ภาคตัดกรวย: วงกลม

นิยามของวงกลม: เซตของจุดทุกจุดบนระนาบที่มีระยะห่างจาก จุดคงที่ (จุดศูนย์กลาง) เป็นระยะทางเท่ากันเสมอ ซึ่งระยะทางที่เท่ากันนั้นเรียกว่า รัศมี (Radius)

Definition of a Circle: The set of all points in a plane that are at a given constant distance from a fixed point (the center). This constant distance is called the radius.

สมการวงกลม: รูปแบบมาตรฐาน Circle Equation: Standard Form

สมการรูปแบบมาตรฐานของวงกลม (Standard Form) สามารถเขียนได้ในรูป:

$$ ({\color{#1565c0}x-h})^2 + ({\color{#1565c0}y-k})^2 = {\color{#e65100}r}^2 $$

จุดศูนย์กลาง (Center): $C({\color{#1565c0}h, k})$
รัศมี (Radius): ${\color{#e65100}r}$ (โดยที่ ${\color{#e65100}r} > 0$)

The Standard Form Equation of a Circle is written as:

$$ ({\color{#1565c0}x-h})^2 + ({\color{#1565c0}y-k})^2 = {\color{#e65100}r}^2 $$

Center: $C({\color{#1565c0}h, k})$
Radius: ${\color{#e65100}r}$ (where ${\color{#e65100}r} > 0$)

Example 1.1

จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม $x^2 + y^2 = 9$

$$ \begin{aligned} (x-0)^2 + (y-0)^2 &= 3^2 \\ C(h, k) &= (0, 0) \\ r &= 3 \end{aligned} $$

Find the center and radius of the circle $x^2 + y^2 = 9$.

$$ \begin{aligned} (x-0)^2 + (y-0)^2 &= 3^2 \\ C(h, k) &= (0, 0) \\ r &= 3 \end{aligned} $$

Example 1.2

จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด $(0, 0)$ และมีรัศมี $5$ หน่วย

$$ \begin{aligned} (x-h)^2 + (y-k)^2 &= r^2 \\ (x-0)^2 + (y-0)^2 &= 5^2 \\ x^2 + y^2 &= 25 \end{aligned} $$

Find the equation of a circle with center at the origin $(0, 0)$ and radius $5$.

$$ \begin{aligned} (x-h)^2 + (y-k)^2 &= r^2 \\ (x-0)^2 + (y-0)^2 &= 5^2 \\ x^2 + y^2 &= 25 \end{aligned} $$

Example 1.3

จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด $(0, 0)$ และผ่านจุด $(3, 4)$

(หารัศมี $r$ จากระยะห่างระหว่างจุดกำเนิดและจุดบนวงกลม)

$$ \begin{aligned} r^2 &= (x - 0)^2 + (y - 0)^2 \\ &= 3^2 + 4^2 \\ &= 9 + 16 \\ &= 25 \\ x^2 + y^2 &= 25 \end{aligned} $$

Find the equation of a circle centered at the origin $(0, 0)$ that passes through the point $(3, 4)$.

(Find radius $r$ using the distance from origin to the point)

$$ \begin{aligned} r^2 &= (x - 0)^2 + (y - 0)^2 \\ &= 3^2 + 4^2 \\ &= 9 + 16 \\ &= 25 \\ x^2 + y^2 &= 25 \end{aligned} $$

Example 1.4

จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16$

$$ \begin{aligned} (x-h)^2 + (y-k)^2 &= r^2 \\ (x-2)^2 + (y-3)^2 &= 4^2 \\ C(h, k) &= (2, 3) \\ r &= 4 \end{aligned} $$

Find the center and radius of the circle $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16$.

$$ \begin{aligned} (x-h)^2 + (y-k)^2 &= r^2 \\ (x-2)^2 + (y-3)^2 &= 4^2 \\ C(h, k) &= (2, 3) \\ r &= 4 \end{aligned} $$

Example 1.5

จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(-4, 1)$ และมีรัศมี $\sqrt{7}$ หน่วย

$$ \begin{aligned} (x-h)^2 + (y-k)^2 &= r^2 \\ (x-(-4))^2 + (y-1)^2 &= (\sqrt{7})^2 \\ (x+4)^2 + (y-1)^2 &= 7 \end{aligned} $$

Find the equation of a circle with center at $(-4, 1)$ and radius $\sqrt{7}$.

$$ \begin{aligned} (x-h)^2 + (y-k)^2 &= r^2 \\ (x-(-4))^2 + (y-1)^2 &= (\sqrt{7})^2 \\ (x+4)^2 + (y-1)^2 &= 7 \end{aligned} $$

Example 1.6

จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม $(x+5)^2 + (y+2)^2 = 25$

$$ \begin{aligned} (x-(-5))^2 + (y-(-2))^2 &= 5^2 \\ C(h, k) &= (-5, -2) \\ r &= 5 \end{aligned} $$

Find the center and radius of the circle $(x+5)^2 + (y+2)^2 = 25$.

$$ \begin{aligned} (x-(-5))^2 + (y-(-2))^2 &= 5^2 \\ C(h, k) &= (-5, -2) \\ r &= 5 \end{aligned} $$

Example 1.7

จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $C(3, -2)$ และวงกลมผ่านจุด $P(6, 2)$

(หารัศมีจากระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางและจุดบนวงกลม)

$$ \begin{aligned} r &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\ &= \sqrt{(6 - 3)^2 + (2 - (-2))^2} \\ &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{9 + 16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \\ (x-3)^2 + (y+2)^2 &= 5^2 \\ (x-3)^2 + (y+2)^2 &= 25 \end{aligned} $$

Find the equation of a circle with center $C(3, -2)$ that passes through point $P(6, 2)$.

(Find radius using the distance formula between center and the point)

Example 1.8

วงกลมมีจุดปลายเส้นผ่านศูนย์กลางที่ $A(1, 1)$ และ $B(7, 9)$ จงหาสมการวงกลม

(หาจุดศูนย์กลางจากจุดกึ่งกลาง และหารัศมี)

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= \left(\frac{1+7}{2}, \frac{1+9}{2}\right) \\ &= (4, 5) \\ r &= \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} \\ &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \\ (x-4)^2 + (y-5)^2 &= 5^2 \\ (x-4)^2 + (y-5)^2 &= 25 \end{aligned} $$

A circle has diameter endpoints at $A(1, 1)$ and $B(7, 9)$. Find its equation.

(Find center using midpoint formula, then find radius)

Example 1.9

จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(4, 3)$ และสัมผัสแกน X

(ถ้าสัมผัสแกน X รัศมีจะมีค่าเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของพิกัด Y ของจุดศูนย์กลาง)

$$ \begin{aligned} r &= |k| \\ &= |3| \\ &= 3 \\ (x-4)^2 + (y-3)^2 &= 3^2 \\ (x-4)^2 + (y-3)^2 &= 9 \end{aligned} $$

Find the equation of a circle with center at $(4, 3)$ that is tangent to the x-axis.

(If tangent to x-axis, radius equals the absolute value of the center's y-coordinate)

$$ \begin{aligned} r &= |k| \\ &= |3| \\ &= 3 \\ (x-4)^2 + (y-3)^2 &= 3^2 \\ (x-4)^2 + (y-3)^2 &= 9 \end{aligned} $$

Example 1.10

จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(-2, 5)$ และสัมผัสแกน Y

(ถ้าสัมผัสแกน Y รัศมีจะมีค่าเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของพิกัด X ของจุดศูนย์กลาง)

$$ \begin{aligned} r &= |h| \\ &= |-2| \\ &= 2 \\ (x - (-2))^2 + (y - 5)^2 &= 2^2 \\ (x + 2)^2 + (y - 5)^2 &= 4 \end{aligned} $$

Find the equation of a circle with center at $(-2, 5)$ that is tangent to the y-axis.

(If tangent to y-axis, radius equals the absolute value of the center's x-coordinate)

$$ \begin{aligned} r &= |h| \\ &= |-2| \\ &= 2 \\ (x - (-2))^2 + (y - 5)^2 &= 2^2 \\ (x + 2)^2 + (y - 5)^2 &= 4 \end{aligned} $$

สมการรูปทั่วไป และการจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ General Form & Completing the Square

สมการรูปทั่วไปของวงกลม (General Form) สามารถเขียนได้ในรูป:

$$ x^2 + y^2 + {\color{#00838f}D}x + {\color{#00838f}E}y + {\color{#e65100}F} = 0 $$

ในการหาจุดศูนย์กลางและรัศมี เราจะต้องจัดรูปสมการกลับไปเป็นรูปแบบมาตรฐาน โดยใช้วิธี "กำลังสองสมบูรณ์" (Completing the Square):

$$ x^2 + {\color{#00838f}b}x + \left({\color{#e65100}\frac{b}{2}}\right)^2 = \left(x + {\color{#e65100}\frac{b}{2}}\right)^2 $$

The General Form Equation of a Circle is written as:

$$ x^2 + y^2 + {\color{#00838f}D}x + {\color{#00838f}E}y + {\color{#e65100}F} = 0 $$

To find the center and radius, we must convert this back to standard form using "Completing the Square":

$$ x^2 + {\color{#00838f}b}x + \left({\color{#e65100}\frac{b}{2}}\right)^2 = \left(x + {\color{#e65100}\frac{b}{2}}\right)^2 $$

Example 2.1

จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม $x^2 + y^2 - 16 = 0$

(ไม่มีพจน์ของ $x$ และ $y$ นั่นคือ $D=0$ และ $E=0$)

$$ \begin{aligned} x^2 + y^2 &= 16 \\ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 &= 4^2 \\ C(h, k) &= (0, 0) \\ r &= 4 \end{aligned} $$

Find the center and radius of the circle $x^2 + y^2 - 16 = 0$.

(No linear terms for $x$ and $y$, so $D=0$ and $E=0$)

$$ \begin{aligned} x^2 + y^2 &= 16 \\ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 &= 4^2 \\ C(h, k) &= (0, 0) \\ r &= 4 \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม $3x^2 + 3y^2 - 27 = 0$

(หารตลอดด้วย $3$ ก่อน เพื่อให้สัมประสิทธิ์หน้า $x^2$ และ $y^2$ เท่ากับ $1$)

$$ \begin{aligned} 3x^2 + 3y^2 &= 27 \\ x^2 + y^2 &= 9 \\ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 &= 3^2 \\ C(h, k) &= (0, 0) \\ r &= 3 \end{aligned} $$

Find the center and radius of the circle $3x^2 + 3y^2 - 27 = 0$.

(Divide both sides by $3$ first so coefficients of $x^2$ and $y^2$ are $1$)

$$ \begin{aligned} 3x^2 + 3y^2 &= 27 \\ x^2 + y^2 &= 9 \\ (x - 0)^2 + (y - 0)^2 &= 3^2 \\ C(h, k) &= (0, 0) \\ r &= 3 \end{aligned} $$

Example 2.3

จงเขียนสมการรูปทั่วไปของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด $(0, 0)$ และมีรัศมี $\sqrt{10}$ หน่วย

$$ \begin{aligned} (x - 0)^2 + (y - 0)^2 &= (\sqrt{10})^2 \\ x^2 + y^2 &= 10 \\ x^2 + y^2 - 10 &= 0 \end{aligned} $$

Write the general form equation of a circle with center at origin $(0, 0)$ and radius $\sqrt{10}$.

$$ \begin{aligned} (x - 0)^2 + (y - 0)^2 &= (\sqrt{10})^2 \\ x^2 + y^2 &= 10 \\ x^2 + y^2 - 10 &= 0 \end{aligned} $$

Example 2.4

จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$

$$ \begin{aligned} (x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) &= 12 \\ (x^2 - 4x + 2^2) + (y^2 - 6y + 3^2) &= 12 + 4 + 9 \\ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 &= 25 \\ C(h, k) &= (2, 3) \\ r &= 5 \end{aligned} $$

Find the center and radius of $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$.

$$ \begin{aligned} (x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) &= 12 \\ (x^2 - 4x + 2^2) + (y^2 - 6y + 3^2) &= 12 + 4 + 9 \\ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 &= 25 \\ C(h, k) &= (2, 3) \\ r &= 5 \end{aligned} $$

Example 2.5

จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม $x^2 + y^2 + 8x - 2y + 8 = 0$

$$ \begin{aligned} (x^2 + 8x) + (y^2 - 2y) &= -8 \\ (x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 2y + 1) &= -8 + 16 + 1 \\ (x + 4)^2 + (y - 1)^2 &= 9 \\ C(h, k) &= (-4, 1) \\ r &= 3 \end{aligned} $$

Find the center and radius of $x^2 + y^2 + 8x - 2y + 8 = 0$.

$$ \begin{aligned} (x^2 + 8x) + (y^2 - 2y) &= -8 \\ (x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 2y + 1) &= -8 + 16 + 1 \\ (x + 4)^2 + (y - 1)^2 &= 9 \\ C(h, k) &= (-4, 1) \\ r &= 3 \end{aligned} $$

Example 2.6

จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม $x^2 + y^2 - 10x + 24 = 0$

(พจน์ของ y ไม่มี แปลว่า $k=0$)

$$ \begin{aligned} (x^2 - 10x) + y^2 &= -24 \\ (x^2 - 10x + 25) + y^2 &= -24 + 25 \\ (x - 5)^2 + (y - 0)^2 &= 1 \\ C(h, k) &= (5, 0) \\ r &= 1 \end{aligned} $$

Find the center and radius of $x^2 + y^2 - 10x + 24 = 0$.

(Missing y term means $k=0$)

$$ \begin{aligned} (x^2 - 10x) + y^2 &= -24 \\ (x^2 - 10x + 25) + y^2 &= -24 + 25 \\ (x - 5)^2 + (y - 0)^2 &= 1 \\ C(h, k) &= (5, 0) \\ r &= 1 \end{aligned} $$

Example 2.7

จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม $2x^2 + 2y^2 - 12x + 16y - 10 = 0$

(ต้องหารตลอดด้วย 2 ก่อน เพื่อให้สัมประสิทธิ์หน้า $x^2$ และ $y^2$ เป็น 1)

$$ \begin{aligned} x^2 + y^2 - 6x + 8y - 5 &= 0 \\ (x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) &= 5 \\ (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) &= 5 + 9 + 16 \\ (x - 3)^2 + (y + 4)^2 &= 30 \\ C(h, k) &= (3, -4) \\ r &= \sqrt{30} \end{aligned} $$

Find the center and radius of $2x^2 + 2y^2 - 12x + 16y - 10 = 0$.

(Must divide by 2 first so coefficients of $x^2$ and $y^2$ are 1)

Example 2.8

จงพิจารณากราฟของสมการ $x^2 + y^2 + 6x + 4y + 13 = 0$

$$ \begin{aligned} (x^2 + 6x) + (y^2 + 4y) &= -13 \\ (x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) &= -13 + 9 + 4 \\ (x + 3)^2 + (y + 2)^2 &= 0 \end{aligned} $$

เนื่องจาก $r^2 = 0$ กราฟนี้จึงไม่ใช่รูปวงกลม แต่เป็นเพียง จุดพิกัด $(-3, -2)$ เพียงจุดเดียวเท่านั้น (Point Circle)

Analyze the graph of $x^2 + y^2 + 6x + 4y + 13 = 0$.

$$ \begin{aligned} (x^2 + 6x) + (y^2 + 4y) &= -13 \\ (x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) &= -13 + 9 + 4 \\ (x + 3)^2 + (y + 2)^2 &= 0 \end{aligned} $$

Since $r^2 = 0$, the graph is not a circle, but exactly a single point at $(-3, -2)$ (Point Circle).

Example 2.9

จงหาความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$

$$ \begin{aligned} (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) &= 20 + 1 + 4 \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 &= 25 \\ r^2 &= 25 \\ r &= 5 \\ d &= 2r \\ &= 2(5) \\ &= 10 \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the diameter of the circle $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$.

$$ \begin{aligned} (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) &= 20 + 1 + 4 \\ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 &= 25 \\ r^2 &= 25 \\ r &= 5 \\ d &= 2r \\ &= 2(5) \\ &= 10 \text{ units} \end{aligned} $$

Example 2.10

จงตรวจสอบว่าสมการ $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 20 = 0$ เป็นสมการวงกลมหรือไม่

$$ \begin{aligned} (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) &= -20 + 4 + 9 \\ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 &= -7 \end{aligned} $$

เนื่องจาก $r^2 = -7$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ในระบบจำนวนจริง สมการนี้จึง ไม่เป็นสมการวงกลม (ไม่มีกราฟบนระนาบจริง)

Check if $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 20 = 0$ is a circle equation.

$$ \begin{aligned} (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) &= -20 + 4 + 9 \\ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 &= -7 \end{aligned} $$

Since $r^2 = -7$, which is impossible for real numbers, this equation does not represent a real circle (Imaginary Circle).

เส้นสัมผัสวงกลม Tangent Line to a Circle

เส้นสัมผัสวงกลม (Tangent Line) คือเส้นตรงที่ตัดกับวงกลมเพียงจุดเดียว เรียกว่า จุดสัมผัส (Point of Tangency) โดยมีสมบัติที่สำคัญมากคือ:

เส้นสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับ "รัศมี" ณ จุดสัมผัสนั้นเสมอ

ความชันของรัศมี (${\color{#1565c0}m_r}$): ${\color{#1565c0}m_r} = \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
ความชันของเส้นสัมผัส (${\color{#e65100}m_t}$): จากกฎเส้นตั้งฉาก ${\color{#1565c0}m_r} \times {\color{#e65100}m_t} = -1$
สมการเส้นสัมผัส: สร้างจากรูปจุดและความชัน $y - y_1 = {\color{#e65100}m_t}(x - x_1)$

A Tangent Line to a Circle intersects the circle at exactly one point called the Point of Tangency. The most critical property is:

A tangent line is always perpendicular to the radius at the point of tangency.

Slope of radius (${\color{#1565c0}m_r}$): ${\color{#1565c0}m_r} = \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Slope of tangent (${\color{#e65100}m_t}$): From perpendicular rule ${\color{#1565c0}m_r} \times {\color{#e65100}m_t} = -1$
Equation of tangent line: From point-slope form $y - y_1 = {\color{#e65100}m_t}(x - x_1)$

Example 3.1

จงหาความชันของเส้นสัมผัสวงกลม $x^2 + y^2 = 25$ ที่จุด $(3, 4)$

$$ \begin{aligned} \text{จุดศูนย์กลาง } C &= (0,0) \\ \text{ความชันรัศมี } m_r &= \frac{4 - 0}{3 - 0} \\ &= \frac{4}{3} \\ m_r \times m_t &= -1 \\ \left(\frac{4}{3}\right) \times m_t &= -1 \\ m_t &= -\frac{3}{4} \end{aligned} $$

Find the slope of the tangent line to the circle $x^2 + y^2 = 25$ at $(3, 4)$.

$$ \begin{aligned} \text{Center } C &= (0,0) \\ \text{Slope of radius } m_r &= \frac{4 - 0}{3 - 0} \\ &= \frac{4}{3} \\ m_r \times m_t &= -1 \\ \left(\frac{4}{3}\right) \times m_t &= -1 \\ m_t &= -\frac{3}{4} \end{aligned} $$

Example 3.2

จากข้อ 3.1 จงหาสมการเส้นสัมผัสวงกลมนั้น

$$ \begin{aligned} y - y_1 &= m_t(x - x_1) \\ y - 4 &= -\frac{3}{4}(x - 3) \\ 4y - 16 &= -3x + 9 \\ 3x + 4y - 25 &= 0 \end{aligned} $$

From Example 3.1, find the equation of that tangent line.

$$ \begin{aligned} y - y_1 &= m_t(x - x_1) \\ y - 4 &= -\frac{3}{4}(x - 3) \\ 4y - 16 &= -3x + 9 \\ 3x + 4y - 25 &= 0 \end{aligned} $$

Example 3.3

วงกลมมีจุดศูนย์กลางที่ $(1, 2)$ และสัมผัสเส้นตรงที่จุด $(4, 6)$ จงหาความชันเส้นสัมผัส

$$ \begin{aligned} m_r &= \frac{6 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{4}{3} \\ \text{เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี} \\ m_t &= -\frac{3}{4} \end{aligned} $$

A circle has its center at $(1, 2)$ and is tangent to a line at $(4, 6)$. Find the slope of the tangent.

$$ \begin{aligned} m_r &= \frac{6 - 2}{4 - 1} \\ &= \frac{4}{3} \\ \text{Tangent is perpendicular to radius} \\ m_t &= -\frac{3}{4} \end{aligned} $$

Example 3.4

จงหาสมการเส้นสัมผัสวงกลม $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 10$ ที่จุด $(5, 0)$

$$ \begin{aligned} C &= (2, -1) \\ m_r &= \frac{0 - (-1)}{5 - 2} \\ &= \frac{1}{3} \\ m_t &= -3 \\ y - 0 &= -3(x - 5) \\ y &= -3x + 15 \\ 3x + y - 15 &= 0 \end{aligned} $$

Find the tangent equation to $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 10$ at the point $(5, 0)$.

$$ \begin{aligned} C &= (2, -1) \\ m_r &= \frac{0 - (-1)}{5 - 2} \\ &= \frac{1}{3} \\ m_t &= -3 \\ y - 0 &= -3(x - 5) \\ y &= -3x + 15 \\ 3x + y - 15 &= 0 \end{aligned} $$

Example 3.5

เส้นตรง $3x+4y-25=0$ สัมผัสวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(0,0)$ จงหารัศมีวงกลมนี้

(รัศมี = ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางไปจนถึงเส้นสัมผัส $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$)

$$ \begin{aligned} r &= \frac{|3(0) + 4(0) - 25|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \\ r &= \frac{|-25|}{\sqrt{9+16}} \\ r &= \frac{25}{5} \\ r &= 5 \end{aligned} $$

The line $3x+4y-25=0$ is tangent to a circle centered at $(0,0)$. Find its radius.

(Radius = distance from center to tangent line $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$)

$$ \begin{aligned} r &= \frac{|3(0) + 4(0) - 25|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \\ r &= \frac{|-25|}{\sqrt{9+16}} \\ r &= \frac{25}{5} \\ r &= 5 \end{aligned} $$

Example 3.6

เส้นตรง $y = x + c$ สัมผัสวงกลม $x^2 + y^2 = 8$ จงหาค่า $c$ ที่เป็นบวก

(จุดศูนย์กลาง $(0,0)$, รัศมี $r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ จัดรูปเส้นตรงเป็น $x-y+c=0$)

$$ \begin{aligned} r &= \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\ 2\sqrt{2} &= \frac{|1(0) - 1(0) + c|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \\ 2\sqrt{2} &= \frac{|c|}{\sqrt{2}} \\ |c| &= 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} \\ |c| &= 4 \\ c &= 4 \quad (\text{เพราะ } c > 0) \end{aligned} $$

The line $y = x + c$ is tangent to $x^2 + y^2 = 8$. Find the positive value of $c$.

(Center $(0,0)$, radius $r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, Line: $x-y+c=0$)

Example 3.7

จงหาสมการเส้นสัมผัสของวงกลม $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ ที่จุด $(5, 1)$

(จัดรูปหากำลังสองสมบูรณ์เพื่อหาจุดศูนย์กลาง แล้วหาความชันเส้นสัมผัส $m_t$ จาก $m_r$)

$$ \begin{aligned} \text{\textbf{ขั้นที่ 1: หาจุดศูนย์กลางของวงกลม}} \\ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) &= 12 + 4 + 9 \\ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 &= 25 \\ C(h, k) &= (2, -3) \\[8pt] \text{\textbf{ขั้นที่ 2: หาความชันของรัศมี }} (m_r) \\ m_r &= \frac{1 - (-3)}{5 - 2} \\ &= \frac{4}{3} \\[8pt] \text{\textbf{ขั้นที่ 3: หาความชันของเส้นสัมผัส }} (m_t) \\ m_r \times m_t &= -1 \\ \left(\frac{4}{3}\right) \times m_t &= -1 \\ m_t &= -\frac{3}{4} \\[8pt] \text{\textbf{ขั้นที่ 4: หาสมการเส้นสัมผัสที่จุด }} (5, 1) \\ y - y_1 &= m_t(x - x_1) \\ y - 1 &= -\frac{3}{4}(x - 5) \\ 4(y - 1) &= -3(x - 5) \\ 4y - 4 &= -3x + 15 \\ 3x + 4y - 19 &= 0 \end{aligned} $$

Find the equation of the tangent line to the circle $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ at the point $(5, 1)$.

(Complete the square to find center, then find tangent slope $m_t$ using $m_r$)

$$ \begin{aligned} \text{\textbf{Step 1: Find the center of the circle}} \\ (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) &= 12 + 4 + 9 \\ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 &= 25 \\ C(h, k) &= (2, -3) \\[8pt] \text{\textbf{Step 2: Find slope of radius }} (m_r) \\ m_r &= \frac{1 - (-3)}{5 - 2} \\ &= \frac{4}{3} \\[8pt] \text{\textbf{Step 3: Find slope of tangent line }} (m_t) \\ m_r \times m_t &= -1 \\ \left(\frac{4}{3}\right) \times m_t &= -1 \\ m_t &= -\frac{3}{4} \\[8pt] \text{\textbf{Step 4: Form tangent line at point }} (5, 1) \\ y - y_1 &= m_t(x - x_1) \\ y - 1 &= -\frac{3}{4}(x - 5) \\ 4(y - 1) &= -3(x - 5) \\ 4y - 4 &= -3x + 15 \\ 3x + 4y - 19 &= 0 \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Conic Section	conus (cone) + sectio (cutting)	ภาคตัดกรวย · รูปร่างที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบ
Circle	circulus (small ring)	วงกลม · เซตของจุดที่มีระยะห่างจากศูนย์กลางเท่ากัน
Center	kentron (sharp point)	จุดศูนย์กลาง · จุดกึ่งกลางคงที่ของวงกลม
Radius	radius (ray, spoke)	รัศมี · ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางไปยังขอบวงกลม
Tangent	tangere (to touch)	เส้นสัมผัส · เส้นตรงที่ตัดหรือแตะวงกลมเพียงจุดเดียว
Perpendicular	perpendiculum (plumb line)	ตั้งฉาก · การทำมุม 90 องศาระหว่างเส้นตรงสองเส้น
Equation	aequare (to make equal)	สมการ · ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับ
Standard Form	standhard (fixed) + forma (shape)	รูปแบบมาตรฐาน · สมการที่จัดรูปให้เห็นรัศมีและศูนย์กลางชัดเจน
General Form	generalis (applicable to all)	รูปทั่วไป · สมการที่กระจายพจน์ทั้งหมด (เช่น x²+y²+Dx+Ey+F=0)