สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

สมการกำลังสองตัวแปรเดียว คือประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และมีดีกรีสูงสุด (เลขชี้กำลังสูงสุด) ของตัวแปรเท่ากับ 2 โดยสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ได้อย่างหลากหลาย

A Quadratic Equation in One Variable is a mathematical sentence containing a single variable with the highest degree (exponent) of 2. It is widely applied in solving geometric and physical problems.

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับสมการกำลังสอง Introduction to Quadratic Equations

รูปทั่วไป: สมการกำลังสองตัวแปรเดียวสามารถเขียนให้อยู่ในรูปมาตรฐานได้คือ:

$$ \textcolor{#e65100}{a}\textcolor{#1565c0}{x}^{\textcolor{#8e24aa}{2}} + \textcolor{#e65100}{b}\textcolor{#1565c0}{x} + \textcolor{#e65100}{c} = 0 $$

$x$ เป็นตัวแปร
$a, b, c$ เป็นค่าคงตัว (จำนวนจริงใดๆ)
เงื่อนไขสำคัญ: $a \neq 0$ (เพราะถ้า $a=0$ จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น)

คำตอบของสมการ (Roots of Equation): จำนวนจริงที่นำไปแทนค่าตัวแปร $x$ แล้วทำให้สมการเป็นจริง ซึ่งสมการกำลังสองจะมีคำตอบได้สูงสุด 2 คำตอบ

Standard Form: A quadratic equation in one variable can be written in the standard form:

$$ \textcolor{#e65100}{a}\textcolor{#1565c0}{x}^{\textcolor{#8e24aa}{2}} + \textcolor{#e65100}{b}\textcolor{#1565c0}{x} + \textcolor{#e65100}{c} = 0 $$

$x$ is the variable
$a, b, c$ are constants (any real numbers)
Important Condition: $a \neq 0$ (because if $a=0$, it becomes a linear equation)

Roots of Equation: Real numbers that, when substituted for $x$, make the equation true. A quadratic equation can have a maximum of 2 roots.

Example 1.1

$\text{จงระบุค่า } a, b, c \text{ ของสมการ } 3x^2 + 5x - 7 = 0$

$$ \begin{aligned} a &= 3 \\ b &= 5 \\ c &= -7 \end{aligned} $$

$\text{Identify } a, b, c \text{ for the equation } 3x^2 + 5x - 7 = 0$

$$ \begin{aligned} a &= 3 \\ b &= 5 \\ c &= -7 \end{aligned} $$

Example 1.2

$\text{จงระบุค่า } a, b, c \text{ ของสมการ } -x^2 + 4x = 0$

$$ \begin{aligned} a &= -1 \\ b &= 4 \\ c &= 0 \quad \text{(ไม่มีพจน์ค่าคงตัว)} \end{aligned} $$

$\text{Identify } a, b, c \text{ for the equation } -x^2 + 4x = 0$

$$ \begin{aligned} a &= -1 \\ b &= 4 \\ c &= 0 \quad \text{(No constant term)} \end{aligned} $$

Example 1.3

$\text{จงระบุค่า } a, b, c \text{ ของสมการ } 2x^2 - 9 = 0$

$$ \begin{aligned} a &= 2 \\ b &= 0 \quad \text{(ไม่มีพจน์ } x \text{)} \\ c &= -9 \end{aligned} $$

$\text{Identify } a, b, c \text{ for the equation } 2x^2 - 9 = 0$

$$ \begin{aligned} a &= 2 \\ b &= 0 \quad \text{(No } x \text{ term)} \\ c &= -9 \end{aligned} $$

Example 1.4

$\text{จงจัดรูปสมการ } x^2 = 5x - 6 \text{ ให้อยู่ในรูปทั่วไปและระบุค่า } a, b, c$

$$ \begin{aligned} x^2 - 5x + 6 &= 0 \\ a &= 1, b = -5, c = 6 \end{aligned} $$

$\text{Write } x^2 = 5x - 6 \text{ in standard form and identify } a, b, c$

$$ \begin{aligned} x^2 - 5x + 6 &= 0 \\ a &= 1, b = -5, c = 6 \end{aligned} $$

Example 1.5

$\text{จงจัดรูปสมการ } 3x(x - 2) = 4 \text{ ให้อยู่ในรูปทั่วไป}$

$$ \begin{aligned} 3x^2 - 6x &= 4 \\ 3x^2 - 6x - 4 &= 0 \end{aligned} $$

$\text{Write } 3x(x - 2) = 4 \text{ in standard form.}$

$$ \begin{aligned} 3x^2 - 6x &= 4 \\ 3x^2 - 6x - 4 &= 0 \end{aligned} $$

Example 1.6

$\text{จงพิจารณาว่า } 3 \text{ เป็นคำตอบของสมการ } x^2 - 9 = 0 \text{ หรือไม่}$

$$ \begin{aligned} (3)^2 - 9 &= 0 \\ 9 - 9 &= 0 \\ 0 &= 0 \quad \text{(เป็นจริง ดังนั้น 3 เป็นคำตอบ)} \end{aligned} $$

$\text{Determine if } 3 \text{ is a root of the equation } x^2 - 9 = 0$

$$ \begin{aligned} (3)^2 - 9 &= 0 \\ 9 - 9 &= 0 \\ 0 &= 0 \quad \text{(True, so 3 is a root)} \end{aligned} $$

Example 1.7

$\text{จงพิจารณาว่า } 2 \text{ เป็นคำตอบของสมการ } x^2 - 3x + 5 = 0 \text{ หรือไม่}$

$$ \begin{aligned} (2)^2 - 3(2) + 5 &= 0 \\ 4 - 6 + 5 &= 0 \\ 3 &\neq 0 \quad \text{(เป็นเท็จ ดังนั้น 2 ไม่ใช่คำตอบ)} \end{aligned} $$

$\text{Determine if } 2 \text{ is a root of the equation } x^2 - 3x + 5 = 0$

$$ \begin{aligned} (2)^2 - 3(2) + 5 &= 0 \\ 4 - 6 + 5 &= 0 \\ 3 &\neq 0 \quad \text{(False, so 2 is not a root)} \end{aligned} $$

การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีแยกตัวประกอบ Factoring Method

หลักการของผลคูณเป็นศูนย์ (Zero Product Property): หัวใจสำคัญของการแก้สมการโดยวิธีนี้ อ้างอิงสมบัติที่ว่า:

$$ \text{ถ้า } \textcolor{#1565c0}{A} \times \textcolor{#e65100}{B} = 0 \quad \text{แล้ว} \quad \textcolor{#1565c0}{A} = 0 \quad \text{หรือ} \quad \textcolor{#e65100}{B} = 0 $$

รูปแบบที่พบบ่อย:

การดึงตัวร่วม: ใช้เมื่อ $c = 0$ (เช่น $ax^2 + bx = 0 \rightarrow \textcolor{#1565c0}{x}(ax + b) = 0$)
แยกเป็นสองวงเล็บ: หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้พจน์หลัง ($c$) และบวกกันได้พจน์กลาง ($b$)
ผลต่างกำลังสอง: $\textcolor{#1565c0}{a}^2 - \textcolor{#e65100}{b}^2 = (\textcolor{#1565c0}{a} - \textcolor{#e65100}{b})(\textcolor{#1565c0}{a} + \textcolor{#e65100}{b}) = 0$ (ใช้เมื่อ $b = 0$ และ $c < 0$)

Zero Product Property: The core principle of factoring. It states:

$$ \text{If } \textcolor{#1565c0}{A} \times \textcolor{#e65100}{B} = 0, \quad \text{then } \textcolor{#1565c0}{A} = 0 \quad \text{or} \quad \textcolor{#e65100}{B} = 0 $$

Common Patterns:

Common Factor: Used when $c = 0$ (e.g., $ax^2 + bx = 0 \rightarrow \textcolor{#1565c0}{x}(ax + b) = 0$)
Two Binomials: Find two numbers that multiply to the constant ($c$) and add to the middle coefficient ($b$)
Difference of Squares: $\textcolor{#1565c0}{a}^2 - \textcolor{#e65100}{b}^2 = (\textcolor{#1565c0}{a} - \textcolor{#e65100}{b})(\textcolor{#1565c0}{a} + \textcolor{#e65100}{b}) = 0$ (used when $b = 0$ and $c < 0$)

Example 2.1

$\text{จงแก้สมการ } x^2 - 5x = 0$

$$ \begin{aligned} x(x - 5) &= 0 \\ x = 0 \quad &\text{หรือ} \quad x - 5 = 0 \\ x = 0 \quad &\text{หรือ} \quad x = 5 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } x^2 - 5x = 0$

$$ \begin{aligned} x(x - 5) &= 0 \\ x = 0 \quad &\text{or} \quad x - 5 = 0 \\ x = 0 \quad &\text{or} \quad x = 5 \end{aligned} $$

Example 2.2

$\text{จงแก้สมการ } x^2 - 16 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 - 4^2 &= 0 \\ (x - 4)(x + 4) &= 0 \\ x - 4 = 0 \quad &\text{หรือ} \quad x + 4 = 0 \\ x = 4 \quad &\text{หรือ} \quad x = -4 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } x^2 - 16 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 - 4^2 &= 0 \\ (x - 4)(x + 4) &= 0 \\ x - 4 = 0 \quad &\text{or} \quad x + 4 = 0 \\ x = 4 \quad &\text{or} \quad x = -4 \end{aligned} $$

Example 2.3

$\text{จงแก้สมการ } x^2 - 7x + 10 = 0$

$$ \begin{aligned} (x - 2)(x - 5) &= 0 \\ x - 2 = 0 \quad &\text{หรือ} \quad x - 5 = 0 \\ x = 2 \quad &\text{หรือ} \quad x = 5 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } x^2 - 7x + 10 = 0$

$$ \begin{aligned} (x - 2)(x - 5) &= 0 \\ x - 2 = 0 \quad &\text{or} \quad x - 5 = 0 \\ x = 2 \quad &\text{or} \quad x = 5 \end{aligned} $$

Example 2.4

$\text{จงแก้สมการ } x^2 + 6x + 9 = 0$

$$ \begin{aligned} (x + 3)(x + 3) &= 0 \\ (x + 3)^2 &= 0 \\ x + 3 &= 0 \\ x &= -3 \quad \text{(คำตอบซ้ำ)} \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } x^2 + 6x + 9 = 0$

$$ \begin{aligned} (x + 3)(x + 3) &= 0 \\ (x + 3)^2 &= 0 \\ x + 3 &= 0 \\ x &= -3 \quad \text{(Repeated root)} \end{aligned} $$

Example 2.5

$\text{จงแก้สมการ } 2x^2 + 7x + 3 = 0$

$$ \begin{aligned} (2x + 1)(x + 3) &= 0 \\ 2x + 1 = 0 \quad &\text{หรือ} \quad x + 3 = 0 \\ x = -\frac{1}{2} \quad &\text{หรือ} \quad x = -3 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } 2x^2 + 7x + 3 = 0$

$$ \begin{aligned} (2x + 1)(x + 3) &= 0 \\ 2x + 1 = 0 \quad &\text{or} \quad x + 3 = 0 \\ x = -\frac{1}{2} \quad &\text{or} \quad x = -3 \end{aligned} $$

Example 2.6

$\text{จงแก้สมการ } 3x^2 - 12 = 0$

$$ \begin{aligned} 3(x^2 - 4) &= 0 \\ x^2 - 4 &= 0 \\ (x - 2)(x + 2) &= 0 \\ x = 2 \quad &\text{หรือ} \quad x = -2 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } 3x^2 - 12 = 0$

$$ \begin{aligned} 3(x^2 - 4) &= 0 \\ x^2 - 4 &= 0 \\ (x - 2)(x + 2) &= 0 \\ x = 2 \quad &\text{or} \quad x = -2 \end{aligned} $$

Example 2.7

$\text{จงแก้สมการ } x^2 = 8x - 15$

$$ \begin{aligned} x^2 - 8x + 15 &= 0 \\ (x - 3)(x - 5) &= 0 \\ x = 3 \quad &\text{หรือ} \quad x = 5 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } x^2 = 8x - 15$

$$ \begin{aligned} x^2 - 8x + 15 &= 0 \\ (x - 3)(x - 5) &= 0 \\ x = 3 \quad &\text{or} \quad x = 5 \end{aligned} $$

การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ Completing the Square Method

แนวคิดการจัดรูปสมการ: เปลี่ยนสมการที่แยกตัวประกอบยากให้อยู่ในรูป:

$$ (\textcolor{#1565c0}{x} + \textcolor{#e65100}{p})^{\textcolor{#8e24aa}{2}} = \textcolor{#e65100}{q} $$

ขั้นตอนการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์:

จัดสัมประสิทธิ์หน้า $x^2$ ให้เป็น 1: (นำ $a$ ไปหารตลอดทั้งสมการ)
ย้ายพจน์ค่าคงตัว: ย้ายไปไว้อีกฝั่งของเครื่องหมายเท่ากับ
บวกเข้าทั้งสองข้าง: ด้วย $\displaystyle \textcolor{#e65100}{\left(\frac{b}{2}\right)^2}$ (ครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์พจน์กลางยกกำลังสอง)
ยุบฝั่งซ้ายเป็นกำลังสองสมบูรณ์: แล้วถอดรากที่สอง (ใส่เครื่องหมาย $\pm$ ที่ฝั่งขวา) เพื่อหาค่า $x$

Concept: Transform an equation that is hard to factor into the form:

$$ (\textcolor{#1565c0}{x} + \textcolor{#e65100}{p})^{\textcolor{#8e24aa}{2}} = \textcolor{#e65100}{q} $$

Steps to Complete the Square:

Make the coefficient of $x^2$ equal to 1: (divide the entire equation by $a$)
Move the constant term: move it to the other side of the equation
Add to both sides: add $\displaystyle \textcolor{#e65100}{\left(\frac{b}{2}\right)^2}$ (half of the middle coefficient squared) to both sides
Collapse into a perfect square: then take the square root (adding $\pm$ to the right side) to solve for $x$

Example 3.1

$\text{จงแก้สมการ } x^2 + 6x - 7 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 + 6x &= 7 \\ x^2 + 6x + \left(\frac{6}{2}\right)^2 &= 7 + \left(\frac{6}{2}\right)^2 \\ x^2 + 6x + 3^2 &= 7 + 9 \\ (x + 3)^2 &= 16 \\ x + 3 &= \pm 4 \\ x &= -3 \pm 4 \\ x = 1 \quad &\text{หรือ} \quad x = -7 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } x^2 + 6x - 7 = 0$

Example 3.2

$\text{จงแก้สมการ } x^2 - 4x - 5 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 - 4x &= 5 \\ x^2 - 4x + 2^2 &= 5 + 2^2 \\ (x - 2)^2 &= 9 \\ x - 2 &= \pm 3 \\ x &= 2 \pm 3 \\ x = 5 \quad &\text{หรือ} \quad x = -1 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } x^2 - 4x - 5 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 - 4x &= 5 \\ x^2 - 4x + 2^2 &= 5 + 2^2 \\ (x - 2)^2 &= 9 \\ x - 2 &= \pm 3 \\ x &= 2 \pm 3 \\ x = 5 \quad &\text{or} \quad x = -1 \end{aligned} $$

Example 3.3

$\text{จงแก้สมการ } x^2 + 2x - 8 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 + 2x &= 8 \\ x^2 + 2x + 1^2 &= 8 + 1^2 \\ (x + 1)^2 &= 9 \\ x + 1 &= \pm 3 \\ x &= -1 \pm 3 \\ x = 2 \quad &\text{หรือ} \quad x = -4 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } x^2 + 2x - 8 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 + 2x &= 8 \\ x^2 + 2x + 1^2 &= 8 + 1^2 \\ (x + 1)^2 &= 9 \\ x + 1 &= \pm 3 \\ x &= -1 \pm 3 \\ x = 2 \quad &\text{or} \quad x = -4 \end{aligned} $$

Example 3.4

$\text{จงแก้สมการ } x^2 - 10x + 21 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 - 10x &= -21 \\ x^2 - 10x + 5^2 &= -21 + 25 \\ (x - 5)^2 &= 4 \\ x - 5 &= \pm 2 \\ x &= 5 \pm 2 \\ x = 7 \quad &\text{หรือ} \quad x = 3 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } x^2 - 10x + 21 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 - 10x &= -21 \\ x^2 - 10x + 5^2 &= -21 + 25 \\ (x - 5)^2 &= 4 \\ x - 5 &= \pm 2 \\ x &= 5 \pm 2 \\ x = 7 \quad &\text{or} \quad x = 3 \end{aligned} $$

Example 3.5

$\text{จงแก้สมการ } 2x^2 + 8x - 10 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 + 4x - 5 &= 0 \quad \text{(นำ 2 หารตลอด)} \\ x^2 + 4x &= 5 \\ x^2 + 4x + 2^2 &= 5 + 4 \\ (x + 2)^2 &= 9 \\ x + 2 &= \pm 3 \\ x &= -2 \pm 3 \\ x = 1 \quad &\text{หรือ} \quad x = -5 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } 2x^2 + 8x - 10 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 + 4x - 5 &= 0 \quad \text{(Divide by 2)} \\ x^2 + 4x &= 5 \\ x^2 + 4x + 2^2 &= 5 + 4 \\ (x + 2)^2 &= 9 \\ x + 2 &= \pm 3 \\ x &= -2 \pm 3 \\ x = 1 \quad &\text{or} \quad x = -5 \end{aligned} $$

Example 3.6

$\text{จงแก้สมการ } x^2 - 8x + 7 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 - 8x &= -7 \\ x^2 - 8x + 4^2 &= -7 + 16 \\ (x - 4)^2 &= 9 \\ x - 4 &= \pm 3 \\ x &= 4 \pm 3 \\ x = 7 \quad &\text{หรือ} \quad x = 1 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } x^2 - 8x + 7 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 - 8x &= -7 \\ x^2 - 8x + 4^2 &= -7 + 16 \\ (x - 4)^2 &= 9 \\ x - 4 &= \pm 3 \\ x &= 4 \pm 3 \\ x = 7 \quad &\text{or} \quad x = 1 \end{aligned} $$

Example 3.7

$\text{จงแก้สมการ } x^2 + 3x - 4 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 + 3x &= 4 \\ x^2 + 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 &= 4 + \frac{9}{4} \\ \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 &= \frac{16}{4} + \frac{9}{4} \\ \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 &= \frac{25}{4} \\ x + \frac{3}{2} &= \pm \frac{5}{2} \\ x &= -\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} \\ x = 1 \quad &\text{หรือ} \quad x = -4 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } x^2 + 3x - 4 = 0$

การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร Quadratic Formula Method

สูตรการหาคำตอบ: จากการจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ในรูปทั่วไป จะได้สูตรสำเร็จรูปคือ:

$$ \textcolor{#1565c0}{x} = \frac{-\textcolor{#e65100}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#e65100}{b}^{\textcolor{#8e24aa}{2}} - 4\textcolor{#e65100}{a}\textcolor{#e65100}{c}}}{2\textcolor{#e65100}{a}} $$

การพิจารณาลักษณะคำตอบ (Discriminant): สามารถวิเคราะห์จำนวนคำตอบได้จากค่าดิสคริมิแนนต์ ($\Delta = b^2 - 4ac$):

ถ้า $b^2 - 4ac > 0$ : สมการมี 2 คำตอบ (ที่เป็นจำนวนจริงและไม่เท่ากัน)
ถ้า $b^2 - 4ac = 0$ : สมการมี 1 คำตอบ (คำตอบซ้ำ)
ถ้า $b^2 - 4ac < 0$ : สมการไม่มีคำตอบ (ที่เป็นจำนวนจริง หรือหาค่าไม่ได้)

The Formula: Derived from completing the square on the standard form, the formula is:

$$ \textcolor{#1565c0}{x} = \frac{-\textcolor{#e65100}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#e65100}{b}^{\textcolor{#8e24aa}{2}} - 4\textcolor{#e65100}{a}\textcolor{#e65100}{c}}}{2\textcolor{#e65100}{a}} $$

Discriminant: The nature of the roots can be determined by the discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$):

If $b^2 - 4ac > 0$ : 2 distinct real roots
If $b^2 - 4ac = 0$ : 1 real root (repeated)
If $b^2 - 4ac < 0$ : No real roots

Example 4.1

$\text{จงแก้สมการ } x^2 - 5x + 6 = 0 \text{ โดยใช้สูตร}$

$$ \begin{aligned} a = 1, b &= -5, c = 6 \\ x &= \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} \\ &= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ &= \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \\ x &= \frac{5 + 1}{2} \text{ หรือ } \frac{5 - 1}{2} \\ x &= 3 \text{ หรือ } 2 \end{aligned} $$

$\text{Solve } x^2 - 5x + 6 = 0 \text{ using the formula}$

$$ \begin{aligned} a = 1, b &= -5, c = 6 \\ x &= \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} \\ &= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ &= \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \\ x &= \frac{5 + 1}{2} \text{ or } \frac{5 - 1}{2} \\ x &= 3 \text{ or } 2 \end{aligned} $$

Example 4.2

$\text{จงแก้สมการ } x^2 - 4x + 4 = 0$

$$ \begin{aligned} a = 1, b &= -4, c = 4 \\ x &= \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} \\ &= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} \\ &= \frac{4 \pm 0}{2} \\ x &= 2 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } x^2 - 4x + 4 = 0$

$$ \begin{aligned} a = 1, b &= -4, c = 4 \\ x &= \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} \\ &= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} \\ &= \frac{4 \pm 0}{2} \\ x &= 2 \end{aligned} $$

Example 4.3

$\text{จงพิจารณาคำตอบของสมการ } x^2 + x + 1 = 0$

$$ \begin{aligned} b^2 - 4ac &= (1)^2 - 4(1)(1) \\ &= 1 - 4 \\ &= -3 \end{aligned} $$

$\text{เนื่องจาก } b^2 - 4ac < 0 \text{ สมการนี้จึงไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง}$

$\text{Determine the roots of } x^2 + x + 1 = 0$

$$ \begin{aligned} b^2 - 4ac &= (1)^2 - 4(1)(1) \\ &= 1 - 4 \\ &= -3 \end{aligned} $$

$\text{Since } b^2 - 4ac < 0\text{, the equation has no real roots.}$

Example 4.4

$\text{จงแก้สมการ } 2x^2 - 7x + 3 = 0$

$$ \begin{aligned} a = 2, b &= -7, c = 3 \\ x &= \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} \\ &= \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} \\ &= \frac{7 \pm 5}{4} \\ x &= \frac{12}{4} \text{ หรือ } \frac{2}{4} \\ x &= 3 \text{ หรือ } \frac{1}{2} \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } 2x^2 - 7x + 3 = 0$

$$ \begin{aligned} a = 2, b &= -7, c = 3 \\ x &= \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} \\ &= \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} \\ &= \frac{7 \pm 5}{4} \\ x &= \frac{12}{4} \text{ or } \frac{2}{4} \\ x &= 3 \text{ or } \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Example 4.5

$\text{จงแก้สมการ } 3x^2 + 5x - 2 = 0$

$$ \begin{aligned} a = 3, b &= 5, c = -2 \\ x &= \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)} \\ &= \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} \\ &= \frac{-5 \pm 7}{6} \\ x &= \frac{2}{6} \text{ หรือ } \frac{-12}{6} \\ x &= \frac{1}{3} \text{ หรือ } -2 \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } 3x^2 + 5x - 2 = 0$

$$ \begin{aligned} a = 3, b &= 5, c = -2 \\ x &= \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(3)(-2)}}{2(3)} \\ &= \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} \\ &= \frac{-5 \pm 7}{6} \\ x &= \frac{2}{6} \text{ or } \frac{-12}{6} \\ x &= \frac{1}{3} \text{ or } -2 \end{aligned} $$

Example 4.6

$\text{จงแก้สมการ } x^2 - 6x + 7 = 0$

$$ \begin{aligned} a = 1, b &= -6, c = 7 \\ x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(7)}}{2(1)} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &= \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ x &= 3 \pm \sqrt{2} \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } x^2 - 6x + 7 = 0$

Example 4.7

$\text{จงแก้สมการ } -x^2 + 4x - 1 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 - 4x + 1 &= 0 \quad \text{(นำ -1 คูณตลอด)} \\ x &= \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} \\ &= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} \\ &= \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} \\ &= \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ x &= 2 \pm \sqrt{3} \end{aligned} $$

$\text{Solve the equation } -x^2 + 4x - 1 = 0$

$$ \begin{aligned} x^2 - 4x + 1 &= 0 \quad \text{(Multiply by -1)} \\ x &= \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} \\ &= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} \\ &= \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} \\ &= \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ x &= 2 \pm \sqrt{3} \end{aligned} $$

โจทย์ปัญหาและประยุกต์สมการกำลังสอง Applications & Word Problems

ขั้นตอนการแก้โจทย์ปัญหา:

อ่านและวิเคราะห์โจทย์: กำหนดตัวแปร $x$ แทนปริมาณที่ต้องการหา
สร้างสมการกำลังสอง: ตามเงื่อนไขและข้อมูลที่โจทย์กำหนด
แก้สมการ: เพื่อหาค่าของตัวแปร $x$
ตรวจคำตอบ (สำคัญมาก): คำตอบที่ได้ทางคณิตศาสตร์อาจใช้ไม่ได้กับสถานการณ์จริง (เช่น ความยาว, อายุ, จำนวนคน ห้ามติดลบ)

ประเภทที่พบบ่อย: โจทย์เกี่ยวกับจำนวน, เรขาคณิต (พื้นที่/พีทาโกรัส) และฟิสิกส์เบื้องต้น

Steps for Word Problems:

Read and Analyze: Assign a variable $x$ to the unknown quantity.
Set up Equation: Formulate a quadratic equation based on the given conditions.
Solve the Equation: Solve for the variable $x$.
Check Answers (Crucial): Mathematical solutions might not fit the real-world context (e.g., length, age, count cannot be negative).

Common Types: Number problems, Geometry (Area/Pythagoras), and basic Physics.

Example 5.1

จำนวนเต็มบวกสองจำนวนเรียงกัน คูณกันได้ $42$ จงหาจำนวนทั้งสอง

$$ \begin{aligned} \text{ให้ } x \text{ เป็นจำนวนแรก, จำนวนถัดไปคือ } x+1 \\ x(x + 1) &= 42 \\ x^2 + x - 42 &= 0 \\ (x + 7)(x - 6) &= 0 \\ x = -7 \quad &\text{หรือ} \quad x = 6 \end{aligned} $$

โจทย์ระบุว่าเป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $x = 6$ จำนวนทั้งสองคือ $6$ และ $7$

The product of two consecutive positive integers is 42. Find the integers.

$$ \begin{aligned} \text{Let } x \text{ be the first integer, next is } x+1 \\ x(x + 1) &= 42 \\ x^2 + x - 42 &= 0 \\ (x + 7)(x - 6) &= 0 \\ x = -7 \quad &\text{or} \quad x = 6 \end{aligned} $$

Since they are positive integers, $x = 6$. The integers are 6 and 7.

Example 5.2

สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ $40$ ตารางหน่วย โดยด้านยาว ยาวกว่าด้านกว้างอยู่ $3$ หน่วย จงหาความกว้าง

$$ \begin{aligned} \text{ให้ กว้าง } = x, \text{ ยาว } = x + 3 \\ x(x + 3) &= 40 \\ x^2 + 3x - 40 &= 0 \\ (x + 8)(x - 5) &= 0 \\ x = -8 \quad &\text{หรือ} \quad x = 5 \end{aligned} $$

ความกว้างติดลบไม่ได้ ดังนั้น $x = 5$ หน่วย

A rectangle has an area of 40 sq units. The length is 3 units longer than the width. Find the width.

$$ \begin{aligned} \text{Let Width } = x, \text{ Length } = x + 3 \\ x(x + 3) &= 40 \\ x^2 + 3x - 40 &= 0 \\ (x + 8)(x - 5) &= 0 \\ x = -8 \quad &\text{or} \quad x = 5 \end{aligned} $$

Width cannot be negative, so $x = 5$ units.

Example 5.3

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $13$ หน่วย ด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาวกว่าอีกด้านอยู่ $7$ หน่วย

$$ \begin{aligned} \text{ให้ด้านสั้น } = x, \text{ ด้านยาว } = x + 7 \\ x^2 + (x + 7)^2 &= 13^2 \\ x^2 + x^2 + 14x + 49 &= 169 \\ 2x^2 + 14x - 120 &= 0 \\ x^2 + 7x - 60 &= 0 \\ (x + 12)(x - 5) &= 0 \\ x = -12 \quad &\text{หรือ} \quad x = 5 \end{aligned} $$

ความยาวติดลบไม่ได้ ด้านประกอบมุมฉากคือ $5$ และ $12$ หน่วย

A right triangle has a hypotenuse of 13. One leg is 7 units longer than the other. Find the legs.

$$ \begin{aligned} \text{Let short leg } = x, \text{ long leg } = x + 7 \\ x^2 + (x + 7)^2 &= 13^2 \\ x^2 + x^2 + 14x + 49 &= 169 \\ 2x^2 + 14x - 120 &= 0 \\ x^2 + 7x - 60 &= 0 \\ (x + 12)(x - 5) &= 0 \\ x = -12 \quad &\text{or} \quad x = 5 \end{aligned} $$

Length cannot be negative. The legs are 5 and 12 units.

Example 5.4

วัตถุถูกโยนขึ้นฟ้ามีสมการความสูง $h = -5t^2 + 20t + 25$ วัตถุจะตกถึงพื้นเมื่อเวลาผ่านไปกี่วินาที? $(h = 0)$

$$ \begin{aligned} -5t^2 + 20t + 25 &= 0 \\ t^2 - 4t - 5 &= 0 \quad \text{(นำ -5 หารตลอด)} \\ (t - 5)(t + 1) &= 0 \\ t = 5 \quad &\text{หรือ} \quad t = -1 \end{aligned} $$

เวลาติดลบไม่ได้ ดังนั้นวัตถุตกถึงพื้นเมื่อ $t = 5$ วินาที

A projectile's height is $h = -5t^2 + 20t + 25$. When will it hit the ground? $(h = 0)$

$$ \begin{aligned} -5t^2 + 20t + 25 &= 0 \\ t^2 - 4t - 5 &= 0 \quad \text{(Divide by -5)} \\ (t - 5)(t + 1) &= 0 \\ t = 5 \quad &\text{or} \quad t = -1 \end{aligned} $$

Time cannot be negative, so it hits the ground at $t = 5$ seconds.

Example 5.5

จำนวนคู่สองจำนวนเรียงกันคูณกันได้ $48$ จำนวนคู่ที่น้อยกว่าคือจำนวนใด (ถ้าเป็นจำนวนเต็มบวก)

$$ \begin{aligned} \text{ให้จำนวนแรก } = x, \text{ จำนวนคู่ถัดไป } = x + 2 \\ x(x + 2) &= 48 \\ x^2 + 2x - 48 &= 0 \\ (x + 8)(x - 6) &= 0 \\ x = -8 \quad &\text{หรือ} \quad x = 6 \end{aligned} $$

ใช้เฉพาะจำนวนเต็มบวก จะได้ $x = 6$

The product of two consecutive positive even integers is 48. Find the smaller integer.

$$ \begin{aligned} \text{Let first integer } = x, \text{ next even is } x + 2 \\ x(x + 2) &= 48 \\ x^2 + 2x - 48 &= 0 \\ (x + 8)(x - 6) &= 0 \\ x = -8 \quad &\text{or} \quad x = 6 \end{aligned} $$

Taking only the positive integer, $x = 6$

Example 5.6

กำลังสองของจำนวนหนึ่ง ลบด้วย $3$ เท่าของจำนวนนั้น มีค่าเท่ากับ $28$ จงหาจำนวนนั้น

$$ \begin{aligned} x^2 - 3x &= 28 \\ x^2 - 3x - 28 &= 0 \\ (x - 7)(x + 4) &= 0 \\ x = 7 \quad &\text{หรือ} \quad x = -4 \end{aligned} $$

จำนวนนั้นอาจเป็น $7$ หรือ $-4$ ก็ได้

The square of a number minus 3 times the number is 28. Find the number.

$$ \begin{aligned} x^2 - 3x &= 28 \\ x^2 - 3x - 28 &= 0 \\ (x - 7)(x + 4) &= 0 \\ x = 7 \quad &\text{or} \quad x = -4 \end{aligned} $$

The number can be $7$ or $-4$.

Example 5.7

สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาวรอบรูป $14$ หน่วย และมีพื้นที่ $12$ ตารางหน่วย จงหาความกว้าง

$$ \begin{aligned} \text{ให้ กว้าง } = W, \text{ ยาว } = L \\ 2W + 2L &= 14 \\ W + L &= 7 \implies L = 7 - W \\ W \cdot L &= 12 \\ W(7 - W) &= 12 \\ 7W - W^2 &= 12 \\ W^2 - 7W + 12 &= 0 \\ (W - 3)(W - 4) &= 0 \\ W = 3 \quad &\text{หรือ} \quad W = 4 \end{aligned} $$

โดยทั่วไปความกว้างจะสั้นกว่าความยาว ดังนั้นความกว้างคือ $3$ หน่วย

A rectangle's perimeter is 14 and area is 12. Find its width.

$$ \begin{aligned} \text{Let Width } = W, \text{ Length } = L \\ 2W + 2L &= 14 \\ W + L &= 7 \implies L = 7 - W \\ W \cdot L &= 12 \\ W(7 - W) &= 12 \\ 7W - W^2 &= 12 \\ W^2 - 7W + 12 &= 0 \\ (W - 3)(W - 4) &= 0 \\ W = 3 \quad &\text{or} \quad W = 4 \end{aligned} $$

Typically, width is the shorter side, so width is 3 units.

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Quadratic	quadratus (made square)	กำลังสอง · สมการที่มีดีกรีสูงสุดเป็น 2
Equation	aequare (to make equal)	สมการ · ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับ (=)
Variable	variare (to change)	ตัวแปร · ตัวอักษรที่ใช้แทนจำนวนที่ยังไม่ทราบค่า
Coefficient	co- (together) + efficere (to produce)	สัมประสิทธิ์ · ค่าคงตัวที่คูณอยู่กับตัวแปร
Constant	com- (with) + stare (to stand)	ค่าคงตัว · ตัวเลขที่ไม่มีตัวแปรคูณอยู่ มีค่าคงที่เสมอ
Factor	facere (to do, make)	แยกตัวประกอบ · การเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปผลคูณของพหุนามย่อย
Formula	forma (shape, mold)	สูตร · กฎหรือหลักการที่เขียนในรูปสัญลักษณ์เพื่อใช้คำนวณหาค่า
Root / Solution	radix (root) / solvere (to loosen)	คำตอบของสมการ · ค่าที่แทนในตัวแปรแล้วทำให้สมการเป็นจริง
Discriminant	discriminare (to separate, distinguish)	ดิสคริมิแนนต์ · ค่าใต้รากในสูตร ($b^2-4ac$) ที่ใช้บอกลักษณะและจำนวนคำตอบ
Complete the Square	-	ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ · การจัดรูปสมการให้เป็นกำลังสองของทวินาม $(x+p)^2$