การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่า 2

การแยกตัวประกอบ (Factoring) เป็นกระบวนการเขียนพหุนามดีกรีสูง ให้อยู่ในรูปของการคูณกันของพหุนามที่มีดีกรีต่ำลง (เช่น ดีกรี 1 หรือ 2) เพื่อนำไปสู่การแก้สมการหาคำตอบ ในบทนี้เราจะเน้นศึกษาพหุนามตัวแปรเดียวที่มี ดีกรี (กำลังสูงสุด) ตั้งแต่ 3 ขึ้นไป

Factoring is the process of writing a higher-degree polynomial as a product of lower-degree polynomials (e.g., degree 1 or 2) to help solve equations. In this chapter, we will focus on single-variable polynomials with a degree of 3 or higher.

📖 ทบทวนความรู้พื้นฐาน 📖 Basic Polynomial Review

พหุนามตัวแปรเดียว: พหุนามที่ประกอบด้วยตัวแปรเพียงชนิดเดียว (เช่น $x$) เขียนอยู่ในรูปทั่วไปคือ:

$$ P(x) = {\color{#1565c0}a_n}x^{{\color{#e65100}n}} + {\color{#1565c0}a_{n-1}}x^{{\color{#e65100}n-1}} + \dots + {\color{#1565c0}a_1}x + {\color{#1565c0}a_0} $$

โดยที่ ${\color{#e65100}n}$ เป็นจำนวนเต็มบวก และเรียกว่า ดีกรีของพหุนาม (กำลังสูงสุด)
${\color{#1565c0}a}$ เป็นสัมประสิทธิ์ (ตัวเลขที่คูณอยู่หน้าตัวแปร)

Single-Variable Polynomial: A polynomial consisting of only one variable (e.g., $x$), generally written as:

$$ P(x) = {\color{#1565c0}a_n}x^{{\color{#e65100}n}} + {\color{#1565c0}a_{n-1}}x^{{\color{#e65100}n-1}} + \dots + {\color{#1565c0}a_1}x + {\color{#1565c0}a_0} $$

Where ${\color{#e65100}n}$ is a positive integer and is called the degree of the polynomial (highest power).
${\color{#1565c0}a}$ represents the coefficients.

📦 การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสาม 📦 Factoring Cubic Polynomials

ในการแยกตัวประกอบของพหุนามกำลังสาม เรามักจะพึ่งพาสูตรสำเร็จ 2 สูตรหลัก ได้แก่ ผลบวกกำลังสาม และ ผลต่างกำลังสาม

ผลบวกของกำลังสาม: ${\color{#1565c0}A}^3 + {\color{#e65100}B}^3 = ({\color{#1565c0}A} + {\color{#e65100}B})({\color{#1565c0}A}^2 - {\color{#1565c0}A}{\color{#e65100}B} + {\color{#e65100}B}^2)$
ผลต่างของกำลังสาม: ${\color{#1565c0}A}^3 - {\color{#e65100}B}^3 = ({\color{#1565c0}A} - {\color{#e65100}B})({\color{#1565c0}A}^2 + {\color{#1565c0}A}{\color{#e65100}B} + {\color{#e65100}B}^2)$
กำลังสามสมบูรณ์ (เสริม): $({\color{#1565c0}A} \pm {\color{#e65100}B})^3 = {\color{#1565c0}A}^3 \pm 3{\color{#1565c0}A}^2{\color{#e65100}B} + 3{\color{#1565c0}A}{\color{#e65100}B}^2 \pm {\color{#e65100}B}^3$

ข้อสังเกต: พจน์กลางของวงเล็บหลังคือ ${\color{#1565c0}A}{\color{#e65100}B}$ (ไม่ใช่ $2AB$ แบบกำลังสองสมบูรณ์)

To factor cubic polynomials, we rely on two main formulas: the Sum of Cubes and the Difference of Cubes.

Sum of Cubes: ${\color{#1565c0}A}^3 + {\color{#e65100}B}^3 = ({\color{#1565c0}A} + {\color{#e65100}B})({\color{#1565c0}A}^2 - {\color{#1565c0}A}{\color{#e65100}B} + {\color{#e65100}B}^2)$
Difference of Cubes: ${\color{#1565c0}A}^3 - {\color{#e65100}B}^3 = ({\color{#1565c0}A} - {\color{#e65100}B})({\color{#1565c0}A}^2 + {\color{#1565c0}A}{\color{#e65100}B} + {\color{#e65100}B}^2)$
Perfect Cube (Bonus): $({\color{#1565c0}A} \pm {\color{#e65100}B})^3 = {\color{#1565c0}A}^3 \pm 3{\color{#1565c0}A}^2{\color{#e65100}B} + 3{\color{#1565c0}A}{\color{#e65100}B}^2 \pm {\color{#e65100}B}^3$

Note: The middle term in the second parenthesis is ${\color{#1565c0}A}{\color{#e65100}B}$ (not $2AB$ as in perfect squares).

Example 2.1

จงแยกตัวประกอบของ $x^3 + 8$

$$ \begin{aligned} x^3 + 8 &= x^3 + 2^3 \\ &= (x + 2)(x^2 - x(2) + 2^2) \\ &= (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \end{aligned} $$

Factor $x^3 + 8$

$$ \begin{aligned} x^3 + 8 &= x^3 + 2^3 \\ &= (x + 2)(x^2 - x(2) + 2^2) \\ &= (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \end{aligned} $$

Example 2.2

จงแยกตัวประกอบของ $y^3 - 27$

$$ \begin{aligned} y^3 - 27 &= y^3 - 3^3 \\ &= (y - 3)(y^2 + y(3) + 3^2) \\ &= (y - 3)(y^2 + 3y + 9) \end{aligned} $$

Factor $y^3 - 27$

$$ \begin{aligned} y^3 - 27 &= y^3 - 3^3 \\ &= (y - 3)(y^2 + y(3) + 3^2) \\ &= (y - 3)(y^2 + 3y + 9) \end{aligned} $$

Example 2.3

จงแยกตัวประกอบของ $8x^3 + 1$

$$ \begin{aligned} 8x^3 + 1 &= (2x)^3 + 1^3 \\ &= (2x + 1)((2x)^2 - (2x)(1) + 1^2) \\ &= (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) \end{aligned} $$

Factor $8x^3 + 1$

$$ \begin{aligned} 8x^3 + 1 &= (2x)^3 + 1^3 \\ &= (2x + 1)((2x)^2 - (2x)(1) + 1^2) \\ &= (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) \end{aligned} $$

Example 2.4

จงแยกตัวประกอบของ $64x^3 - 125$

$$ \begin{aligned} 64x^3 - 125 &= (4x)^3 - 5^3 \\ &= (4x - 5)((4x)^2 + (4x)(5) + 5^2) \\ &= (4x - 5)(16x^2 + 20x + 25) \end{aligned} $$

Factor $64x^3 - 125$

$$ \begin{aligned} 64x^3 - 125 &= (4x)^3 - 5^3 \\ &= (4x - 5)((4x)^2 + (4x)(5) + 5^2) \\ &= (4x - 5)(16x^2 + 20x + 25) \end{aligned} $$

Example 2.5

จงแยกตัวประกอบของ $x^6 - 27$

มองเป็นผลต่างกำลังสาม โดยให้ $A = x^2$

$$ \begin{aligned} x^6 - 27 &= (x^2)^3 - 3^3 \\ &= (x^2 - 3)((x^2)^2 + (x^2)(3) + 3^2) \\ &= (x^2 - 3)(x^4 + 3x^2 + 9) \end{aligned} $$

Factor $x^6 - 27$

Treat as a difference of cubes, letting $A = x^2$

$$ \begin{aligned} x^6 - 27 &= (x^2)^3 - 3^3 \\ &= (x^2 - 3)((x^2)^2 + (x^2)(3) + 3^2) \\ &= (x^2 - 3)(x^4 + 3x^2 + 9) \end{aligned} $$

Example 2.6

จงแยกตัวประกอบของ $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

พิจารณาจัดรูปให้เข้ากับสูตรกำลังสามสมบูรณ์ $(A+B)^3$

$$ \begin{aligned} x^3 + 6x^2 + 12x + 8 &= x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) + 2^3 \\ &= (x + 2)^3 \end{aligned} $$

Factor $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Recognize the perfect cube pattern $(A+B)^3$

$$ \begin{aligned} x^3 + 6x^2 + 12x + 8 &= x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) + 2^3 \\ &= (x + 2)^3 \end{aligned} $$

Example 2.7

จงแยกตัวประกอบของ $x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

พิจารณาจัดรูปให้เข้ากับสูตรกำลังสามสมบูรณ์ $(A-B)^3$

$$ \begin{aligned} x^3 - 9x^2 + 27x - 27 &= x^3 - 3(x^2)(3) + 3(x)(3^2) - 3^3 \\ &= (x - 3)^3 \end{aligned} $$

Factor $x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

Recognize the perfect cube pattern $(A-B)^3$

$$ \begin{aligned} x^3 - 9x^2 + 27x - 27 &= x^3 - 3(x^2)(3) + 3(x)(3^2) - 3^3 \\ &= (x - 3)^3 \end{aligned} $$

Example 2.8

จงแยกตัวประกอบของ $2x^4 + 16x$

ดึงตัวประกอบร่วม $2x$ ออกมาก่อน แล้วจึงใช้สูตรผลบวกของกำลังสาม

$$ \begin{aligned} 2x^4 + 16x &= 2x(x^3 + 8) \\ &= 2x(x^3 + 2^3) \\ &= 2x(x + 2)(x^2 - 2x + 4) \end{aligned} $$

Factor $2x^4 + 16x$

Factor out the common factor $2x$ first, then apply the sum of cubes formula.

$$ \begin{aligned} 2x^4 + 16x &= 2x(x^3 + 8) \\ &= 2x(x^3 + 2^3) \\ &= 2x(x + 2)(x^2 - 2x + 4) \end{aligned} $$

Example 2.9

จงแยกตัวประกอบของ $27x^3 + 64y^3$

มองเป็นผลบวกของกำลังสาม โดยให้ $A = 3x$ และ $B = 4y$

$$ \begin{aligned} 27x^3 + 64y^3 &= (3x)^3 + (4y)^3 \\ &= (3x + 4y)((3x)^2 - (3x)(4y) + (4y)^2) \\ &= (3x + 4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2) \end{aligned} $$

Factor $27x^3 + 64y^3$

Treat as a sum of cubes, letting $A = 3x$ and $B = 4y$.

$$ \begin{aligned} 27x^3 + 64y^3 &= (3x)^3 + (4y)^3 \\ &= (3x + 4y)((3x)^2 - (3x)(4y) + (4y)^2) \\ &= (3x + 4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2) \end{aligned} $$

Example 2.10

จงแยกตัวประกอบของ $125a^3 - 8b^3$

มองเป็นผลต่างของกำลังสาม โดยให้ $A = 5a$ และ $B = 2b$

$$ \begin{aligned} 125a^3 - 8b^3 &= (5a)^3 - (2b)^3 \\ &= (5a - 2b)((5a)^2 + (5a)(2b) + (2b)^2) \\ &= (5a - 2b)(25a^2 + 10ab + 4b^2) \end{aligned} $$

Factor $125a^3 - 8b^3$

Treat as a difference of cubes, letting $A = 5a$ and $B = 2b$.

$$ \begin{aligned} 125a^3 - 8b^3 &= (5a)^3 - (2b)^3 \\ &= (5a - 2b)((5a)^2 + (5a)(2b) + (2b)^2) \\ &= (5a - 2b)(25a^2 + 10ab + 4b^2) \end{aligned} $$

Example 2.11

จงแยกตัวประกอบของ $(x + 1)^3 - 8$

มองเป็นผลต่างกำลังสาม โดยให้ $A = (x + 1)$ และ $B = 2$

$$ \begin{aligned} (x + 1)^3 - 8 &= (x + 1)^3 - 2^3 \\ &= ((x + 1) - 2)((x + 1)^2 + (x + 1)(2) + 2^2) \\ &= (x - 1)((x^2 + 2x + 1) + (2x + 2) + 4) \\ &= (x - 1)(x^2 + 4x + 7) \end{aligned} $$

Factor $(x + 1)^3 - 8$

Treat as a difference of cubes, letting $A = (x + 1)$ and $B = 2$.

$$ \begin{aligned} (x + 1)^3 - 8 &= (x + 1)^3 - 2^3 \\ &= ((x + 1) - 2)((x + 1)^2 + (x + 1)(2) + 2^2) \\ &= (x - 1)((x^2 + 2x + 1) + (2x + 2) + 4) \\ &= (x - 1)(x^2 + 4x + 7) \end{aligned} $$

Example 2.12

จงแยกตัวประกอบของ $x^6 - 64$

แยกเป็นผลต่างกำลังสองก่อน แล้วตามด้วยผลบวกและผลต่างกำลังสาม

$$ \begin{aligned} x^6 - 64 &= (x^3)^2 - 8^2 \\ &= (x^3 - 8)(x^3 + 8) \\ &= (x^3 - 2^3)(x^3 + 2^3) \\ &= (x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4) \end{aligned} $$

Factor $x^6 - 64$

Factor as a difference of squares first, then apply sum and difference of cubes.

$$ \begin{aligned} x^6 - 64 &= (x^3)^2 - 8^2 \\ &= (x^3 - 8)(x^3 + 8) \\ &= (x^3 - 2^3)(x^3 + 2^3) \\ &= (x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4) \end{aligned} $$

🔧 การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสี่ (หรือสูงกว่า) 🔧 Factoring Degree 4 (or higher)

สำหรับพหุนามที่มีดีกรี 4 หรือสูงกว่า เราสามารถใช้เทคนิคการลดทอนดีกรี หรือ การเปลี่ยนตัวแปร (Substitution Method) เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณ

การประยุกต์สูตรผลต่างกำลังสองซ้อน: รูปแบบ ${\color{#1565c0}A}^4 - {\color{#e65100}B}^4$ สามารถมองเป็น $({\color{#1565c0}A}^2)^2 - ({\color{#e65100}B}^2)^2$ และแยกได้เป็น $({\color{#1565c0}A}^2 - {\color{#e65100}B}^2)({\color{#1565c0}A}^2 + {\color{#e65100}B}^2)$
สมการรูปแบบ $a{\color{#1565c0}x}^4 + b{\color{#1565c0}x}^2 + c$: ให้สมมติตัวแปรใหม่ ${\color{#8e24aa}y} = {\color{#1565c0}x}^2$ พหุนามจะลดรูปกลายเป็น $a{\color{#8e24aa}y}^2 + b{\color{#8e24aa}y} + c$ ซึ่งแยกสองวงเล็บได้ตามปกติ

ข้อสังเกต: เมื่อแยกตัวประกอบในรูปตัวแปรใหม่แล้ว อย่าลืมแทนค่า ${\color{#1565c0}x}^2$ กลับคืนสู่ตัวแปรเดิมเสมอ

For polynomials of degree 4 or higher, we can use degree reduction techniques or Substitution Method to simplify calculations.

Repeated Difference of Squares: Form ${\color{#1565c0}A}^4 - {\color{#e65100}B}^4$ can be seen as $({\color{#1565c0}A}^2)^2 - ({\color{#e65100}B}^2)^2$, which factors to $({\color{#1565c0}A}^2 - {\color{#e65100}B}^2)({\color{#1565c0}A}^2 + {\color{#e65100}B}^2)$.
Form $a{\color{#1565c0}x}^4 + b{\color{#1565c0}x}^2 + c$: Substitute ${\color{#8e24aa}y} = {\color{#1565c0}x}^2$ to reduce the polynomial to $a{\color{#8e24aa}y}^2 + b{\color{#8e24aa}y} + c$, which can be factored normally.

Note: After factoring with the substitute variable, remember to substitute ${\color{#1565c0}x}^2$ back into the original expression.

Example 3.1

จงแยกตัวประกอบของ $x^4 - 16$

$$ \begin{aligned} x^4 - 16 &= (x^2)^2 - 4^2 \\ &= (x^2 - 4)(x^2 + 4) \\ &= (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) \end{aligned} $$

Factor $x^4 - 16$

$$ \begin{aligned} x^4 - 16 &= (x^2)^2 - 4^2 \\ &= (x^2 - 4)(x^2 + 4) \\ &= (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) \end{aligned} $$

Example 3.2

จงแยกตัวประกอบของ $x^4 - 81$

$$ \begin{aligned} x^4 - 81 &= (x^2)^2 - 9^2 \\ &= (x^2 - 9)(x^2 + 9) \\ &= (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9) \end{aligned} $$

Factor $x^4 - 81$

$$ \begin{aligned} x^4 - 81 &= (x^2)^2 - 9^2 \\ &= (x^2 - 9)(x^2 + 9) \\ &= (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9) \end{aligned} $$

Example 3.3

จงแยกตัวประกอบของ $16x^4 - 1$

$$ \begin{aligned} 16x^4 - 1 &= (4x^2)^2 - 1^2 \\ &= (4x^2 - 1)(4x^2 + 1) \\ &= ((2x)^2 - 1^2)(4x^2 + 1) \\ &= (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1) \end{aligned} $$

Factor $16x^4 - 1$

$$ \begin{aligned} 16x^4 - 1 &= (4x^2)^2 - 1^2 \\ &= (4x^2 - 1)(4x^2 + 1) \\ &= ((2x)^2 - 1^2)(4x^2 + 1) \\ &= (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1) \end{aligned} $$

Example 3.4

จงแยกตัวประกอบของ $x^4 - 5x^2 + 4$

ให้ $y = x^2$ จะได้สมการใหม่เป็น $y^2 - 5y + 4$

$$ \begin{aligned} y^2 - 5y + 4 &= (y - 4)(y - 1) \\ \text{แทนค่า } y = x^2 \text{ กลับคืน} \quad &= (x^2 - 4)(x^2 - 1) \\ &= (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1) \end{aligned} $$

Factor $x^4 - 5x^2 + 4$

Let $y = x^2$, the polynomial becomes $y^2 - 5y + 4$

$$ \begin{aligned} y^2 - 5y + 4 &= (y - 4)(y - 1) \\ \text{Substitute back } y = x^2 \quad &= (x^2 - 4)(x^2 - 1) \\ &= (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1) \end{aligned} $$

Example 3.5

จงแยกตัวประกอบของ $x^4 - 13x^2 + 36$

สมมติให้มองก้อน $x^2$ เป็นตัวแปรเดียวและแยกสองวงเล็บ

$$ \begin{aligned} x^4 - 13x^2 + 36 &= (x^2 - 9)(x^2 - 4) \\ &= (x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2) \end{aligned} $$

Factor $x^4 - 13x^2 + 36$

Treat $x^2$ as a single variable to factor into two binomials

$$ \begin{aligned} x^4 - 13x^2 + 36 &= (x^2 - 9)(x^2 - 4) \\ &= (x - 3)(x + 3)(x - 2)(x + 2) \end{aligned} $$

Example 3.6

จงแยกตัวประกอบของ $x^4 + 3x^2 - 4$

$$ \begin{aligned} x^4 + 3x^2 - 4 &= (x^2 + 4)(x^2 - 1) \\ &= (x^2 + 4)(x - 1)(x + 1) \end{aligned} $$

หมายเหตุ: $x^2+4$ แยกตัวประกอบต่อไม่ได้ในระบบจำนวนจริง

Factor $x^4 + 3x^2 - 4$

$$ \begin{aligned} x^4 + 3x^2 - 4 &= (x^2 + 4)(x^2 - 1) \\ &= (x^2 + 4)(x - 1)(x + 1) \end{aligned} $$

Note: $x^2+4$ cannot be factored further over real numbers

Example 3.7

จงแยกตัวประกอบของ $2x^4 - 17x^2 + 8$

$$ \begin{aligned} 2x^4 - 17x^2 + 8 &= (2x^2 - 1)(x^2 - 8) \\ &= (2x^2 - 1)(x - \sqrt{8})(x + \sqrt{8}) \\ &= (2x^2 - 1)(x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) \end{aligned} $$

Factor $2x^4 - 17x^2 + 8$

$$ \begin{aligned} 2x^4 - 17x^2 + 8 &= (2x^2 - 1)(x^2 - 8) \\ &= (2x^2 - 1)(x - \sqrt{8})(x + \sqrt{8}) \\ &= (2x^2 - 1)(x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) \end{aligned} $$

🤝 การแยกตัวประกอบโดยวิธีจัดหมู่และดึงตัวร่วม 🤝 Factoring by Grouping

การแยกตัวประกอบโดยวิธีจับกลุ่ม มักใช้กับพหุนามที่มี 4 พจน์ขึ้นไป โดยแบ่งเป็นคู่ๆ แล้วดึง ตัวประกอบร่วม (GCF) เพื่อให้เกิดวงเล็บที่เหมือนกัน:

การจัดกลุ่มพจน์: $(a{\color{#1565c0}x^3} + b{\color{#1565c0}x^2}) + (c{\color{#1565c0}x} + d)$ จับคู่พจน์ที่มีตัวร่วมสัมพันธ์กัน
ดึงตัวร่วมย่อย: ${\color{#1565c0}x^2}(ax + b) + k(ax + b)$ ดึงตัวร่วมจากแต่ละวงเล็บจนเกิดวงเล็บร่วม
ดึงตัวร่วมสองชั้น: $({\color{#2e7d32}ax + b})({\color{#1565c0}x^2} + k)$ ดึงวงเล็บที่ซ้ำกันออกมาเป็นคำตอบสุดท้าย

ข้อสังเกต: เมื่อมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ เช่น $-(cx - d)$ ต้องระวังการกระจายเครื่องหมายของพจน์ด้านในเสมอ

Factoring by grouping is used for polynomials with 4 or more terms by pairing terms to factor out the Greatest Common Factor (GCF):

Group Terms: $(a{\color{#1565c0}x^3} + b{\color{#1565c0}x^2}) + (c{\color{#1565c0}x} + d)$ pair terms that share common factors.
Factor Out GCF: ${\color{#1565c0}x^2}(ax + b) + k(ax + b)$ extract common factor to reveal an identical binomial.
Factor Binomial: $({\color{#2e7d32}ax + b})({\color{#1565c0}x^2} + k)$ pull out the common binomial as the final factored form.

Note: When grouping with a negative sign outside parentheses like $-(cx - d)$, always take care with the inner signs.

Example 4.1

จงแยกตัวประกอบของ $x^3 + 2x^2 + 3x + 6$

$$ \begin{aligned} x^3 + 2x^2 + 3x + 6 &= (x^3 + 2x^2) + (3x + 6) \\ &= x^2(x + 2) + 3(x + 2) \\ &= (x + 2)(x^2 + 3) \end{aligned} $$

Factor $x^3 + 2x^2 + 3x + 6$

$$ \begin{aligned} x^3 + 2x^2 + 3x + 6 &= (x^3 + 2x^2) + (3x + 6) \\ &= x^2(x + 2) + 3(x + 2) \\ &= (x + 2)(x^2 + 3) \end{aligned} $$

Example 4.2

จงแยกตัวประกอบของ $x^3 - 3x^2 + 2x - 6$

$$ \begin{aligned} x^3 - 3x^2 + 2x - 6 &= (x^3 - 3x^2) + (2x - 6) \\ &= x^2(x - 3) + 2(x - 3) \\ &= (x - 3)(x^2 + 2) \end{aligned} $$

Factor $x^3 - 3x^2 + 2x - 6$

$$ \begin{aligned} x^3 - 3x^2 + 2x - 6 &= (x^3 - 3x^2) + (2x - 6) \\ &= x^2(x - 3) + 2(x - 3) \\ &= (x - 3)(x^2 + 2) \end{aligned} $$

Example 4.3

จงแยกตัวประกอบของ $2x^3 - 4x^2 - 3x + 6$

$$ \begin{aligned} 2x^3 - 4x^2 - 3x + 6 &= (2x^3 - 4x^2) - (3x - 6) \\ &= 2x^2(x - 2) - 3(x - 2) \\ &= (x - 2)(2x^2 - 3) \end{aligned} $$

Factor $2x^3 - 4x^2 - 3x + 6$

$$ \begin{aligned} 2x^3 - 4x^2 - 3x + 6 &= (2x^3 - 4x^2) - (3x - 6) \\ &= 2x^2(x - 2) - 3(x - 2) \\ &= (x - 2)(2x^2 - 3) \end{aligned} $$

Example 4.4

จงแยกตัวประกอบของ $x^3 + x^2 - x - 1$

$$ \begin{aligned} x^3 + x^2 - x - 1 &= (x^3 + x^2) - (x + 1) \\ &= x^2(x + 1) - 1(x + 1) \\ &= (x + 1)(x^2 - 1) \\ &= (x + 1)(x - 1)(x + 1) \\ &= (x + 1)^2(x - 1) \end{aligned} $$

Factor $x^3 + x^2 - x - 1$

$$ \begin{aligned} x^3 + x^2 - x - 1 &= (x^3 + x^2) - (x + 1) \\ &= x^2(x + 1) - 1(x + 1) \\ &= (x + 1)(x^2 - 1) \\ &= (x + 1)(x - 1)(x + 1) \\ &= (x + 1)^2(x - 1) \end{aligned} $$

Example 4.5

จงแยกตัวประกอบของ $x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x$

$$ \begin{aligned} x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x &= x(x^3 + 2x^2 - x - 2) \\ &= x((x^3 + 2x^2) - (x + 2)) \\ &= x(x^2(x + 2) - 1(x + 2)) \\ &= x(x + 2)(x^2 - 1) \\ &= x(x + 2)(x - 1)(x + 1) \end{aligned} $$

Factor $x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x$

$$ \begin{aligned} x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x &= x(x^3 + 2x^2 - x - 2) \\ &= x((x^3 + 2x^2) - (x + 2)) \\ &= x(x^2(x + 2) - 1(x + 2)) \\ &= x(x + 2)(x^2 - 1) \\ &= x(x + 2)(x - 1)(x + 1) \end{aligned} $$

Example 4.6

จงแยกตัวประกอบของ $3x^3 - 2x^2 + 12x - 8$

$$ \begin{aligned} 3x^3 - 2x^2 + 12x - 8 &= (3x^3 - 2x^2) + (12x - 8) \\ &= x^2(3x - 2) + 4(3x - 2) \\ &= (3x - 2)(x^2 + 4) \end{aligned} $$

Factor $3x^3 - 2x^2 + 12x - 8$

$$ \begin{aligned} 3x^3 - 2x^2 + 12x - 8 &= (3x^3 - 2x^2) + (12x - 8) \\ &= x^2(3x - 2) + 4(3x - 2) \\ &= (3x - 2)(x^2 + 4) \end{aligned} $$

Example 4.7

จงแยกตัวประกอบของ $x^5 - 2x^4 + x - 2$

$$ \begin{aligned} x^5 - 2x^4 + x - 2 &= (x^5 - 2x^4) + (x - 2) \\ &= x^4(x - 2) + 1(x - 2) \\ &= (x - 2)(x^4 + 1) \end{aligned} $$

Factor $x^5 - 2x^4 + x - 2$

$$ \begin{aligned} x^5 - 2x^4 + x - 2 &= (x^5 - 2x^4) + (x - 2) \\ &= x^4(x - 2) + 1(x - 2) \\ &= (x - 2)(x^4 + 1) \end{aligned} $$

🧩 ทฤษฎีบทเศษเหลือ 🧩 Remainder Theorem

เครื่องมือสำหรับหาเศษเหลือจากการหารพหุนาม โดยไม่ต้องตั้งหารยาว โดยมี ความสัมพันธ์หลัก ดังนี้:

$$ {\color{#1565c0}P(x)} = (x - {\color{#e65100}c}){\color{#7b1fa2}Q(x)} + {\color{#2e7d32}R} \implies {\color{#2e7d32}R} = {\color{#1565c0}P({\color{#e65100}c})} $$

รูปของตัวหาร: จัดตัวหารให้อยู่ในรูป $x - {\color{#e65100}c}$ เพื่อหาค่าคงตัว ${\color{#e65100}c}$
การแทนค่า: นำค่า ${\color{#e65100}c}$ ที่ได้ไปแทนในพหุนามตัวตั้ง ${\color{#1565c0}P(x)}$ เพื่อคำนวณหาค่า ${\color{#1565c0}P({\color{#e65100}c})}$
ผลลัพธ์เศษเหลือ: ค่าที่คำนวณได้ ${\color{#2e7d32}R} = {\color{#1565c0}P({\color{#e65100}c})}$ คือ "เศษจากการหาร" ทันที โดยไม่ต้องตั้งหารยาว

ข้อสังเกต: ตัวหารต้องอยู่ในรูป $x - {\color{#e65100}c}$ เสมอ เช่น ถ้าตัวหารเป็น $x + 1$ จะได้ค่า ${\color{#e65100}c} = -1$

An essential tool to find the remainder of polynomial division without long division, based on the core relationship:

$$ {\color{#1565c0}P(x)} = (x - {\color{#e65100}c}){\color{#7b1fa2}Q(x)} + {\color{#2e7d32}R} \implies {\color{#2e7d32}R} = {\color{#1565c0}P({\color{#e65100}c})} $$

Divisor Form: Express the divisor as $x - {\color{#e65100}c}$ to identify constant ${\color{#e65100}c}$.
Substitution: Substitute ${\color{#e65100}c}$ into the dividend polynomial ${\color{#1565c0}P(x)}$ to evaluate ${\color{#1565c0}P({\color{#e65100}c})}$.
Remainder Result: The computed value ${\color{#2e7d32}R} = {\color{#1565c0}P({\color{#e65100}c})}$ is directly the remainder of the division.

Note: The divisor must always be in the form $x - {\color{#e65100}c}$; for instance, if the divisor is $x + 1$, then ${\color{#e65100}c} = -1$.

Example 5.1

จงหาเศษจากการหาร $P(x) = x^3 - 2x^2 + x + 5$ ด้วย $x - 1$

แทนค่า $c = 1$ ลงใน $P(x)$

$$ \begin{aligned} P(1) &= (1)^3 - 2(1)^2 + 1 + 5 \\ &= 1 - 2 + 1 + 5 \\ &= 5 \end{aligned} $$

ดังนั้น เศษจากการหารคือ 5

Find the remainder when $P(x) = x^3 - 2x^2 + x + 5$ is divided by $x - 1$

Substitute $c = 1$ into $P(x)$

$$ \begin{aligned} P(1) &= (1)^3 - 2(1)^2 + 1 + 5 \\ &= 1 - 2 + 1 + 5 \\ &= 5 \end{aligned} $$

Therefore, the remainder is 5.

Example 5.2

จงหาเศษจากการหาร $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1$ ด้วย $x + 2$

ตัวหารคือ $x - (-2)$ ดังนั้นแทนค่า $c = -2$

$$ \begin{aligned} P(-2) &= 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 4(-2) + 1 \\ &= 2(-8) + 3(4) + 8 + 1 \\ &= -16 + 12 + 8 + 1 \\ &= 5 \end{aligned} $$

ดังนั้น เศษจากการหารคือ 5

Find the remainder when $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1$ is divided by $x + 2$

The divisor is $x - (-2)$, so substitute $c = -2$.

$$ \begin{aligned} P(-2) &= 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 4(-2) + 1 \\ &= 2(-8) + 3(4) + 8 + 1 \\ &= -16 + 12 + 8 + 1 \\ &= 5 \end{aligned} $$

Therefore, the remainder is 5.

Example 5.3

จงหาเศษจากการหาร $P(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7$ ด้วย $x - 2$

แทนค่า $c = 2$ ลงใน $P(x)$

$$ \begin{aligned} P(2) &= 3(2)^4 - 5(2)^2 + 7 \\ &= 3(16) - 5(4) + 7 \\ &= 48 - 20 + 7 \\ &= 35 \end{aligned} $$

ดังนั้น เศษจากการหารคือ 35

Find the remainder when $P(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7$ is divided by $x - 2$

Substitute $c = 2$ into $P(x)$.

$$ \begin{aligned} P(2) &= 3(2)^4 - 5(2)^2 + 7 \\ &= 3(16) - 5(4) + 7 \\ &= 48 - 20 + 7 \\ &= 35 \end{aligned} $$

Therefore, the remainder is 35.

Example 5.4

จงหาเศษจากการหาร $P(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 3$ ด้วย $2x - 1$

จัดรูปตัวหาร $2x - 1 = 2(x - \frac{1}{2})$ ดังนั้นแทนค่า $c = \frac{1}{2}$

$$ \begin{aligned} P\left(\frac{1}{2}\right) &= 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 6\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right) - 3 \\ &= 4\left(\frac{1}{8}\right) - 6\left(\frac{1}{4}\right) + 1 - 3 \\ &= \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 - 3 \\ &= -1 + 1 - 3 \\ &= -3 \end{aligned} $$

ดังนั้น เศษจากการหารคือ $-3$

Find the remainder when $P(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 3$ is divided by $2x - 1$

Set $2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$, so substitute $c = \frac{1}{2}$.

Therefore, the remainder is $-3$.

Example 5.5

ถ้าหาร $P(x) = x^3 - 3x^2 + kx + 8$ ด้วย $x - 2$ แล้วเหลือเศษ $6$ จงหาค่า $k$

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ว่า $P(2) = 6$

$$ \begin{aligned} P(2) &= 6 \\ (2)^3 - 3(2)^2 + k(2) + 8 &= 6 \\ 8 - 12 + 2k + 8 &= 6 \\ 2k + 4 &= 6 \\ 2k &= 2 \\ k &= 1 \end{aligned} $$

ดังนั้น ค่า $k = 1$

If $P(x) = x^3 - 3x^2 + kx + 8$ is divided by $x - 2$ with a remainder of $6$, find $k$.

By the Remainder Theorem, $P(2) = 6$.

$$ \begin{aligned} P(2) &= 6 \\ (2)^3 - 3(2)^2 + k(2) + 8 &= 6 \\ 8 - 12 + 2k + 8 &= 6 \\ 2k + 4 &= 6 \\ 2k &= 2 \\ k &= 1 \end{aligned} $$

Therefore, $k = 1$.

Example 5.6

ถ้าพหุนาม $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ หารด้วย $x - 1$ เหลือเศษ $-8$ และหารด้วย $x + 2$ เหลือเศษ $4$ จงหาค่า $a$ และ $b$

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ $P(1) = -8$ และ $P(-2) = 4$

$$ \begin{aligned} P(1) &= -8 \\ (1)^3 + a(1)^2 + b(1) - 6 &= -8 \\ 1 + a + b - 6 &= -8 \\ a + b - 5 &= -8 \\ a + b &= -3 \quad \text{--- (1)} \\[8pt] P(-2) &= 4 \\ (-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) - 6 &= 4 \\ -8 + 4a - 2b - 6 &= 4 \\ 4a - 2b - 14 &= 4 \\ 4a - 2b &= 18 \\ 2a - b &= 9 \quad \text{--- (2)} \end{aligned} $$

นำ (1) + (2): ได้ $3a = 6 \implies a = 2$ และแทนใน (1) ได้ $b = -5$

If $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ leaves a remainder of $-8$ when divided by $x - 1$, and remainder $4$ when divided by $x + 2$, find $a$ and $b$.

By the Remainder Theorem, $P(1) = -8$ and $P(-2) = 4$.

Adding (1) + (2): yields $3a = 6 \implies a = 2$, and substituting gives $b = -5$.

Example 5.7

จงหาเศษจากการหาร $P(x) = x^{2026} + x^{100} - 3$ ด้วย $x + 1$

โจทย์ดีกรีสูงมาก ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือโดยแทนค่า $c = -1$

$$ \begin{aligned} P(-1) &= (-1)^{2026} + (-1)^{100} - 3 \\ &= 1 + 1 - 3 \\ &= -1 \end{aligned} $$

ดังนั้น เศษจากการหารคือ $-1$

Find the remainder when $P(x) = x^{2026} + x^{100} - 3$ is divided by $x + 1$

Very high degree polynomial: apply Remainder Theorem with $c = -1$.

$$ \begin{aligned} P(-1) &= (-1)^{2026} + (-1)^{100} - 3 \\ &= 1 + 1 - 3 \\ &= -1 \end{aligned} $$

Therefore, the remainder is $-1$.

🔍 ทฤษฎีบทตัวประกอบและการแยกตัวประกอบ 🔍 Factor Theorem & Factoring

การนำทฤษฎีบทตัวประกอบมาใช้ตรวจสอบและแยกตัวประกอบพหุนาม โดยมี ความสัมพันธ์หลัก ดังนี้:

$$ {\color{#1565c0}P({\color{#e65100}c})} = {\color{#2e7d32}0} \iff (x - {\color{#e65100}c}) \text{ เป็นตัวประกอบของ } {\color{#1565c0}P(x)} $$

เงื่อนไขการเป็นตัวประกอบ: พหุนาม $x - {\color{#e65100}c}$ จะเป็น "ตัวประกอบ" ของ ${\color{#1565c0}P(x)}$ ก็ต่อเมื่อแทนค่าแล้วได้เศษเหลือ ${\color{#1565c0}P({\color{#e65100}c})} = {\color{#2e7d32}0}$ (หารลงตัว)
การสุ่มหาค่า $c$: พิจารณาค่า ${\color{#e65100}c}$ จากตัวประกอบของพจน์คงตัว (พจน์สุดท้าย) ทั้งค่าบวกและค่าลบ เช่น $\pm 1, \pm 2, \dots$
การลดทอนดีกรี: เมื่อพบค่าที่ทำให้ ${\color{#1565c0}P({\color{#e65100}c})} = {\color{#2e7d32}0}$ ให้นำ $x - {\color{#e65100}c}$ ไปหารเพื่อลดรูปเป็นดีกรีสอง แล้วแยกตัวประกอบต่อ

ข้อสังเกต: เมื่อได้ตัวประกอบแรก $x - {\color{#e65100}c}$ ให้นำไปหารสังเคราะห์หรือหารยาวเพื่อหาผลหารพหุนามกำลังสองทันที

Using the Factor Theorem to test roots and factor polynomials, based on the core relationship:

$$ {\color{#1565c0}P({\color{#e65100}c})} = {\color{#2e7d32}0} \iff (x - {\color{#e65100}c}) \text{ is a factor of } {\color{#1565c0}P(x)} $$

Factor Condition: The polynomial $x - {\color{#e65100}c}$ is a factor of ${\color{#1565c0}P(x)}$ if and only if ${\color{#1565c0}P({\color{#e65100}c})} = {\color{#2e7d32}0}$ (zero remainder / divides evenly).
Testing Candidates $c$: Test candidate roots ${\color{#e65100}c}$ from factors of the constant term (both positive and negative), e.g., $\pm 1, \pm 2, \dots$
Degree Reduction: Once a root with ${\color{#1565c0}P({\color{#e65100}c})} = {\color{#2e7d32}0}$ is found, divide by $x - {\color{#e65100}c}$ to obtain a quadratic factor.

Note: Once a linear factor $x - {\color{#e65100}c}$ is confirmed, divide immediately using synthetic or long division to find the quadratic quotient.

Example 6.1

จงตรวจสอบว่า $x - 2$ เป็นตัวประกอบของ $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ หรือไม่

$$ \begin{aligned} P(2) &= (2)^3 - 4(2)^2 + 2 + 6 \\ &= 8 - 16 + 2 + 6 \\ &= 0 \end{aligned} $$

เนื่องจาก $P(2) = 0$ สรุปได้ว่า $x - 2$ เป็นตัวประกอบ

Check if $x - 2$ is a factor of $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$

$$ \begin{aligned} P(2) &= (2)^3 - 4(2)^2 + 2 + 6 \\ &= 8 - 16 + 2 + 6 \\ &= 0 \end{aligned} $$

Since $P(2) = 0$, $x - 2$ is a factor.

Example 6.2

จงหาค่า $k$ ที่ทำให้ $x - 1$ หาร $x^3 + kx^2 - 2x + 1$ ลงตัว

$$ \begin{aligned} P(1) &= 0 \\ (1)^3 + k(1)^2 - 2(1) + 1 &= 0 \\ 1 + k - 2 + 1 &= 0 \\ k &= 0 \end{aligned} $$

Find the value of $k$ such that $x - 1$ divides $x^3 + kx^2 - 2x + 1$ exactly.

$$ \begin{aligned} P(1) &= 0 \\ (1)^3 + k(1)^2 - 2(1) + 1 &= 0 \\ 1 + k - 2 + 1 &= 0 \\ k &= 0 \end{aligned} $$

Example 6.3

จงแยกตัวประกอบของ $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ อย่างสมบูรณ์

สุ่มหาค่า $c$ ที่ $P(c) = 0$ พบว่า $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ แสดงว่า $x-1$ เป็นตัวประกอบ นำไปหารยาวหรือหารสังเคราะห์จะได้ผลลัพธ์คือ $x^2 - 5x + 6$

$$ \begin{aligned} x^3 - 6x^2 + 11x - 6 &= (x - 1)(x^2 - 5x + 6) \\ &= (x - 1)(x - 2)(x - 3) \end{aligned} $$

Factor completely: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

Test for roots. $P(1) = 0$, so $x-1$ is a factor. Dividing yields $x^2 - 5x + 6$.

$$ \begin{aligned} x^3 - 6x^2 + 11x - 6 &= (x - 1)(x^2 - 5x + 6) \\ &= (x - 1)(x - 2)(x - 3) \end{aligned} $$

Example 6.4

จงแยกตัวประกอบของ $x^3 + 2x^2 - x - 2$

สุ่ม $c = 1$, $P(1) = 1 + 2 - 1 - 2 = 0$, ได้ $x-1$ เป็นตัวประกอบ

$$ \begin{aligned} x^3 + 2x^2 - x - 2 &= (x - 1)(x^2 + 3x + 2) \\ &= (x - 1)(x + 1)(x + 2) \end{aligned} $$

Factor $x^3 + 2x^2 - x - 2$

Test $c = 1$, $P(1) = 0$, so $x-1$ is a factor.

$$ \begin{aligned} x^3 + 2x^2 - x - 2 &= (x - 1)(x^2 + 3x + 2) \\ &= (x - 1)(x + 1)(x + 2) \end{aligned} $$

Example 6.5

จงแยกตัวประกอบของ $x^3 - 7x - 6$

สุ่ม $c = -1$, $P(-1) = -1 + 7 - 6 = 0$, ได้ $x+1$ เป็นตัวประกอบ

$$ \begin{aligned} x^3 - 7x - 6 &= (x + 1)(x^2 - x - 6) \\ &= (x + 1)(x - 3)(x + 2) \end{aligned} $$

Factor $x^3 - 7x - 6$

Test $c = -1$, $P(-1) = 0$, so $x+1$ is a factor.

$$ \begin{aligned} x^3 - 7x - 6 &= (x + 1)(x^2 - x - 6) \\ &= (x + 1)(x - 3)(x + 2) \end{aligned} $$

Example 6.6

จงแยกตัวประกอบของ $2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$

ทดสอบค่า $c = 1$: $P(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 8(1) + 3 = 0$ แสดงว่า $x - 1$ เป็นตัวประกอบ

$$ \begin{aligned} 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 &= (x - 1)(2x^2 + 5x - 3) \\ &= (x - 1)(2x - 1)(x + 3) \end{aligned} $$

Factor $2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$

Test $c = 1$: $P(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 8(1) + 3 = 0$, so $x - 1$ is a factor.

$$ \begin{aligned} 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3 &= (x - 1)(2x^2 + 5x - 3) \\ &= (x - 1)(2x - 1)(x + 3) \end{aligned} $$

Example 6.7

จงหาค่า $m$ ที่ทำให้ $x + 3$ เป็นตัวประกอบของ $x^3 + 2x^2 - 5x + m$

จากทฤษฎีบทตัวประกอบ $x + 3$ เป็นตัวประกอบเมื่อ $P(-3) = 0$

$$ \begin{aligned} P(-3) &= 0 \\ (-3)^3 + 2(-3)^2 - 5(-3) + m &= 0 \\ -27 + 2(9) + 15 + m &= 0 \\ -27 + 18 + 15 + m &= 0 \\ 6 + m &= 0 \\ m &= -6 \end{aligned} $$

ดังนั้น ค่า $m = -6$

Find the value of $m$ such that $x + 3$ is a factor of $x^3 + 2x^2 - 5x + m$

By the Factor Theorem, $x + 3$ is a factor when $P(-3) = 0$.

$$ \begin{aligned} P(-3) &= 0 \\ (-3)^3 + 2(-3)^2 - 5(-3) + m &= 0 \\ -27 + 2(9) + 15 + m &= 0 \\ -27 + 18 + 15 + m &= 0 \\ 6 + m &= 0 \\ m &= -6 \end{aligned} $$

Therefore, $m = -6$.

⚡ การหารสังเคราะห์ ⚡ Synthetic Division

เทคนิคการหารพหุนามแบบรวดเร็วโดยใช้เฉพาะสัมประสิทธิ์ โดยมี ผังการตั้งหารสังเคราะห์ ดังนี้:

การตั้งหาร: นำสัมประสิทธิ์ของพหุนามตัวตั้ง ${\color{#1565c0}a_n, a_{n-1}, \dots}$ มาเรียงจากดีกรีสูงสุดไปต่ำสุด (พจน์ที่หายไปให้ใส่ $0$) และวางตัวหาร ${\color{#e65100}c}$ ไว้ด้านหน้า
ขั้นตอนการคำนวณ: ดึงตัวเลขแรกลงมา จากนั้นนำ ${\color{#e65100}c}$ มาคูณตัวเลขล่างสุดแล้วส่งไปบวกกับสัมประสิทธิ์ในหลักถัดไป ทำซ้ำจนครบทุกหลัก
ผลลัพธ์: ตัวเลขแถวล่างสุดคือสัมประสิทธิ์ของพหุนามผลหาร ${\color{#7b1fa2}Q(x)}$ (ดีกรีลดลง $1$) และตัวเลขสุดท้ายคือเศษเหลือ ${\color{#2e7d32}R}$

ข้อสังเกต: การหารสังเคราะห์ใช้ได้สะดวกที่สุดเมื่อตัวหารอยู่ในรูปดีกรีหนึ่ง $x - {\color{#e65100}c}$

A fast shorthand method for dividing polynomials using coefficients only, based on the synthetic division layout:

Setup: Write the dividend coefficients ${\color{#1565c0}a_n, a_{n-1}, \dots}$ in descending order of degree (use $0$ for missing terms) with root ${\color{#e65100}c}$ on the left.
Procedure: Bring down the first coefficient, multiply by ${\color{#e65100}c}$, add to the next column, and repeat for all columns.
Result: Bottom row numbers give the coefficients of quotient polynomial ${\color{#7b1fa2}Q(x)}$ (one degree lower), and the last number is remainder ${\color{#2e7d32}R}$.

Note: Synthetic division is most convenient when the divisor is a linear binomial $x - {\color{#e65100}c}$.

Example 7.1

จงใช้การหารสังเคราะห์เพื่อหาผลหารเมื่อ $2x^3 - 5x^2 - 4x + 3$ หารด้วย $x - 3$

ตัวหารคือ $x - 3 \implies {\color{#e65100}c = 3}$ และสัมประสิทธิ์ตัวตั้งคือ ${\color{#1565c0}2, -5, -4, 3}$

สรุปผลลัพธ์:
• สัมประสิทธิ์ของผลหารคือ ${\color{#7b1fa2}2, 1, -1}$ จึงได้พหุนามผลหาร $Q(x) = {\color{#7b1fa2}2x^2 + x - 1}$
• เศษเหลือคือ ${\color{#2e7d32}R = 0}$ แสดงว่าหารลงตัว พอดี

Use synthetic division to divide $2x^3 - 5x^2 - 4x + 3$ by $x - 3$

Divisor is $x - 3 \implies {\color{#e65100}c = 3}$ and dividend coefficients are ${\color{#1565c0}2, -5, -4, 3}$

Conclusion:
• The quotient coefficients are ${\color{#7b1fa2}2, 1, -1}$, giving the quotient polynomial $Q(x) = {\color{#7b1fa2}2x^2 + x - 1}$
• The remainder is ${\color{#2e7d32}R = 0}$, meaning it divides evenly.

Example 7.2

จงใช้การหารสังเคราะห์เพื่อหาผลหารและเศษเหลือเมื่อ $x^3 - 4x^2 + x + 6$ หารด้วย $x + 2$

ตัวหารอยู่ในรูป $x - c = x - (-2) \implies {\color{#e65100}c = -2}$ และสัมประสิทธิ์คือ ${\color{#1565c0}1, -4, 1, 6}$

สรุปผลลัพธ์:
• ผลหารคือ $Q(x) = {\color{#7b1fa2}x^2 - 6x + 13}$
• เศษเหลือคือ ${\color{#c62828}R = -20}$ (หารไม่ลงตัว)

Use synthetic division to find the quotient and remainder when dividing $x^3 - 4x^2 + x + 6$ by $x + 2$

Divisor is $x + 2 = x - (-2) \implies {\color{#e65100}c = -2}$ and coefficients are ${\color{#1565c0}1, -4, 1, 6}$

Conclusion:
• The quotient is $Q(x) = {\color{#7b1fa2}x^2 - 6x + 13}$
• The remainder is ${\color{#c62828}R = -20}$ (not evenly divisible)

Example 7.3

จงใช้การหารสังเคราะห์เพื่อหาผลหารเมื่อ $x^3 - 7x - 6$ หารด้วย $x - 3$ (ระวัง: ไม่มีพจน์ $x^2$)

จัดรูปพหุนามโดยเติม $0$ ในพจน์ที่หายไป: $x^3 + {\color{#d32f2f}0x^2} - 7x - 6$ ดังนั้นสัมประสิทธิ์คือ ${\color{#1565c0}1, 0, -7, -6}$ และ ${\color{#e65100}c = 3}$

สรุปผลลัพธ์:
• ผลหารคือ $Q(x) = {\color{#7b1fa2}x^2 + 3x + 2}$
• เศษเหลือคือ ${\color{#2e7d32}R = 0}$ แสดงว่า $x - 3$ เป็นตัวประกอบของ $x^3 - 7x - 6$

Use synthetic division to divide $x^3 - 7x - 6$ by $x - 3$ (Notice: missing $x^2$ term)

Rewrite with $0$ for missing power: $x^3 + {\color{#d32f2f}0x^2} - 7x - 6$. Hence coefficients are ${\color{#1565c0}1, 0, -7, -6}$ and ${\color{#e65100}c = 3}$.

Conclusion:
• The quotient is $Q(x) = {\color{#7b1fa2}x^2 + 3x + 2}$
• The remainder is ${\color{#2e7d32}R = 0}$, proving $x - 3$ is a factor.

Example 7.4

จงใช้การหารสังเคราะห์เพื่อหาผลหารเมื่อ $x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ หารด้วย $x - 2$

ตัวหารคือ $x - 2 \implies {\color{#e65100}c = 2}$ และสัมประสิทธิ์ตัวตั้งดีกรี 4 คือ ${\color{#1565c0}1, -2, -7, 8, 12}$

สรุปผลลัพธ์:
• ผลหารดีกรีลดลงเหลือดีกรี 3 คือ $Q(x) = {\color{#7b1fa2}1x^3 + 0x^2 - 7x - 6 = x^3 - 7x - 6}$
• เศษเหลือคือ ${\color{#2e7d32}R = 0}$

Use synthetic division to divide $x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ by $x - 2$

Divisor is $x - 2 \implies {\color{#e65100}c = 2}$ and degree 4 coefficients are ${\color{#1565c0}1, -2, -7, 8, 12}$

Conclusion:
• The degree decreases by 1, yielding quotient $Q(x) = {\color{#7b1fa2}x^3 - 7x - 6}$
• The remainder is ${\color{#2e7d32}R = 0}$

Example 7.5

จงใช้การหารสังเคราะห์เพื่อหาผลหารเมื่อ $2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ หารด้วย $2x - 1$ (กรณี $ax - b$)

1. แปลงตัวหารให้สัมประสิทธิ์หน้า $x$ เป็น $1$: $2x - 1 = 2(x - \frac{1}{2}) \implies {\color{#e65100}c = \frac{1}{2}}$
2. หารสังเคราะห์ด้วย ${\color{#e65100}c = \frac{1}{2}}$ ก่อน จากนั้น ต้องนำสัมประสิทธิ์ผลหารแถวล่างมาหารด้วย $2$ (เศษเหลือไม่ต้องหาร)

สรุปผลลัพธ์:
• เมื่อนำแถวล่างมาหารด้วย $2$ จะได้สัมประสิทธิ์จริงคือ ${\color{#7b1fa2}1, 2, -3}$
• ดังนั้น พหุนามผลหารจริงคือ $Q(x) = {\color{#7b1fa2}x^2 + 2x - 3}$ และเศษเหลือ ${\color{#2e7d32}R = 0}$

Use synthetic division to divide $2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ by $2x - 1$ (Case $ax - b$)

1. Convert to monic linear factor: $2x - 1 = 2(x - \frac{1}{2}) \implies {\color{#e65100}c = \frac{1}{2}}$
2. Divide synthetically by ${\color{#e65100}c = \frac{1}{2}}$, then divide the bottom quotient row by $2$ (do not divide the remainder).

Conclusion:
• Dividing the bottom row coefficients by $2$ gives ${\color{#7b1fa2}1, 2, -3}$
• Thus, actual quotient polynomial is $Q(x) = {\color{#7b1fa2}x^2 + 2x - 3}$ and remainder ${\color{#2e7d32}R = 0}$

Example 7.6

จงแยกตัวประกอบของพหุนาม $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ ให้สมบูรณ์โดยใช้การหารสังเคราะห์

1. ทดลองหาค่า $c$ จากตัวประกอบของ $-6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$
2. ทดสอบ $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ แสดงว่ามีตัวประกอบคือ $x - 1 \implies {\color{#e65100}c = 1}$

สรุปผลลัพธ์:
• จากการหารสังเคราะห์ได้ $P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$
• แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสองต่อ: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
• คำตอบสมบูรณ์: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = {\color{#2e7d32}(x - 1)(x - 2)(x - 3)}$

Completely factor $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ using synthetic division

1. Test divisors of $-6$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$
2. Since $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$, $x - 1$ is a factor $\implies {\color{#e65100}c = 1}$

Conclusion:
• From synthetic division: $P(x) = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$
• Factor the resulting quadratic: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$
• Complete Factorization: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = {\color{#2e7d32}(x - 1)(x - 2)(x - 3)}$

Example 7.7

ถ้าการนำ $x - 2$ ไปหาร $x^3 - 4x^2 + kx + 10$ มีเศษเหลือเท่ากับ $4$ จงหาค่าของ $k$ โดยใช้การหารสังเคราะห์

ตัวหารคือ $x - 2 \implies {\color{#e65100}c = 2}$ โดยมีเศษเหลือช่องสุดท้าย $R = {\color{#2e7d32}4}$

ขั้นตอนการแก้สมการหา $k$:
1. จากหลักสุดท้ายในผังการหารสังเคราะห์: สัมประสิทธิ์ $10$ บวกกับ $(2k - 8)$ จะต้องเท่ากับเศษเหลือ $4$
$$10 + (2k - 8) = 4$$ $$2k + 2 = 4$$ $$2k = 2 \implies {\color{#2e7d32}k = 1}$$ คำตอบ: ค่าของ $k$ คือ ${\color{#2e7d32}1}$

If dividing $x^3 - 4x^2 + kx + 10$ by $x - 2$ leaves a remainder of $4$, find the value of $k$ using synthetic division

Divisor is $x - 2 \implies {\color{#e65100}c = 2}$ and remainder box equals ${\color{#2e7d32}4}$

Solving for $k$:
1. From the final column in the synthetic division layout: coefficient $10$ plus $(2k - 8)$ must equal remainder $4$
$$10 + (2k - 8) = 4$$ $$2k + 2 = 4$$ $$2k = 2 \implies {\color{#2e7d32}k = 1}$$ Answer: The value of $k$ is ${\color{#2e7d32}1}$

Example 7.8

จงแยกตัวประกอบของ $P(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ โดยใช้การหารสังเคราะห์ 2 ครั้ง ต่อเนื่องกัน

1. ตัวประกอบที่เป็นไปได้ของ $12$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$
2. ทดสอบ $P(-1) = 1 + 2 - 7 - 8 + 12 = 0 \implies {\color{#e65100}c_1 = -1}$ (ตัวประกอบแรกคือ $x + 1$)
3. จากผลหารดีกรี 3 ที่ได้ ทดสอบต่อพบว่าที่ ${\color{#0284c7}c_2 = 2}$ ทำให้เศษเป็น $0$ (ตัวประกอบที่สองคือ $x - 2$)

สรุปขั้นตอนการแยกตัวประกอบ:
• หารสังเคราะห์รอบที่ 1 ได้ตัวประกอบแรกคือ $(x - (-1)) = {\color{#e65100}(x + 1)}$ เหลือผลหาร $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$
• หารสังเคราะห์รอบที่ 2 ต่อเนื่องทันที ได้ตัวประกอบที่สองคือ ${\color{#0284c7}(x - 2)}$ เหลือผลหารกำลังสองคือ ${\color{#1565c0}x^2 - x - 6}$
• แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสองต่อ: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$
• คำตอบสมบูรณ์: $x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12 = {\color{#2e7d32}(x + 1)(x - 2)(x - 3)(x + 2)}$

Completely factor $P(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ using two successive synthetic divisions.

1. Potential rational roots from factors of $12$: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$
2. Test $P(-1) = 0 \implies {\color{#e65100}c_1 = -1}$ (giving factor $x + 1$)
3. Continue dividing the resulting degree 3 quotient with ${\color{#0284c7}c_2 = 2}$ (giving factor $x - 2$)

Factoring Summary:
• First synthetic division yields factor $(x - (-1)) = {\color{#e65100}(x + 1)}$ and quotient $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$.
• Immediately apply second synthetic division yielding factor ${\color{#0284c7}(x - 2)}$ and quadratic ${\color{#1565c0}x^2 - x - 6}$.
• Factor the quadratic directly: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.
• Complete Factorization: $x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12 = {\color{#2e7d32}(x + 1)(x - 2)(x - 3)(x + 2)}$.

Example 7.9

จงแยกตัวประกอบของ $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ โดยใช้การหารสังเคราะห์ 2 ครั้ง (ระวังพจน์กำลังคี่ที่หายไป เติม $0$)

1. เขียนรูปเต็ม: $x^4 + {\color{#d32f2f}0x^3} - 5x^2 + {\color{#d32f2f}0x} + 4$ สัมประสิทธิ์คือ ${\color{#1565c0}1, 0, -5, 0, 4}$
2. ผลรวมสัมประสิทธิ์ $1 + 0 - 5 + 0 + 4 = 0 \implies {\color{#e65100}c_1 = 1}$ (มีตัวประกอบ $x - 1$)
3. จากผลหารที่ได้ นำมาหารต่อด้วย ${\color{#0284c7}c_2 = -1}$ (มีตัวประกอบ $x + 1$)

สรุปขั้นตอนการแยกตัวประกอบ:
• หารรอบที่ 1 ด้วย $c_1 = 1$ ได้ตัวประกอบ ${\color{#e65100}(x - 1)}$ เหลือผลหาร $x^3 + x^2 - 4x - 4$
• หารรอบที่ 2 ด้วย $c_2 = -1$ ได้ตัวประกอบ ${\color{#0284c7}(x + 1)}$ เหลือพหุนามกำลังสอง ${\color{#1565c0}x^2 - 4}$
• แยกตัวประกอบผลต่างกำลังสองต่อ: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
• คำตอบสมบูรณ์: $x^4 - 5x^2 + 4 = {\color{#2e7d32}(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)}$

Completely factor $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ using two successive synthetic divisions (Notice: insert $0$ for missing odd powers)

1. Full form: $x^4 + {\color{#d32f2f}0x^3} - 5x^2 + {\color{#d32f2f}0x} + 4$, coefficients are ${\color{#1565c0}1, 0, -5, 0, 4}$
2. Sum of coefficients is $0 \implies {\color{#e65100}c_1 = 1}$ (giving factor $x - 1$)
3. Divide the intermediate quotient by ${\color{#0284c7}c_2 = -1}$ (giving factor $x + 1$)

Factoring Summary:
• First synthetic division by $c_1 = 1$ gives factor ${\color{#e65100}(x - 1)}$ and quotient $x^3 + x^2 - 4x - 4$.
• Second synthetic division by $c_2 = -1$ gives factor ${\color{#0284c7}(x + 1)}$ and quadratic ${\color{#1565c0}x^2 - 4}$.
• Factor difference of two squares: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
• Complete Factorization: $x^4 - 5x^2 + 4 = {\color{#2e7d32}(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)}$.

Example 7.10

จงแยกตัวประกอบของ $P(x) = 2x^4 - x^3 - 7x^2 + 3x + 3$ โดยใช้การหารสังเคราะห์ 2 ครั้ง (สัมประสิทธิ์นำ $a_n = 2$)

1. รากที่เป็นไปได้ $\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$
2. ทดสอบ $P(1) = 2 - 1 - 7 + 3 + 3 = 0 \implies {\color{#e65100}c_1 = 1}$ (ตัวประกอบแรกคือ $x - 1$)
3. จากผลหาร $2x^3 + x^2 - 6x - 3$ ทดสอบต่อพบว่า ${\color{#0284c7}c_2 = -\frac{1}{2}}$ ทำให้เศษเหลือเป็น $0$ (ตัวประกอบคือ $2x + 1$)

สรุปขั้นตอนการแยกตัวประกอบ:
• หารรอบที่ 1 ด้วย $c_1 = 1$ ได้พหุนามแยกออกมาเป็น $(x - 1)(2x^3 + x^2 - 6x - 3)$
• หารรอบที่ 2 ด้วย $c_2 = -\frac{1}{2}$ ได้ผลหารกำลังสองคือ $2x^2 + 0x - 6 = 2x^2 - 6$
• นำตัวประกอบมารวมกัน: $(x - 1)\left(x + \frac{1}{2}\right)(2x^2 - 6) = (x - 1)\left(2x + 1\right)(x^2 - 3)$
• แยกตัวประกอบในระบบจำนวนจริง: $x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$
• คำตอบสมบูรณ์: $2x^4 - x^3 - 7x^2 + 3x + 3 = {\color{#2e7d32}(x - 1)(2x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})}$ (หรือ $(x - 1)(2x + 1)(x^2 - 3)$ บนจำนวนตรรกยะ)

Completely factor $P(x) = 2x^4 - x^3 - 7x^2 + 3x + 3$ using two successive synthetic divisions (Leading coefficient $a_n = 2$)

1. Possible rational roots $\frac{p}{q} \in \{\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}\}$
2. Test $P(1) = 0 \implies {\color{#e65100}c_1 = 1}$ (giving factor $x - 1$)
3. Continue dividing $2x^3 + x^2 - 6x - 3$ by ${\color{#0284c7}c_2 = -\frac{1}{2}}$ (giving factor $2x + 1$)

Factoring Summary:
• First synthetic division by $c_1 = 1$ factors out $(x - 1)$, leaving $2x^3 + x^2 - 6x - 3$.
• Second synthetic division by $c_2 = -\frac{1}{2}$ factors into $(x + \frac{1}{2})(2x^2 - 6) = (2x + 1)(x^2 - 3)$.
• Over real numbers, factor $x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$.
• Complete Factorization: $2x^4 - x^3 - 7x^2 + 3x + 3 = {\color{#2e7d32}(x - 1)(2x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})}$.

🎯 การแก้สมการพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง 🎯 Solving Higher Degree Equations

หลักการแก้สมการพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง โดยอาศัย สมบัติผลคูณเป็นศูนย์ (Zero Product Property) ดังนี้:

$$ {\color{#1565c0}P(x)} = (x - {\color{#e65100}c_1})(x - {\color{#e65100}c_2})\dots(x - {\color{#e65100}c_n}) = {\color{#2e7d32}0} \iff x \in \{{\color{#e65100}c_1, c_2, \dots, c_n}\} $$

การจัดรูปสมการ: ย้ายพจน์ทั้งหมดมาไว้ฝั่งเดียวกันเพื่อให้สมการอีกฝั่งเป็นศูนย์ ในรูป ${\color{#1565c0}P(x)} = {\color{#2e7d32}0}$
การแยกตัวประกอบ: ใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบร่วมกับการหารสังเคราะห์เพื่อแยกตัวประกอบให้อยู่ในรูปผลคูณของพหุนามดีกรีหนึ่ง หรือพหุนามกำลังสองที่แยกต่อไม่ได้
การสรุปคำตอบ: ถ้าผลคูณเท่ากับศูนย์ แต่ละวงเล็บจะต้องเท่ากับศูนย์ นั่นคือ $x - {\color{#e65100}c} = 0 \implies x = {\color{#e65100}c}$

ข้อสังเกต: สมการพหุนามดีกรี $n$ จะมีจำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนจริงได้สูงสุดไม่เกิน $n$ คำตอบ และควรนำคำตอบกลับไปตรวจสอบความถูกต้องในสมการเริ่มต้นเสมอ

Principles for solving higher-degree polynomial equations using the Zero Product Property:

$$ {\color{#1565c0}P(x)} = (x - {\color{#e65100}c_1})(x - {\color{#e65100}c_2})\dots(x - {\color{#e65100}c_n}) = {\color{#2e7d32}0} \iff x \in \{{\color{#e65100}c_1, c_2, \dots, c_n}\} $$

Equation Setup: Move all terms to one side so the equation is in the form ${\color{#1565c0}P(x)} = {\color{#2e7d32}0}$.
Factoring: Use the Factor Theorem and synthetic division to factor into linear factors or irreducible quadratics.
Solving Roots: By the zero product property, set each factor to zero: $x - {\color{#e65100}c} = 0 \implies x = {\color{#e65100}c}$.

Note: A polynomial equation of degree $n$ has at most $n$ real solutions. Always verify solutions by substituting back into the original equation.

Example 8.1

จงหาเซตคำตอบของสมการ $x^3 - 4x = 0$

$$ \begin{aligned} x(x^2 - 4) &= 0 \\ x(x - 2)(x + 2) &= 0 \\ x &= 0, 2, -2 \end{aligned} $$

Find the solution set of $x^3 - 4x = 0$

$$ \begin{aligned} x(x^2 - 4) &= 0 \\ x(x - 2)(x + 2) &= 0 \\ x &= 0, 2, -2 \end{aligned} $$

Example 8.2

จงหาเซตคำตอบของสมการ $x^3 - 8 = 0$

$$ \begin{aligned} (x - 2)(x^2 + 2x + 4) &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned} $$

หมายเหตุ: พจน์ $x^2 + 2x + 4 = 0$ ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง

Find the solution set of $x^3 - 8 = 0$

$$ \begin{aligned} (x - 2)(x^2 + 2x + 4) &= 0 \\ x &= 2 \end{aligned} $$

Note: $x^2 + 2x + 4 = 0$ has no real solutions.

Example 8.3

จงหาเซตคำตอบของสมการ $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

$$ \begin{aligned} (x^2 - 4)(x^2 - 1) &= 0 \\ (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x &= 2, -2, 1, -1 \end{aligned} $$

Find the solution set of $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

$$ \begin{aligned} (x^2 - 4)(x^2 - 1) &= 0 \\ (x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x &= 2, -2, 1, -1 \end{aligned} $$

Example 8.4

จงหาเซตคำตอบของสมการ $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2(x - 3) - 4(x - 3) &= 0 \\ (x - 3)(x^2 - 4) &= 0 \\ (x - 3)(x - 2)(x + 2) &= 0 \\ x &= 3, 2, -2 \end{aligned} $$

Find the solution set of $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2(x - 3) - 4(x - 3) &= 0 \\ (x - 3)(x^2 - 4) &= 0 \\ (x - 3)(x - 2)(x + 2) &= 0 \\ x &= 3, 2, -2 \end{aligned} $$

Example 8.5

จงหาเซตคำตอบของสมการ $x^3 + x^2 - x - 1 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2(x + 1) - 1(x + 1) &= 0 \\ (x + 1)(x^2 - 1) &= 0 \\ (x + 1)(x - 1)(x + 1) &= 0 \\ (x + 1)^2(x - 1) &= 0 \\ x &= -1, 1 \end{aligned} $$

Find the solution set of $x^3 + x^2 - x - 1 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2(x + 1) - 1(x + 1) &= 0 \\ (x + 1)(x^2 - 1) &= 0 \\ (x + 1)(x - 1)(x + 1) &= 0 \\ (x + 1)^2(x - 1) &= 0 \\ x &= -1, 1 \end{aligned} $$

Example 8.6

จงหาเซตคำตอบของสมการ $2x^3 - 5x^2 - 4x + 3 = 0$

จากตัวอย่าง 7.1 เราทราบแล้วว่า $x=3$ เป็นคำตอบหนึ่ง

$$ \begin{aligned} (x - 3)(2x^2 + x - 1) &= 0 \\ (x - 3)(2x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x &= 3, \frac{1}{2}, -1 \end{aligned} $$

Find the solution set of $2x^3 - 5x^2 - 4x + 3 = 0$

From Example 7.1, we know $x=3$ is one root.

$$ \begin{aligned} (x - 3)(2x^2 + x - 1) &= 0 \\ (x - 3)(2x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x &= 3, \frac{1}{2}, -1 \end{aligned} $$

Example 8.7

จงหาเซตคำตอบของสมการ $(x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0$

$$ \begin{aligned} (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) &= 0 \\ x &= 1, -1, 2, -2 \end{aligned} $$

Find the solution set of $(x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0$

$$ \begin{aligned} (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) &= 0 \\ x &= 1, -1, 2, -2 \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Polynomial	poly- (many) + nomen (name/term)	พหุนาม · นิพจน์ที่ประกอบขึ้นจากหลายพจน์นำมาบวกหรือลบกัน
Degree	de- (down) + gradus (step)	ดีกรี · ค่ากำลังสูงสุดของตัวแปรในพหุนาม
Factor	facere (to make, to do)	ตัวประกอบ · จำนวนหรือนิพจน์ที่สามารถนำไปหารพหุนามได้ลงตัว
Cube	cubus (dice, cube)	กำลังสาม · การคูณจำนวนเดียวกันซ้ำสามครั้ง (รูปทรงลูกบาศก์)
Substitution	sub- (under) + statuere (set up)	การแทนที่ / เปลี่ยนตัวแปร · เทคนิคการใช้ตัวแปรอื่นแทนพจน์ที่ซับซ้อน
Grouping	gruppo (Italian: knot, cluster)	การจัดหมู่ · การจับคู่พจน์เข้าด้วยกันเพื่อดึงตัวร่วมออกมา
Remainder	re- (back) + manere (to stay)	เศษเหลือ · ส่วนที่เหลือจากการหารที่ไม่ลงตัว
Synthetic Division	syn- (together) + tithenai (to place)	การหารสังเคราะห์ · วิธีลัดในการหารพหุนามโดยใช้เพียงสัมประสิทธิ์
Equation	aequare (to make equal)	สมการ · ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับเพื่อหาค่าตัวแปร