กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

การดำเนินการของพหุนาม
Operations on Polynomials

การบวก การลบ การคูณ และการหารพหุนาม

TH

การดำเนินการของพหุนาม (Operations on Polynomials) คือการนำนิพจน์พีชคณิตมาบวก ลบ คูณ หรือหารกัน โดยอาศัยหลักการของการรวมพจน์ที่คล้ายกัน และสมบัติของเลขยกกำลัง เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ

EN

Operations on Polynomials involve adding, subtracting, multiplying, or dividing algebraic expressions. This is done by combining like terms and applying exponent properties to obtain a simplified polynomial.

1

➕ การบวกพหุนาม ➕ Addition of Polynomials

TH

หลักการ: ให้นำพหุนามมาเขียนในรูปการบวก จากนั้นนำ "เอกนามที่คล้ายกัน" (Like Terms) มาบวกกัน โดยนำสัมประสิทธิ์มาบวกกัน และคงตัวแปรไว้เหมือนเดิม

EN

Rule: Write the polynomials as an addition. Combine "like terms" by adding their coefficients while keeping the variables unchanged.

Example 1.1

จงหาผลบวกของ $(2x + 3) + (4x + 5)$

$$ \begin{aligned} (2x + 3) + (4x + 5) &= (2x + 4x) + (3 + 5) \\ &= 6x + 8 \end{aligned} $$

Add: $(2x + 3) + (4x + 5)$

$$ \begin{aligned} (2x + 3) + (4x + 5) &= (2x + 4x) + (3 + 5) \\ &= 6x + 8 \end{aligned} $$
Example 1.2

จงหาผลบวกของ $(3a^2 - 2a) + (5a^2 + 4a)$

$$ \begin{aligned} (3a^2 - 2a) + (5a^2 + 4a) &= (3a^2 + 5a^2) + (-2a + 4a) \\ &= 8a^2 + 2a \end{aligned} $$

Add: $(3a^2 - 2a) + (5a^2 + 4a)$

$$ \begin{aligned} (3a^2 - 2a) + (5a^2 + 4a) &= (3a^2 + 5a^2) + (-2a + 4a) \\ &= 8a^2 + 2a \end{aligned} $$
Example 1.3

จงหาผลบวกของ $(7x^2 + 2x - 1) + (-3x^2 + x + 4)$

$$ \begin{aligned} (7x^2 + 2x - 1) + (-3x^2 + x + 4) &= (7x^2 - 3x^2) + (2x + x) + (-1 + 4) \\ &= 4x^2 + 3x + 3 \end{aligned} $$

Add: $(7x^2 + 2x - 1) + (-3x^2 + x + 4)$

$$ \begin{aligned} (7x^2 + 2x - 1) + (-3x^2 + x + 4) &= (7x^2 - 3x^2) + (2x + x) + (-1 + 4) \\ &= 4x^2 + 3x + 3 \end{aligned} $$
Example 1.4

จงหาผลบวกของ $(5y^3 - 2y) + (3y^2 + 4y)$

$$ \begin{aligned} (5y^3 - 2y) + (3y^2 + 4y) &= 5y^3 + 3y^2 + (-2y + 4y) \\ &= 5y^3 + 3y^2 + 2y \end{aligned} $$

Add: $(5y^3 - 2y) + (3y^2 + 4y)$

$$ \begin{aligned} (5y^3 - 2y) + (3y^2 + 4y) &= 5y^3 + 3y^2 + (-2y + 4y) \\ &= 5y^3 + 3y^2 + 2y \end{aligned} $$
Example 1.5

จงหาผลบวกของ $(-4xy + 2x^2) + (6xy - x^2)$

$$ \begin{aligned} (-4xy + 2x^2) + (6xy - x^2) &= (2x^2 - x^2) + (-4xy + 6xy) \\ &= x^2 + 2xy \end{aligned} $$

Add: $(-4xy + 2x^2) + (6xy - x^2)$

$$ \begin{aligned} (-4xy + 2x^2) + (6xy - x^2) &= (2x^2 - x^2) + (-4xy + 6xy) \\ &= x^2 + 2xy \end{aligned} $$
Example 1.6

จงหาผลบวกของ $(x^2 - y^2) + (x^2 + y^2)$

$$ \begin{aligned} (x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) &= (x^2 + x^2) + (-y^2 + y^2) \\ &= 2x^2 + 0 \\ &= 2x^2 \end{aligned} $$

Add: $(x^2 - y^2) + (x^2 + y^2)$

$$ \begin{aligned} (x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) &= (x^2 + x^2) + (-y^2 + y^2) \\ &= 2x^2 + 0 \\ &= 2x^2 \end{aligned} $$
Example 1.7

จงหาผลบวกของ $(\frac{1}{2}x + 3) + (\frac{3}{2}x - 1)$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}x + 3\right) + \left(\frac{3}{2}x - 1\right) &= \left(\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x\right) + (3 - 1) \\ &= \left(\frac{4}{2}x\right) + 2 \\ &= 2x + 2 \end{aligned} $$

Add: $(\frac{1}{2}x + 3) + (\frac{3}{2}x - 1)$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}x + 3\right) + \left(\frac{3}{2}x - 1\right) &= \left(\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x\right) + (3 - 1) \\ &= \left(\frac{4}{2}x\right) + 2 \\ &= 2x + 2 \end{aligned} $$
2

➖ การลบพหุนาม ➖ Subtraction of Polynomials

TH

หลักการ: ใช้หลักการ ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ ให้กระจายเครื่องหมายลบเข้าไปในวงเล็บของตัวลบ (เปลี่ยนเครื่องหมายของทุกพจน์ในตัวลบเป็นตรงข้าม) แล้วจึงนำพจน์ที่คล้ายกันมาบวกกัน

EN

Rule: Use the principle Minuend - Subtrahend = Minuend + Opposite of Subtrahend. Distribute the negative sign to every term in the subtrahend (changing their signs), then combine like terms.

Example 2.1

จงหาผลลบของ $(5x + 4) - (2x + 1)$

$$ \begin{aligned} (5x + 4) - (2x + 1) &= (5x + 4) + (-2x - 1) \\ &= (5x - 2x) + (4 - 1) \\ &= 3x + 3 \end{aligned} $$

Subtract: $(5x + 4) - (2x + 1)$

$$ \begin{aligned} (5x + 4) - (2x + 1) &= (5x + 4) + (-2x - 1) \\ &= (5x - 2x) + (4 - 1) \\ &= 3x + 3 \end{aligned} $$
Example 2.2

จงหาผลลบของ $(3x^2 - 5) - (x^2 - 2)$

$$ \begin{aligned} (3x^2 - 5) - (x^2 - 2) &= (3x^2 - 5) + (-x^2 + 2) \\ &= (3x^2 - x^2) + (-5 + 2) \\ &= 2x^2 - 3 \end{aligned} $$

Subtract: $(3x^2 - 5) - (x^2 - 2)$

$$ \begin{aligned} (3x^2 - 5) - (x^2 - 2) &= (3x^2 - 5) + (-x^2 + 2) \\ &= (3x^2 - x^2) + (-5 + 2) \\ &= 2x^2 - 3 \end{aligned} $$
Example 2.3

จงหาผลลบของ $(4a^2 + 3a - 1) - (2a^2 - 2a + 4)$

$$ \begin{aligned} (4a^2 + 3a - 1) - (2a^2 - 2a + 4) &= (4a^2 + 3a - 1) + (-2a^2 + 2a - 4) \\ &= (4a^2 - 2a^2) + (3a + 2a) + (-1 - 4) \\ &= 2a^2 + 5a - 5 \end{aligned} $$

Subtract: $(4a^2 + 3a - 1) - (2a^2 - 2a + 4)$

$$ \begin{aligned} (4a^2 + 3a - 1) - (2a^2 - 2a + 4) &= (4a^2 + 3a - 1) + (-2a^2 + 2a - 4) \\ &= (4a^2 - 2a^2) + (3a + 2a) + (-1 - 4) \\ &= 2a^2 + 5a - 5 \end{aligned} $$
Example 2.4

จงหาผลลบของ $(x^3 + 2x) - (x^2 + 2x)$

$$ \begin{aligned} (x^3 + 2x) - (x^2 + 2x) &= (x^3 + 2x) + (-x^2 - 2x) \\ &= x^3 - x^2 + (2x - 2x) \\ &= x^3 - x^2 \end{aligned} $$

Subtract: $(x^3 + 2x) - (x^2 + 2x)$

$$ \begin{aligned} (x^3 + 2x) - (x^2 + 2x) &= (x^3 + 2x) + (-x^2 - 2x) \\ &= x^3 - x^2 + (2x - 2x) \\ &= x^3 - x^2 \end{aligned} $$
Example 2.5

จงหาผลลบของ $(3xy - 2y^2) - (-xy + 4y^2)$

$$ \begin{aligned} (3xy - 2y^2) - (-xy + 4y^2) &= (3xy - 2y^2) + (xy - 4y^2) \\ &= (3xy + xy) + (-2y^2 - 4y^2) \\ &= 4xy - 6y^2 \end{aligned} $$

Subtract: $(3xy - 2y^2) - (-xy + 4y^2)$

$$ \begin{aligned} (3xy - 2y^2) - (-xy + 4y^2) &= (3xy - 2y^2) + (xy - 4y^2) \\ &= (3xy + xy) + (-2y^2 - 4y^2) \\ &= 4xy - 6y^2 \end{aligned} $$
Example 2.6

จงหาผลลบของ $(0) - (2x^2 - 3x + 1)$

$$ \begin{aligned} 0 - (2x^2 - 3x + 1) &= -2x^2 - (-3x) - (+1) \\ &= -2x^2 + 3x - 1 \end{aligned} $$

Subtract: $(0) - (2x^2 - 3x + 1)$

$$ \begin{aligned} 0 - (2x^2 - 3x + 1) &= -2x^2 - (-3x) - (+1) \\ &= -2x^2 + 3x - 1 \end{aligned} $$
Example 2.7

จงหาผลลบของ $(m^2 + n^2) - (m^2 - n^2)$

$$ \begin{aligned} (m^2 + n^2) - (m^2 - n^2) &= (m^2 + n^2) + (-m^2 + n^2) \\ &= (m^2 - m^2) + (n^2 + n^2) \\ &= 2n^2 \end{aligned} $$

Subtract: $(m^2 + n^2) - (m^2 - n^2)$

$$ \begin{aligned} (m^2 + n^2) - (m^2 - n^2) &= (m^2 + n^2) + (-m^2 + n^2) \\ &= (m^2 - m^2) + (n^2 + n^2) \\ &= 2n^2 \end{aligned} $$
3

✖️ การคูณเอกนามกับเอกนาม ✖️ Multiplying Monomials by Monomials

TH

หลักการ: ให้นำสัมประสิทธิ์คูณกับสัมประสิทธิ์ และนำตัวแปรคูณกับตัวแปร โดยใช้สมบัติเลขยกกำลัง $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

EN

Rule: Multiply coefficients with coefficients, and variables with variables using the exponent rule $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Example 3.1

จงหาผลคูณของ $(3x)(4x)$

$$ \begin{aligned} (3x)(4x) &= (3 \cdot 4)(x \cdot x) \\ &= 12x^{1+1} \\ &= 12x^2 \end{aligned} $$

Multiply: $(3x)(4x)$

$$ \begin{aligned} (3x)(4x) &= (3 \cdot 4)(x \cdot x) \\ &= 12x^{1+1} \\ &= 12x^2 \end{aligned} $$
Example 3.2

จงหาผลคูณของ $(-2a^2)(5a^3)$

$$ \begin{aligned} (-2a^2)(5a^3) &= (-2 \cdot 5)(a^2 \cdot a^3) \\ &= -10a^{2+3} \\ &= -10a^5 \end{aligned} $$

Multiply: $(-2a^2)(5a^3)$

$$ \begin{aligned} (-2a^2)(5a^3) &= (-2 \cdot 5)(a^2 \cdot a^3) \\ &= -10a^{2+3} \\ &= -10a^5 \end{aligned} $$
Example 3.3

จงหาผลคูณของ $(-4xy)(-3x^2y)$

$$ \begin{aligned} (-4xy)(-3x^2y) &= (-4 \cdot -3)(x \cdot x^2)(y \cdot y) \\ &= 12x^{1+2}y^{1+1} \\ &= 12x^3y^2 \end{aligned} $$

Multiply: $(-4xy)(-3x^2y)$

$$ \begin{aligned} (-4xy)(-3x^2y) &= (-4 \cdot -3)(x \cdot x^2)(y \cdot y) \\ &= 12x^{1+2}y^{1+1} \\ &= 12x^3y^2 \end{aligned} $$
Example 3.4

จงหาผลคูณของ $(5m^3n)(2m)$

$$ \begin{aligned} (5m^3n)(2m) &= (5 \cdot 2)(m^3 \cdot m)(n) \\ &= 10m^{3+1}n \\ &= 10m^4n \end{aligned} $$

Multiply: $(5m^3n)(2m)$

$$ \begin{aligned} (5m^3n)(2m) &= (5 \cdot 2)(m^3 \cdot m)(n) \\ &= 10m^{3+1}n \\ &= 10m^4n \end{aligned} $$
Example 3.5

จงหาผลคูณของ $(\frac{1}{2}x^2)(\frac{4}{3}x^4)$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}x^2\right)\left(\frac{4}{3}x^4\right) &= \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\right)(x^2 \cdot x^4) \\ &= \frac{2}{3}x^{2+4} \\ &= \frac{2}{3}x^6 \end{aligned} $$

Multiply: $(\frac{1}{2}x^2)(\frac{4}{3}x^4)$

$$ \begin{aligned} \left(\frac{1}{2}x^2\right)\left(\frac{4}{3}x^4\right) &= \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\right)(x^2 \cdot x^4) \\ &= \frac{2}{3}x^{2+4} \\ &= \frac{2}{3}x^6 \end{aligned} $$
Example 3.6

จงหาผลคูณของ $(-x^5)(-x^3)$

$$ \begin{aligned} (-x^5)(-x^3) &= (-1 \cdot -1)(x^5 \cdot x^3) \\ &= 1x^{5+3} \\ &= x^8 \end{aligned} $$

Multiply: $(-x^5)(-x^3)$

$$ \begin{aligned} (-x^5)(-x^3) &= (-1 \cdot -1)(x^5 \cdot x^3) \\ &= 1x^{5+3} \\ &= x^8 \end{aligned} $$
Example 3.7

จงหาผลคูณของ $(2a)(3b)(4c)$

$$ \begin{aligned} (2a)(3b)(4c) &= (2 \cdot 3 \cdot 4)(a \cdot b \cdot c) \\ &= 24abc \end{aligned} $$

Multiply: $(2a)(3b)(4c)$

$$ \begin{aligned} (2a)(3b)(4c) &= (2 \cdot 3 \cdot 4)(a \cdot b \cdot c) \\ &= 24abc \end{aligned} $$
4

📦 การคูณเอกนามกับพหุนาม 📦 Multiplying Monomials by Polynomials

TH

หลักการ: ใช้ สมบัติการแจกแจง (Distributive Property) โดยคูณเอกนามเข้าไปในทุกๆ พจน์ของพหุนามที่อยู่ในวงเล็บ

EN

Rule: Use the Distributive Property by multiplying the monomial into every term of the polynomial inside the parentheses.

Example 4.1

จงหาผลคูณของ $2x(x + 3)$

$$ \begin{aligned} 2x(x + 3) &= (2x)(x) + (2x)(3) \\ &= 2x^2 + 6x \end{aligned} $$

Multiply: $2x(x + 3)$

$$ \begin{aligned} 2x(x + 3) &= (2x)(x) + (2x)(3) \\ &= 2x^2 + 6x \end{aligned} $$
Example 4.2

จงหาผลคูณของ $-3a(2a - 5)$

$$ \begin{aligned} -3a(2a - 5) &= (-3a)(2a) + (-3a)(-5) \\ &= -6a^2 + 15a \end{aligned} $$

Multiply: $-3a(2a - 5)$

$$ \begin{aligned} -3a(2a - 5) &= (-3a)(2a) + (-3a)(-5) \\ &= -6a^2 + 15a \end{aligned} $$
Example 4.3

จงหาผลคูณของ $4x^2(x^2 - 2x + 1)$

$$ \begin{aligned} 4x^2(x^2 - 2x + 1) &= (4x^2)(x^2) + (4x^2)(-2x) + (4x^2)(1) \\ &= 4x^4 - 8x^3 + 4x^2 \end{aligned} $$

Multiply: $4x^2(x^2 - 2x + 1)$

$$ \begin{aligned} 4x^2(x^2 - 2x + 1) &= (4x^2)(x^2) + (4x^2)(-2x) + (4x^2)(1) \\ &= 4x^4 - 8x^3 + 4x^2 \end{aligned} $$
Example 4.4

จงหาผลคูณของ $-xy(2x + 3y)$

$$ \begin{aligned} -xy(2x + 3y) &= (-xy)(2x) + (-xy)(3y) \\ &= -2x^2y - 3xy^2 \end{aligned} $$

Multiply: $-xy(2x + 3y)$

$$ \begin{aligned} -xy(2x + 3y) &= (-xy)(2x) + (-xy)(3y) \\ &= -2x^2y - 3xy^2 \end{aligned} $$
Example 4.5

จงหาผลคูณของ $5m(m^2 - m + 2)$

$$ \begin{aligned} 5m(m^2 - m + 2) &= (5m)(m^2) + (5m)(-m) + (5m)(2) \\ &= 5m^3 - 5m^2 + 10m \end{aligned} $$

Multiply: $5m(m^2 - m + 2)$

$$ \begin{aligned} 5m(m^2 - m + 2) &= (5m)(m^2) + (5m)(-m) + (5m)(2) \\ &= 5m^3 - 5m^2 + 10m \end{aligned} $$
Example 4.6

จงหาผลคูณของ $\frac{1}{2}x(4x^2 + 6x)$

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}x(4x^2 + 6x) &= \left(\frac{1}{2}x\right)(4x^2) + \left(\frac{1}{2}x\right)(6x) \\ &= 2x^3 + 3x^2 \end{aligned} $$

Multiply: $\frac{1}{2}x(4x^2 + 6x)$

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}x(4x^2 + 6x) &= \left(\frac{1}{2}x\right)(4x^2) + \left(\frac{1}{2}x\right)(6x) \\ &= 2x^3 + 3x^2 \end{aligned} $$
Example 4.7

จงหาผลคูณของ $(2a^2 - 3b)(4ab)$

$$ \begin{aligned} (2a^2 - 3b)(4ab) &= (2a^2)(4ab) + (-3b)(4ab) \\ &= 8a^3b - 12ab^2 \end{aligned} $$

Multiply: $(2a^2 - 3b)(4ab)$

$$ \begin{aligned} (2a^2 - 3b)(4ab) &= (2a^2)(4ab) + (-3b)(4ab) \\ &= 8a^3b - 12ab^2 \end{aligned} $$
5

🧩 การคูณพหุนามกับพหุนาม 🧩 Multiplying Polynomials by Polynomials

TH

หลักการ: นำแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่ง คูณกระจาย เข้าไปในทุกๆ พจน์ของอีกพหุนามหนึ่ง แล้วนำผลคูณที่ได้มาบวกกัน (ยุบรวมพจน์ที่คล้ายกัน)

EN

Rule: Take each term of the first polynomial and distribute (multiply) it to every term of the second polynomial, then combine like terms.

Example 5.1

จงหาผลคูณของ $(x + 2)(x + 3)$

$$ \begin{aligned} (x + 2)(x + 3) &= x(x) + x(3) + 2(x) + 2(3) \\ &= x^2 + 3x + 2x + 6 \\ &= x^2 + 5x + 6 \end{aligned} $$

Multiply: $(x + 2)(x + 3)$

$$ \begin{aligned} (x + 2)(x + 3) &= x(x) + x(3) + 2(x) + 2(3) \\ &= x^2 + 3x + 2x + 6 \\ &= x^2 + 5x + 6 \end{aligned} $$
Example 5.2

จงหาผลคูณของ $(2x - 1)(x + 4)$

$$ \begin{aligned} (2x - 1)(x + 4) &= 2x(x) + 2x(4) + (-1)(x) + (-1)(4) \\ &= 2x^2 + 8x - x - 4 \\ &= 2x^2 + 7x - 4 \end{aligned} $$

Multiply: $(2x - 1)(x + 4)$

$$ \begin{aligned} (2x - 1)(x + 4) &= 2x(x) + 2x(4) + (-1)(x) + (-1)(4) \\ &= 2x^2 + 8x - x - 4 \\ &= 2x^2 + 7x - 4 \end{aligned} $$
Example 5.3

จงหาผลคูณของ $(y - 5)(y - 2)$

$$ \begin{aligned} (y - 5)(y - 2) &= y(y) + y(-2) + (-5)(y) + (-5)(-2) \\ &= y^2 - 2y - 5y + 10 \\ &= y^2 - 7y + 10 \end{aligned} $$

Multiply: $(y - 5)(y - 2)$

$$ \begin{aligned} (y - 5)(y - 2) &= y(y) + y(-2) + (-5)(y) + (-5)(-2) \\ &= y^2 - 2y - 5y + 10 \\ &= y^2 - 7y + 10 \end{aligned} $$
Example 5.4

จงหาผลคูณของ $(a + b)(a - b)$

$$ \begin{aligned} (a + b)(a - b) &= a(a) + a(-b) + b(a) + b(-b) \\ &= a^2 - ab + ab - b^2 \\ &= a^2 - b^2 \end{aligned} $$

Multiply: $(a + b)(a - b)$

$$ \begin{aligned} (a + b)(a - b) &= a(a) + a(-b) + b(a) + b(-b) \\ &= a^2 - ab + ab - b^2 \\ &= a^2 - b^2 \end{aligned} $$
Example 5.5

จงหาผลคูณของ $(x + 4)^2$

$$ \begin{aligned} (x + 4)^2 &= (x + 4)(x + 4) \\ &= x(x) + x(4) + 4(x) + 4(4) \\ &= x^2 + 4x + 4x + 16 \\ &= x^2 + 8x + 16 \end{aligned} $$

Multiply: $(x + 4)^2$

$$ \begin{aligned} (x + 4)^2 &= (x + 4)(x + 4) \\ &= x(x) + x(4) + 4(x) + 4(4) \\ &= x^2 + 4x + 4x + 16 \\ &= x^2 + 8x + 16 \end{aligned} $$
Example 5.6

จงหาผลคูณของ $(x + 1)(x^2 - x + 1)$

$$ \begin{aligned} (x + 1)(x^2 - x + 1) &= x(x^2 - x + 1) + 1(x^2 - x + 1) \\ &= x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 \\ &= x^3 + 1 \end{aligned} $$

Multiply: $(x + 1)(x^2 - x + 1)$

$$ \begin{aligned} (x + 1)(x^2 - x + 1) &= x(x^2 - x + 1) + 1(x^2 - x + 1) \\ &= x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 \\ &= x^3 + 1 \end{aligned} $$
Example 5.7

จงหาผลคูณของ $(3m - 2)(2m^2 + 4m - 5)$

$$ \begin{aligned} (3m - 2)(2m^2 + 4m - 5) &= 3m(2m^2 + 4m - 5) - 2(2m^2 + 4m - 5) \\ &= 6m^3 + 12m^2 - 15m - 4m^2 - 8m + 10 \\ &= 6m^3 + 8m^2 - 23m + 10 \end{aligned} $$

Multiply: $(3m - 2)(2m^2 + 4m - 5)$

$$ \begin{aligned} (3m - 2)(2m^2 + 4m - 5) &= 3m(2m^2 + 4m - 5) - 2(2m^2 + 4m - 5) \\ &= 6m^3 + 12m^2 - 15m - 4m^2 - 8m + 10 \\ &= 6m^3 + 8m^2 - 23m + 10 \end{aligned} $$
6

➗ การหารเอกนามด้วยเอกนาม ➗ Dividing Monomials by Monomials

TH

หลักการ: นำสัมประสิทธิ์หารด้วยสัมประสิทธิ์ และตัวแปรหารด้วยตัวแปร (ใช้สมบัติเลขยกกำลัง $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$) โดยที่ผลหารต้องมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์

EN

Rule: Divide coefficients by coefficients, and variables by variables using the exponent rule $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. The resulting exponents must be non-negative integers.

Example 6.1

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{6x^3}{2x}$

$$ \begin{aligned} \frac{6x^3}{2x^1} &= \left(\frac{6}{2}\right) \cdot x^{3-1} \\ &= 3x^2 \end{aligned} $$

Divide: $\displaystyle \frac{6x^3}{2x}$

$$ \begin{aligned} \frac{6x^3}{2x^1} &= \left(\frac{6}{2}\right) \cdot x^{3-1} \\ &= 3x^2 \end{aligned} $$
Example 6.2

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{-12a^5}{3a^2}$

$$ \begin{aligned} \frac{-12a^5}{3a^2} &= \left(\frac{-12}{3}\right) \cdot a^{5-2} \\ &= -4a^3 \end{aligned} $$

Divide: $\displaystyle \frac{-12a^5}{3a^2}$

$$ \begin{aligned} \frac{-12a^5}{3a^2} &= \left(\frac{-12}{3}\right) \cdot a^{5-2} \\ &= -4a^3 \end{aligned} $$
Example 6.3

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{15x^4y^3}{-5x^2y}$

$$ \begin{aligned} \frac{15x^4y^3}{-5x^2y^1} &= \left(\frac{15}{-5}\right) \cdot x^{4-2} \cdot y^{3-1} \\ &= -3x^2y^2 \end{aligned} $$

Divide: $\displaystyle \frac{15x^4y^3}{-5x^2y}$

$$ \begin{aligned} \frac{15x^4y^3}{-5x^2y^1} &= \left(\frac{15}{-5}\right) \cdot x^{4-2} \cdot y^{3-1} \\ &= -3x^2y^2 \end{aligned} $$
Example 6.4

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{8m^2n^2}{4m^2n}$

$$ \begin{aligned} \frac{8m^2n^2}{4m^2n^1} &= \left(\frac{8}{4}\right) \cdot m^{2-2} \cdot n^{2-1} \\ &= 2m^0n^1 \\ &= 2n \end{aligned} $$

Divide: $\displaystyle \frac{8m^2n^2}{4m^2n}$

$$ \begin{aligned} \frac{8m^2n^2}{4m^2n^1} &= \left(\frac{8}{4}\right) \cdot m^{2-2} \cdot n^{2-1} \\ &= 2m^0n^1 \\ &= 2n \end{aligned} $$
Example 6.5

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{-9a^4bc^3}{-3a^3bc}$

$$ \begin{aligned} \frac{-9a^4bc^3}{-3a^3bc} &= \left(\frac{-9}{-3}\right) \cdot a^{4-3} \cdot b^{1-1} \cdot c^{3-1} \\ &= 3a^1b^0c^2 \\ &= 3ac^2 \end{aligned} $$

Divide: $\displaystyle \frac{-9a^4bc^3}{-3a^3bc}$

$$ \begin{aligned} \frac{-9a^4bc^3}{-3a^3bc} &= \left(\frac{-9}{-3}\right) \cdot a^{4-3} \cdot b^{1-1} \cdot c^{3-1} \\ &= 3a^1b^0c^2 \\ &= 3ac^2 \end{aligned} $$
Example 6.6

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{2x^5}{5x^2}$

$$ \begin{aligned} \frac{2x^5}{5x^2} &= \left(\frac{2}{5}\right) \cdot x^{5-2} \\ &= \frac{2}{5}x^3 \end{aligned} $$

Divide: $\displaystyle \frac{2x^5}{5x^2}$

$$ \begin{aligned} \frac{2x^5}{5x^2} &= \left(\frac{2}{5}\right) \cdot x^{5-2} \\ &= \frac{2}{5}x^3 \end{aligned} $$
Example 6.7

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{100p^6q^4}{-25p^4q^4}$

$$ \begin{aligned} \frac{100p^6q^4}{-25p^4q^4} &= \left(\frac{100}{-25}\right) \cdot p^{6-4} \cdot q^{4-4} \\ &= -4p^2q^0 \\ &= -4p^2 \end{aligned} $$

Divide: $\displaystyle \frac{100p^6q^4}{-25p^4q^4}$

$$ \begin{aligned} \frac{100p^6q^4}{-25p^4q^4} &= \left(\frac{100}{-25}\right) \cdot p^{6-4} \cdot q^{4-4} \\ &= -4p^2q^0 \\ &= -4p^2 \end{aligned} $$
7

✂️ การหารพหุนามด้วยเอกนาม ✂️ Dividing Polynomials by Monomials

TH

หลักการ: นำตัวหาร (เอกนาม) ไปหาร ทุกๆ พจน์ ของตัวตั้ง (พหุนาม) แล้วนำผลลัพธ์มาบวก/ลบกัน

EN

Rule: Divide every term in the numerator (polynomial) by the denominator (monomial), then combine the results.

Example 7.1

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{4x^2 + 6x}{2x}$

$$ \begin{aligned} \frac{4x^2 + 6x}{2x} &= \frac{4x^2}{2x} + \frac{6x}{2x} \\ &= 2x + 3 \end{aligned} $$

Divide: $\displaystyle \frac{4x^2 + 6x}{2x}$

$$ \begin{aligned} \frac{4x^2 + 6x}{2x} &= \frac{4x^2}{2x} + \frac{6x}{2x} \\ &= 2x + 3 \end{aligned} $$
Example 7.2

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{9a^3 - 12a^2 + 3a}{3a}$

$$ \begin{aligned} \frac{9a^3 - 12a^2 + 3a}{3a} &= \frac{9a^3}{3a} - \frac{12a^2}{3a} + \frac{3a}{3a} \\ &= 3a^2 - 4a + 1 \end{aligned} $$

Divide: $\displaystyle \frac{9a^3 - 12a^2 + 3a}{3a}$

$$ \begin{aligned} \frac{9a^3 - 12a^2 + 3a}{3a} &= \frac{9a^3}{3a} - \frac{12a^2}{3a} + \frac{3a}{3a} \\ &= 3a^2 - 4a + 1 \end{aligned} $$
Example 7.3

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{10y^4 + 5y^3 - 15y^2}{5y^2}$

$$ \begin{aligned} \frac{10y^4 + 5y^3 - 15y^2}{5y^2} &= \frac{10y^4}{5y^2} + \frac{5y^3}{5y^2} - \frac{15y^2}{5y^2} \\ &= 2y^2 + y - 3 \end{aligned} $$

Divide: $\displaystyle \frac{10y^4 + 5y^3 - 15y^2}{5y^2}$

$$ \begin{aligned} \frac{10y^4 + 5y^3 - 15y^2}{5y^2} &= \frac{10y^4}{5y^2} + \frac{5y^3}{5y^2} - \frac{15y^2}{5y^2} \\ &= 2y^2 + y - 3 \end{aligned} $$
Example 7.4

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{-8x^3 + 6x^2}{-2x}$

$$ \begin{aligned} \frac{-8x^3 + 6x^2}{-2x} &= \frac{-8x^3}{-2x} + \frac{6x^2}{-2x} \\ &= 4x^2 - 3x \end{aligned} $$

Divide: $\displaystyle \frac{-8x^3 + 6x^2}{-2x}$

$$ \begin{aligned} \frac{-8x^3 + 6x^2}{-2x} &= \frac{-8x^3}{-2x} + \frac{6x^2}{-2x} \\ &= 4x^2 - 3x \end{aligned} $$
Example 7.5

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{12m^4n^2 - 16m^3n^3}{4m^2n^2}$

$$ \begin{aligned} \frac{12m^4n^2 - 16m^3n^3}{4m^2n^2} &= \frac{12m^4n^2}{4m^2n^2} - \frac{16m^3n^3}{4m^2n^2} \\ &= 3m^2 - 4mn \end{aligned} $$

Divide: $\displaystyle \frac{12m^4n^2 - 16m^3n^3}{4m^2n^2}$

$$ \begin{aligned} \frac{12m^4n^2 - 16m^3n^3}{4m^2n^2} &= \frac{12m^4n^2}{4m^2n^2} - \frac{16m^3n^3}{4m^2n^2} \\ &= 3m^2 - 4mn \end{aligned} $$
Example 7.6

จงหาผลหารของ $\displaystyle (7x^5 - x^3) \div (-x^2)$

$$ \begin{aligned} \frac{7x^5 - x^3}{-x^2} &= \frac{7x^5}{-x^2} - \frac{x^3}{-x^2} \\ &= -7x^3 + x \end{aligned} $$

Divide: $\displaystyle (7x^5 - x^3) \div (-x^2)$

$$ \begin{aligned} \frac{7x^5 - x^3}{-x^2} &= \frac{7x^5}{-x^2} - \frac{x^3}{-x^2} \\ &= -7x^3 + x \end{aligned} $$
Example 7.7

จงหาผลหารของ $\displaystyle \frac{2a^2b + ab^2 - a^2b^2}{ab}$

$$ \begin{aligned} \frac{2a^2b + ab^2 - a^2b^2}{ab} &= \frac{2a^2b}{ab} + \frac{ab^2}{ab} - \frac{a^2b^2}{ab} \\ &= 2a + b - ab \end{aligned} $$

Divide: $\displaystyle \frac{2a^2b + ab^2 - a^2b^2}{ab}$

$$ \begin{aligned} \frac{2a^2b + ab^2 - a^2b^2}{ab} &= \frac{2a^2b}{ab} + \frac{ab^2}{ab} - \frac{a^2b^2}{ab} \\ &= 2a + b - ab \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Polynomial poly- (many) + nomen (name, term) พหุนาม · นิพจน์ที่เกิดจากการนำเอกนามมาบวกหรือลบกันตั้งแต่หนึ่งพจน์ขึ้นไป
Monomial mono- (one) + nomen (name, term) เอกนาม · นิพจน์ที่เขียนอยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปร โดยเลขชี้กำลังเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก
Binomial bi- (two) + nomen (name, term) ทวินาม · พหุนามที่ประกอบด้วย 2 พจน์ เช่น $3x + 5$
Trinomial tri- (three) + nomen (name, term) ตรีนาม · พหุนามที่ประกอบด้วย 3 พจน์ เช่น $x^2 - 4x + 4$
Operation operari (to work) การดำเนินการ · กระบวนการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ การบวก ลบ คูณ และหาร
Term terminus (boundary, limit) พจน์ · แต่ละส่วนของพหุนามที่เชื่อมหรือคั่นด้วยเครื่องหมายบวก (+) หรือลบ (-)
Coefficient co- (together) + efficere (to bring about) สัมประสิทธิ์ · ตัวเลขค่าคงตัวที่คูณอยู่ด้านหน้าตัวแปรในแต่ละพจน์
Degree de- (down) + gradus (step) ดีกรี · ระดับขั้นเลขชี้กำลังสูงสุดของพจน์ในพหุนามรูปผลสำเร็จ
Like Terms like (similar) + terminus (end, limit) พจน์ที่คล้ายกัน · เอกนามที่มีตัวแปรชุดเดียวกันและเลขชี้กำลังเท่ากันทุกประการ (สามารถนำมาบวกลบกันได้)
Additive Inverse addere (to add) + invertere (to turn upside down) พจน์ตรงข้าม (ตัวผกผันการบวก) · พจน์ที่มีค่าตรงกันข้าม เช่น จำนวนตรงข้ามของ $(2x - 3)$ คือ $(-2x + 3)$ ใช้ในการแปลงการลบเป็นการบวก
Distributive Property dis- (apart) + tribuere (to assign) สมบัติการแจกแจง · การนำตัวคูณที่อยู่นอกวงเล็บกระจายเข้าไปคูณทุกพจน์ในวงเล็บ $a(b + c) = ab + ac$
FOIL Method First, Outer, Inner, Last (mnemonic) วิธี FOIL · เทคนิคการคูณพหุนาม 2 พจน์กับ 2 พจน์ (พจน์หน้า, พจน์นอก, พจน์ใน, พจน์หลัง)
Product pro- (forward) + ducere (to bring forth) ผลคูณ · ผลลัพธ์ที่ได้จากการนำเอกนามหรือพหุนามมาคูณกัน
Dividend dividendum (thing to be divided) ตัวตั้ง · พหุนามที่เป็นตัวตั้งในการหาร
Divisor dividere (to divide, separate) ตัวหาร · เอกนามหรือพหุนามที่นำไปหารตัวตั้ง (ต้องไม่เป็นศูนย์)
Quotient quotiens (how many times) ผลหาร · ผลลัพธ์ที่ได้จากการนำตัวตั้งหารด้วยตัวหาร
Remainder re- (back) + manere (to stay) เศษเหลือ · ส่วนที่เหลือจากการหาร ซึ่งมีดีกรีน้อยกว่าตัวหาร (หากเศษเป็น 0 เรียกว่าหารลงตัว)
Simplified Form simplex (simple) + forma (form) รูปผลสำเร็จ · การจัดรูปพหุนามโดยรวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกันจนหมด และไม่มีการดำเนินการค้างอยู่