บทนำ: การเกิดภาคตัดกรวย

เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย (Analytic Geometry and Conic Sections) เป็นหัวข้อสำคัญในคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ภาคตัดกรวย คือ รูปร่างที่เกิดขึ้นจากการใช้ระนาบ (Plane) ตัดผ่านกรวยกลมตรงคู่ (Double-napped Cone) ซึ่งลักษณะของรูปเรขาคณิตที่ได้ จะขึ้นอยู่กับมุมของระนาบที่กระทำต่อแกนของกรวย

Analytic Geometry and Conic Sections is a crucial topic in high school mathematics. Conic sections are the shapes formed by the intersection of a plane and a double-napped right circular cone. The resulting geometric shape depends on the angle of the plane relative to the axis of the cone.

📐 นิยามของภาคตัดกรวย 📐 Definition of Conic Sections

ภาคตัดกรวย (Conic Section) คือ เส้นโค้งที่เกิดจากการตัดพื้นผิวของ กรวยกลมตรงคู่ (Double-napped Cone) ด้วย ระนาบ (Plane)

ส่วนประกอบสำคัญของกรวยกลมตรงคู่:

แกน (Axis): เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและตั้งฉากกับฐานของกรวย
จุดยอด (Vertex): จุดที่กรวยทั้งสองใบเชื่อมต่อกัน
เส้นกำเนิดกรวย (Generator): เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและกวาดไปรอบๆ แกนเพื่อสร้างพื้นผิวกรวย

A Conic Section is a curve obtained as the intersection of the surface of a double-napped right circular cone with a plane.

Key components of a double-napped cone:

Axis: The line passing through the vertex and perpendicular to the base.
Vertex: The point where the two nappes (cones) intersect.
Generator: A straight line passing through the vertex and revolving around the axis to form the cone's surface.

✂️ ภาคตัดกรวยรูปแบบต่างๆ ✂️ Types of Conic Sections

รูปร่างของภาคตัดกรวยพิจารณาจาก มุมของระนาบที่ตัด (Angle of Intersection) เทียบกับแกน (Axis) และเส้นกำเนิดกรวย (Generator):

⚪ วงกลม (Circle): ระนาบตัด ตั้งฉาก กับแกนของกรวย (มุมตัด = $90^{\circ}$)
⬭ วงรี (Ellipse): ระนาบตัดเอียงทำมุมกับแกนของกรวย แต่มุมนั้น ต้องน้อยกว่า มุมของเส้นกำเนิดกรวย (ระนาบตัดผ่านกรวยเพียงใบเดียว)
∪ พาราโบลา (Parabola): ระนาบตัด ขนาน กับเส้นกำเนิดกรวย
)( ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola): ระนาบตัดขนานกับแกนของกรวย หรือเอียงจน ตัดกรวยทั้งสองใบ (บนและล่าง)

The shape of the conic section is determined by the angle of the intersecting plane relative to the axis and the generator:

⚪ Circle: The plane intersects perpendicular to the axis of the cone (intersection angle = $90^{\circ}$).
⬭ Ellipse: The plane intersects the cone at an angle to the axis, but this angle must be less than the angle of the generator (cuts only one nappe).
∪ Parabola: The plane is parallel to the generator of the cone.
)( Hyperbola: The plane is parallel to the axis or steep enough to intersect both nappes (top and bottom cones).

Example 2.1

กำหนดให้ระนาบหนึ่งตั้งฉากกับแกนกลางของกรวยกลมตรงคู่ รอยตัดที่เกิดขึ้นบนพื้นผิวกรวยจะเป็นรูปเรขาคณิตชนิดใด?

$$ \begin{aligned} &\text{จากนิยาม เมื่อระนาบตัดตั้งฉากกับแกนของกรวย } (\theta = 90^\circ) \\ &\text{รอยตัดที่ได้จะมีความสมมาตรรอบแกนทุกทิศทาง} \\ &\text{ดังนั้น รูปที่เกิดคือ } \textbf{วงกลม (Circle)} \end{aligned} $$

A plane is perpendicular to the central axis of a double-napped right circular cone. What geometric shape is formed by the intersection?

$$ \begin{aligned} &\text{By definition, when a plane is perpendicular to the axis } (\theta = 90^\circ), \\ &\text{the cross-section is symmetric in all directions around the axis.} \\ &\text{Therefore, the shape formed is a } \textbf{Circle}. \end{aligned} $$

Example 2.2

หากระนาบตัดเอียงทำมุมกับแกนกลาง โดยไม่ขนานกับเส้นกำเนิดกรวย และไม่ขนานกับฐาน รอยตัดบนกรวยใบใดใบหนึ่งจะเป็นรูปอะไร?

$$ \begin{aligned} &\text{เมื่อระนาบเอียงตัดผ่านกรวยใบเดียวและไม่ขนานกับเส้นกำเนิดกรวย} \\ &\text{รอยตัดจะเป็นเส้นโค้งปิดที่มีลักษณะยืดออก} \\ &\text{ดังนั้น รูปที่เกิดคือ } \textbf{วงรี (Ellipse)} \end{aligned} $$

If a plane intersects the cone at an angle to the central axis, not parallel to the generator, and not parallel to the base, what shape is formed on one nappe?

$$ \begin{aligned} &\text{When the plane is tilted, cuts only one nappe, and is not parallel to the generator,} \\ &\text{the cross-section is a stretched, closed curve.} \\ &\text{Therefore, the shape formed is an } \textbf{Ellipse}. \end{aligned} $$

Example 2.3

ถ้าระนาบถูกกำหนดให้มีความลาดเอียงเท่ากับความลาดเอียงของเส้นกำเนิดกรวย (ขนานกับเส้นกำเนิดกรวย) ภาคตัดกรวยที่ได้คือรูปใด?

$$ \begin{aligned} &\text{เมื่อระนาบขนานกับเส้นกำเนิดกรวย (Generator)} \\ &\text{ระนาบจะตัดทะลุฐานของกรวยใบเดียว ทำให้เกิดเส้นโค้งเปิด} \\ &\text{ดังนั้น รูปที่เกิดคือ } \textbf{พาราโบลา (Parabola)} \end{aligned} $$

If the intersecting plane is set to have the same slant as the generator of the cone (parallel to it), which conic section is produced?

$$ \begin{aligned} &\text{When the plane is parallel to the generator,} \\ &\text{it intersects the base of one nappe, creating an open curve.} \\ &\text{Therefore, the shape formed is a } \textbf{Parabola}. \end{aligned} $$

Example 2.4

เมื่อระนาบตัดตั้งฉากกับฐานของกรวย (หรือขนานกับแกนกลาง) และไม่ผ่านจุดยอด จะเกิดเส้นโค้งกี่เส้น และเรียกว่าอะไร?

$$ \begin{aligned} &\text{เมื่อระนาบขนานกับแกนกลางและไม่ผ่านจุดยอด} \\ &\text{ระนาบจะตัดกรวยทั้งสองใบ (nappes) ด้านบนและด้านล่าง} \\ &\text{เกิดเส้นโค้งเปิด } 2 \text{ เส้นโค้งหันหลังให้กัน} \\ &\text{ดังนั้น รูปที่เกิดคือ } \textbf{ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)} \end{aligned} $$

When the plane intersects perpendicular to the bases of the cone (or parallel to the central axis) and does not pass through the vertex, how many curves are formed and what is it called?

$$ \begin{aligned} &\text{When the plane is parallel to the central axis and avoids the vertex,} \\ &\text{it intersects both the upper and lower nappes.} \\ &\text{This creates } 2 \text{ open curves facing away from each other.} \\ &\text{Therefore, the shape formed is a } \textbf{Hyperbola}. \end{aligned} $$

🔻 ภาคตัดกรวยลดรูป 🔻 Degenerate Conics

ภาคตัดกรวยลดรูป (Degenerate Conics) เกิดขึ้นในกรณีพิเศษ เมื่อ ระนาบตัดผ่าน "จุดยอด" (Vertex) ของกรวยพอดี ทำให้เส้นโค้งปกติยุบตัวลงกลายเป็นรูปเรขาคณิตพื้นฐาน:

• จุด (Point): เกิดเมื่อระนาบตัดผ่านจุดยอด และเอียงทำมุมมากกว่าเส้นกำเนิดกรวย (วงกลมและวงรีลดรูป)
/ เส้นตรงหนึ่งเส้น (Single Line): เกิดเมื่อระนาบตัดผ่านจุดยอด และขนานสัมผัสกับเส้นกำเนิดกรวยพอดี (พาราโบลดรูป)
✕ เส้นตรงสองเส้นตัดกัน (Intersecting Lines): เกิดเมื่อระนาบตัดผ่านแกนกลางและจุดยอดของกรวยทั้งสองใบ (ไฮเพอร์โบลดรูป)

Degenerate Conics occur in a special case when the plane intersects exactly at the "vertex" of the cone, causing the standard curves to collapse into basic geometric figures:

• A Point: Formed when the plane passes through the vertex at an angle greater than the generator (degenerate circle/ellipse).
/ A Single Line: Formed when the plane passes through the vertex and is exactly tangent to the generator (degenerate parabola).
✕ Two Intersecting Lines: Formed when the plane passes through the vertex and the central axis, cutting both nappes (degenerate hyperbola).

Example 3.1

ถ้าระนาบตัดกรวยตั้งฉากกับแกนกลางพอดี แต่เลื่อนตำแหน่งให้ตัดผ่าน "จุดยอด" สิ่งที่ได้คืออะไร?

$$ \begin{aligned} &\text{การตัดตั้งฉากกับแกนปกติจะได้ วงกลม (Circle)} \\ &\text{แต่เมื่อระนาบเลื่อนมาอยู่ที่จุดยอด (Vertex) รัศมีของวงกลมจะกลายเป็น } 0 \\ &\text{ดังนั้น วงกลมลดรูปกลายเป็น } \textbf{จุด (Point)} \end{aligned} $$

If the plane intersects the cone exactly perpendicular to the central axis but is positioned to pass through the "vertex", what is the result?

$$ \begin{aligned} &\text{A normal perpendicular intersection yields a Circle.} \\ &\text{However, when the plane is at the vertex, the radius becomes } 0. \\ &\text{Thus, the circle degenerates into a } \textbf{Point}. \end{aligned} $$

Example 3.2

ระนาบหนึ่งถูกปรับให้ขนานกับเส้นกำเนิดกรวย และเคลื่อนที่เข้าไปตัดที่จุดยอดของกรวย รอยตัดที่เกิดขึ้นคืออะไร?

$$ \begin{aligned} &\text{การตัดขนานกับเส้นกำเนิดกรวยปกติจะได้ พาราโบลา} \\ &\text{แต่เมื่อตัดผ่านจุดยอด ระนาบจะสัมผัสไปตามแนวเส้นกำเนิดกรวยเพียงเส้นเดียว} \\ &\text{ดังนั้น พาราโบลดรูปกลายเป็น } \textbf{เส้นตรงหนึ่งเส้น (Single Line)} \end{aligned} $$

A plane is adjusted to be parallel to the generator and moved to intersect at the vertex of the cone. What is the resulting intersection?

$$ \begin{aligned} &\text{A normal intersection parallel to the generator yields a Parabola.} \\ &\text{When intersecting the vertex, the plane is tangent along exactly one generator line.} \\ &\text{Thus, the parabola degenerates into a } \textbf{Single Line}. \end{aligned} $$

Example 3.3

เมื่อเรานำระนาบตัดลงมาตามแนวแกนกลางของกรวยกลมตรงคู่ (ตัดผ่าครึ่งกรวยผ่านจุดยอด) รูปร่างของรอยตัดบนระนาบคืออะไร?

$$ \begin{aligned} &\text{การตัดขนานกับแกนกลางทะลุสองใบปกติจะได้ ไฮเพอร์โบลา} \\ &\text{แต่เมื่อตัดผ่าตรงกลางผ่านจุดยอด รอยตัดจะเป็นขอบของกรวยทั้งสองฝั่งซ้ายขวา} \\ &\text{ดังนั้น ไฮเพอร์โบลดรูปกลายเป็น } \textbf{เส้นตรงสองเส้นตัดกัน (Intersecting Lines)} \\ &\text{(ตัดกันที่จุดยอดพอดี)} \end{aligned} $$

When we pass a plane straight down along the central axis of a double-napped cone (slicing it in half through the vertex), what is the shape of the intersection?

$$ \begin{aligned} &\text{A normal intersection parallel to the axis yields a Hyperbola.} \\ &\text{Slicing through the vertex reveals the edges of the cone on both sides.} \\ &\text{Thus, the hyperbola degenerates into } \textbf{Two Intersecting Lines} \\ &\text{(intersecting exactly at the vertex).} \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Conic Section	conus (cone) + sectio (a cutting)	ภาคตัดกรวย · รูปร่างทางเรขาคณิตที่เกิดจากการตัดรูปกรวยด้วยระนาบ
Plane	planus (flat, level)	ระนาบ · พื้นผิวแบนเรียบที่มีความกว้างและความยาวไม่สิ้นสุด แต่ไม่มีความหนา
Vertex	vertere (to turn)	จุดยอด · จุดสูงสุดหรือจุดที่พื้นผิวกรวยทั้งสองใบมาบรรจบกัน
Axis	axis (axle, pivot)	แกน · เส้นสมมติที่เป็นศูนย์กลางความสมมาตรของรูปทรงเรขาคณิต
Generator	generare (to create, produce)	เส้นกำเนิดกรวย · เส้นตรงที่กวาดไปรอบแกนเพื่อสร้างพื้นผิวของกรวย
Ellipse	elleipsis (a falling short, defect)	วงรี · ภาคตัดกรวยที่เป็นเส้นโค้งปิด เกิดเมื่อระนาบตัดเฉียงกว่าเส้นกำเนิด
Parabola	parabole (application, placing beside)	พาราโบลา · ภาคตัดกรวยที่เกิดเมื่อระนาบตัดขนานกับเส้นกำเนิดกรวย
Hyperbola	hyperbole (excess, a throwing beyond)	ไฮเพอร์โบลา · ภาคตัดกรวยแบบเปิดสองเส้น เกิดเมื่อระนาบตัดขนานแกน
Degenerate	de- (down) + genus (kind, race)	ลดรูป / เสื่อม · รูปแบบพิเศษที่สูญเสียคุณสมบัติความโค้งปกติไป กลายเป็นรูปพื้นฐาน
Intersection	inter- (between) + secare (to cut)	จุดตัด / รอยตัด · บริเวณที่วัตถุทางเรขาคณิต (เช่น ระนาบและกรวย) มาทับซ้อนกัน