xy} \end{aligned} $$

Example 5.4

จงหาผลลบ $\displaystyle \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x-2}$

$$ \begin{aligned} \frac{x-2}{x-2} &= 1 \quad (x \neq 2) \end{aligned} $$

Subtract $\displaystyle \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x-2}$

$$ \begin{aligned} \frac{x-2}{x-2} &= 1 \quad (x \neq 2) \end{aligned} $$

Example 5.5

จงหาผลบวก $\displaystyle \frac{3}{x+1} + \frac{2}{x-1}$

$$ \begin{aligned} \frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)} &= \frac{3(x-1) + 2(x+1)}{(x+1)(x-1)} \\ &= \frac{3x - 3 + 2x + 2}{x^2-1} \\ &= \frac{5x - 1}{x^2-1} \quad (x \neq \pm 1) \end{aligned} $$

Add $\displaystyle \frac{3}{x+1} + \frac{2}{x-1}$

Example 5.6

จงหาผลลบ $\displaystyle \frac{x}{x^2-9} - \frac{1}{x-3}$

$$ \begin{aligned} \frac{x}{(x-3)(x+3)} - \frac{1(x+3)}{(x-3)(x+3)} &= \frac{x - (x+3)}{(x-3)(x+3)} \\ &= \frac{x - x - 3}{x^2-9} \\ &= \frac{-3}{x^2-9} \quad (x \neq \pm 3) \end{aligned} $$

Subtract $\displaystyle \frac{x}{x^2-9} - \frac{1}{x-3}$

$$ \begin{aligned} \frac{x}{(x-3)(x+3)} - \frac{1(x+3)}{(x-3)(x+3)} &= \frac{x - (x+3)}{(x-3)(x+3)} \\ &= \frac{x - x - 3}{x^2-9} \\ &= \frac{-3}{x^2-9} \quad (x \neq \pm 3) \end{aligned} $$

Example 5.7

จงหาผลบวก $\displaystyle \frac{x+1}{x^2-x-6} + \frac{2}{x-3}$

$$ \begin{aligned} \frac{x+1}{(x-3)(x+2)} + \frac{2(x+2)}{(x-3)(x+2)} &= \frac{x + 1 + 2x + 4}{(x-3)(x+2)} \\ &= \frac{3x + 5}{(x-3)(x+2)} \quad (x \neq 3, -2) \end{aligned} $$

Add $\displaystyle \frac{x+1}{x^2-x-6} + \frac{2}{x-3}$

$$ \begin{aligned} \frac{x+1}{(x-3)(x+2)} + \frac{2(x+2)}{(x-3)(x+2)} &= \frac{x + 1 + 2x + 4}{(x-3)(x+2)} \\ &= \frac{3x + 5}{(x-3)(x+2)} \quad (x \neq 3, -2) \end{aligned} $$

การแก้สมการเศษส่วนของพหุนาม Solving Rational Equations

หลักการกำจัดตัวส่วน: สร้างสมการที่ไม่มีตัวส่วน โดยการหา ค.ร.น. แล้วนำไป "คูณตลอดทั้งสมการ"

จุดตายที่ต้องระวัง (Extraneous Solution): คำตอบที่ได้ต้องนำไปตรวจคำตอบเสมอ หากคำตอบใดทำให้ตัวส่วนในโจทย์เริ่มต้นเป็นศูนย์ จะต้องตัดคำตอบนั้นทิ้ง (เป็นคำตอบเกิน)

Eliminating Denominators: Multiply the entire equation by the LCM of all denominators to create a polynomial equation.

Crucial Pitfall (Extraneous Solutions): You must check your answers. If a solution causes any original denominator to become zero, it is an extraneous solution and must be discarded.

Example 6.1

จงแก้สมการ $\displaystyle \frac{2}{x} = \frac{4}{5}$

$$ \begin{aligned} \text{คูณไขว้} \\ 2(5) &= 4(x) \\ 10 &= 4x \\ x &= \frac{10}{4} \\&= \frac{5}{2} \end{aligned} $$

Solve $\displaystyle \frac{2}{x} = \frac{4}{5}$

$$ \begin{aligned} \text{Cross-multiply} \\ 2(5) &= 4(x) \\ 10 &= 4x \\ x &= \frac{10}{4} \\&= \frac{5}{2} \end{aligned} $$

Example 6.2

จงแก้สมการ $\displaystyle \frac{x-1}{2} = \frac{x+3}{4}$

$$ \begin{aligned} 4(x-1) &= 2(x+3) \\ 4x - 4 &= 2x + 6 \\ 2x &= 10 \\ x &= 5 \end{aligned} $$

Solve $\displaystyle \frac{x-1}{2} = \frac{x+3}{4}$

$$ \begin{aligned} 4(x-1) &= 2(x+3) \\ 4x - 4 &= 2x + 6 \\ 2x &= 10 \\ x &= 5 \end{aligned} $$

Example 6.3

จงแก้สมการ $\displaystyle \frac{2}{x-1} = \frac{3}{x+1}$

$$ \begin{aligned} 2(x+1) &= 3(x-1) \\ 2x + 2 &= 3x - 3 \\ 5 &= x \\ x &= 5 \end{aligned} $$

Solve $\displaystyle \frac{2}{x-1} = \frac{3}{x+1}$

$$ \begin{aligned} 2(x+1) &= 3(x-1) \\ 2x + 2 &= 3x - 3 \\ 5 &= x \\ x &= 5 \end{aligned} $$

Example 6.4

จงแก้สมการ $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{2} = \frac{3}{x}$

$$ \begin{aligned} \text{คูณตลอดด้วย ค.ร.น. } 2x \\ (2x)\frac{1}{x} + (2x)\frac{1}{2} &= (2x)\frac{3}{x} \\ 2 + x &= 6 \\ x &= 4 \end{aligned} $$

Solve $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{2} = \frac{3}{x}$

$$ \begin{aligned} \text{Multiply by LCM } 2x \\ (2x)\frac{1}{x} + (2x)\frac{1}{2} &= (2x)\frac{3}{x} \\ 2 + x &= 6 \\ x &= 4 \end{aligned} $$

Example 6.5 (Extraneous)

จงแก้สมการ $\displaystyle \frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2} + 2$

$$ \begin{aligned} \text{คูณตลอดด้วย } (x-2) \\ x &= 2 + 2(x-2) \\ x &= 2 + 2x - 4 \\ x &= 2x - 2 \\ -x &= -2 \\ x &= 2 \end{aligned} $$

ตรวจคำตอบ: แทน $x=2$ ในตัวส่วน จะได้ $2-2 = 0$
ดังนั้น $x=2$ ใช้ไม่ได้ สมการนี้จึง ไม่มีคำตอบ

Solve $\displaystyle \frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2} + 2$

$$ \begin{aligned} \text{Multiply by } (x-2) \\ x &= 2 + 2(x-2) \\ x &= 2 + 2x - 4 \\ x &= 2x - 2 \\ -x &= -2 \\ x &= 2 \end{aligned} $$

Check: Substituting $x=2$ makes denominator zero.
Thus, $x=2$ is extraneous. Equation has No Solution.

Example 6.6

จงแก้สมการ $\displaystyle \frac{2x}{x+3} - 1 = \frac{x-3}{x+3}$

$$ \begin{aligned} \text{คูณตลอดด้วย } (x+3) \\ 2x - 1(x+3) &= (x-3) \\ 2x - x - 3 &= x - 3 \\ x - 3 &= x - 3 \\ 0 &= 0 \end{aligned} $$

เป็นจริงเสมอ ยกเว้นค่าที่ทำให้ส่วนเป็น 0
ดังนั้นคำตอบคือ จำนวนจริงทุกจำนวนที่ $x \neq -3$

Solve $\displaystyle \frac{2x}{x+3} - 1 = \frac{x-3}{x+3}$

$$ \begin{aligned} \text{Multiply by } (x+3) \\ 2x - 1(x+3) &= (x-3) \\ 2x - x - 3 &= x - 3 \\ x - 3 &= x - 3 \\ 0 &= 0 \end{aligned} $$

Always true except where denominator is zero.
Solution is all real numbers except $x \neq -3$.

Example 6.7

จงแก้สมการ $\displaystyle \frac{x}{x-1} + \frac{2}{x} = \frac{1}{x^2-x}$

$$ \begin{aligned} \text{สังเกต } x^2-x = x(x-1) \\ \text{คูณด้วย ค.ร.น. } x(x-1) \\ x(x) + 2(x-1) &= 1 \\ x^2 + 2x - 2 &= 1 \\ x^2 + 2x - 3 &= 0 \\ (x+3)(x-1) &= 0 \\ x &= -3, 1 \end{aligned} $$

ตรวจคำตอบ: ถ้า $x=1$ ส่วนเป็นศูนย์ (ใช้ไม่ได้)
คำตอบที่ถูกต้องคือ $x = -3$ เพียงค่าเดียว

Solve $\displaystyle \frac{x}{x-1} + \frac{2}{x} = \frac{1}{x^2-x}$

$$ \begin{aligned} \text{Note } x^2-x = x(x-1) \\ \text{Multiply by LCM } x(x-1) \\ x(x) + 2(x-1) &= 1 \\ x^2 + 2x - 2 &= 1 \\ x^2 + 2x - 3 &= 0 \\ (x+3)(x-1) &= 0 \\ x &= -3, 1 \end{aligned} $$

Check: $x=1$ makes denominator zero (extraneous).
The only valid solution is $x = -3$.

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Rational Expression	ratio (reason/reckoning) + ex- (out)	เศษส่วนของพหุนาม · นิพจน์ที่เขียนอยู่ในรูปเศษส่วน
Polynomial	poly- (many) + nomen (name/term)	พหุนาม · นิพจน์ที่ประกอบด้วยหลายพจน์บวกลบกัน
Numerator	numerare (to count)	ตัวเศษ · พหุนามที่อยู่ด้านบนของเศษส่วน
Denominator	de- (completely) + nominare (to name)	ตัวส่วน · พหุนามที่อยู่ด้านล่างของเศษส่วน
Simplify	simplex (single) + facere (to make)	ทำให้เป็นรูปอย่างง่าย · การทอนเศษส่วนให้ต่ำที่สุด
Factoring	facere (to do, to make)	การแยกตัวประกอบ · การเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปผลคูณ
Least Common Multiple (LCM)	multus (many) + plicare (fold)	ผลคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) · พหุนามที่หารด้วยตัวส่วนทั้งหมดลงตัว
Equation	aequare (to make equal)	สมการ · ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับ (=)
Extraneous Solution	extra (outside) + extraneus (foreign)	คำตอบเกิน / คำตอบที่ไม่จริง · ค่าที่ได้จากการแก้สมการแต่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์
Undefined	un- (not) + definire (to define)	ไม่มีนิยาม · สิ่งที่ไม่สามารถหาค่าได้ (เช่น การหารด้วยศูนย์)