ภาคตัดกรวย: วงรี

นิยามของวงรี: เซตของจุดทุกจุดบนระนาบที่ ผลบวกของระยะทาง จากจุดนั้นไปยัง จุดคงที่ 2 จุด (จุดโฟกัส) มีค่าคงที่เสมอ ซึ่งค่าคงที่นี้จะเท่ากับ ความยาวแกนเอก ($2a$)

Definition of an Ellipse: The set of all points in a plane such that the sum of their distances from two fixed points (foci) is constant. This constant always equals the length of the major axis ($2a$).

ส่วนประกอบและความสัมพันธ์ Components & Relationships

จุดศูนย์กลาง (Center, $C$): จุดกึ่งกลางของวงรี มักใช้พิกัด $(h, k)$
จุดยอด (Vertices, $V$): จุดปลายทั้งสองของแกนเอก ห่างจากศูนย์กลางเป็นระยะ $a$
จุดโฟกัส (Foci, $F$): จุดคงที่ 2 จุดอยู่บนแกนเอก ห่างจากศูนย์กลางเป็นระยะ $c$
แกนเอก (Major Axis): แกนที่ยาวที่สุดของวงรี มีความยาวเท่ากับ $2a$
แกนโท (Minor Axis): แกนที่สั้นที่สุด ตั้งฉากกับแกนเอก มีความยาวเท่ากับ $2b$
ความยาวเลตัสเรกตัม (Latus Rectum): ส่วนของเส้นตรงที่ผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับแกนเอก ยาว $\displaystyle \frac{2b^2}{a}$
ความสัมพันธ์ของ $a, b, c$: $a^2 = b^2 + c^2$ (ในวงรี $a$ ยาวที่สุดเสมอ)
ความเยื้องศูนย์กลาง (Eccentricity, $e$): $e = \displaystyle \frac{c}{a}$ โดยที่ $0 < e < 1$ เสมอ

Center ($C$): The midpoint of the ellipse, usually denoted by $(h, k)$.
Vertices ($V$): The endpoints of the major axis, located at a distance of $a$ from the center.
Foci ($F$): Two fixed points on the major axis, located at a distance of $c$ from the center.
Major Axis: The longest axis, with a length of $2a$.
Minor Axis: The shortest axis perpendicular to the major axis, with a length of $2b$.
Latus Rectum: A line segment through a focus and perpendicular to the major axis. Length is $\displaystyle \frac{2b^2}{a}$.
Relationship of $a, b, c$: $a^2 = b^2 + c^2$ (in an ellipse, $a$ is always the largest).
Eccentricity ($e$): $e = \displaystyle \frac{c}{a}$, where $0 < e < 1$ always.

วงรีรีตามแกน X (แกนเอกขนานแกน X) Horizontal Ellipse (Major axis parallel to X-axis)

สมการมาตรฐาน (Standard Form): ตัวเลขมาก ($a^2$) จะอยู่ใต้ตัวแปร $x$ เสมอ

$$ \frac{({\color{#1565c0}x-h})^2}{{\color{#e65100}a}^2} + \frac{({\color{#1565c0}y-k})^2}{{\color{#e65100}b}^2} = 1 \quad (a > b > 0) $$

จุดศูนย์กลาง: $C(h, k)$
จุดยอด: $V(h \pm a, k)$
จุดโฟกัส: $F(h \pm c, k)$
จุดปลายแกนโท: $B(h, k \pm b)$
สมการแกนเอก: $y = k$ (ยาว $2a$ ขนานแกน X)
สมการแกนโท: $x = h$ (ยาว $2b$ ขนานแกน Y)
ความยาวเลตัสเรกตัม: $\displaystyle \frac{2b^2}{a}$
ความสัมพันธ์: $c^2 = a^2 - b^2$ หรือ $a^2 = b^2 + c^2$

Standard Equation: The larger denominator ($a^2$) is always under the $x$-term.

$$ \frac{({\color{#1565c0}x-h})^2}{{\color{#e65100}a}^2} + \frac{({\color{#1565c0}y-k})^2}{{\color{#e65100}b}^2} = 1 \quad (a > b > 0) $$

Center: $C(h, k)$
Vertices: $V(h \pm a, k)$
Foci: $F(h \pm c, k)$
Co-vertices: $B(h, k \pm b)$
Major Axis: $y = k$ (Length $2a$, parallel to X-axis)
Minor Axis: $x = h$ (Length $2b$, parallel to Y-axis)
Latus Rectum: $\displaystyle \frac{2b^2}{a}$
Relationship: $c^2 = a^2 - b^2$ or $a^2 = b^2 + c^2$

Example 2.1

จงหาจุดศูนย์กลาง ความยาวแกนเอก และความยาวแกนโทของวงรี $\displaystyle \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$

$$ \begin{aligned} \text{เทียบกับรูปมาตรฐาน } \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} &= 1 \\ (h, k) &= (0, 0) \\ a^2 &= 25 \\ a &= 5 \\ b^2 &= 9 \\ b &= 3 \\ \text{ความยาวแกนเอก } 2a &= 2(5) \\ &= 10 \\ \text{ความยาวแกนโท } 2b &= 2(3) \\ &= 6 \end{aligned} $$

Find the center, length of major axis, and length of minor axis of $\displaystyle \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$.

$$ \begin{aligned} \text{Compare with } \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} &= 1 \\ (h, k) &= (0, 0) \\ a^2 &= 25 \\ a &= 5 \\ b^2 &= 9 \\ b &= 3 \\ \text{Major axis length } 2a &= 2(5) \\ &= 10 \\ \text{Minor axis length } 2b &= 2(3) \\ &= 6 \end{aligned} $$

Example 2.2

จงหาจุดยอดและจุดโฟกัสของวงรี $\displaystyle \frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{7} = 1$

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (2, -1) \\ a^2 &= 16 \\ a &= 4 \\ b^2 &= 7 \\ c^2 &= a^2 - b^2 \\ c^2 &= 16 - 7 \\ c^2 &= 9 \\ c &= 3 \\ V(h \pm a, k) &= (2 \pm 4, -1) \\ V_1 &= (6, -1) \\ V_2 &= (-2, -1) \\ F(h \pm c, k) &= (2 \pm 3, -1) \\ F_1 &= (5, -1) \\ F_2 &= (-1, -1) \end{aligned} $$

Find the vertices and foci of $\displaystyle \frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{7} = 1$.

Example 2.3

จงหาสมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(0,0)$ จุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่ $(5,0)$ และจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่ $(3,0)$

$$ \begin{aligned} C(h,k) &= (0,0) \\ a &= 5 \\ a^2 &= 25 \\ c &= 3 \\ c^2 &= 9 \\ a^2 &= b^2 + c^2 \\ 25 &= b^2 + 9 \\ b^2 &= 25 - 9 \\ b^2 &= 16 \\ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} &= 1 \\ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} &= 1 \end{aligned} $$

Find the equation of an ellipse with center $(0,0)$, a vertex at $(5,0)$, and a focus at $(3,0)$.

Example 2.4

จงหาสมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(1,2)$ แกนเอกอยู่ในแนวนอนยาว $10$ หน่วย และแกนโทยาว $6$ หน่วย

$$ \begin{aligned} C(h,k) &= (1,2) \\ 2a &= 10 \\ a &= 5 \\ a^2 &= 25 \\ 2b &= 6 \\ b &= 3 \\ b^2 &= 9 \\ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} &= 1 \\ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-2)^2}{9} &= 1 \end{aligned} $$

Find the equation of a horizontal ellipse with center $(1,2)$, major axis length 10, and minor axis length 6.

Example 2.5

จงจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์เพื่อหาสมการมาตรฐานของ $9x^2 + 25y^2 - 36x + 50y - 164 = 0$

$$ \begin{aligned} (9x^2 - 36x) + (25y^2 + 50y) &= 164 \\ 9(x^2 - 4x) + 25(y^2 + 2y) &= 164 \\ 9(x^2 - 4x + 4) + 25(y^2 + 2y + 1) &= 164 + 9(4) + 25(1) \\ 9(x-2)^2 + 25(y+1)^2 &= 164 + 36 + 25 \\ 9(x-2)^2 + 25(y+1)^2 &= 225 \\ \frac{9(x-2)^2}{225} + \frac{25(y+1)^2}{225} &= \frac{225}{225} \\ \frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{9} &= 1 \end{aligned} $$

Complete the square to find the standard form of $9x^2 + 25y^2 - 36x + 50y - 164 = 0$.

Example 2.6

จงหาความยาวเลตัสเรกตัมของวงรี $\displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$

$$ \begin{aligned} a^2 &= 16 \\ a &= 4 \\ b^2 &= 4 \\ \text{ความยาวเลตัสเรกตัม } &= \frac{2b^2}{a} \\ &= \frac{2(4)}{4} \\ &= 2 \end{aligned} $$

Find the length of the latus rectum for $\displaystyle \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.

$$ \begin{aligned} a^2 &= 16 \\ a &= 4 \\ b^2 &= 4 \\ \text{Latus Rectum Length } &= \frac{2b^2}{a} \\ &= \frac{2(4)}{4} \\ &= 2 \end{aligned} $$

Example 2.7

จงหาค่าความเยื้องศูนย์กลาง ($e$) ของวงรี $\displaystyle \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$

$$ \begin{aligned} a^2 &= 100 \\ a &= 10 \\ b^2 &= 64 \\ c^2 &= a^2 - b^2 \\ c^2 &= 100 - 64 \\ c^2 &= 36 \\ c &= 6 \\ \text{ความเยื้องศูนย์กลาง } e &= \frac{c}{a} \\ e &= \frac{6}{10} \\ e &= 0.6 \end{aligned} $$

Find the eccentricity ($e$) of $\displaystyle \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.

$$ \begin{aligned} a^2 &= 100 \\ a &= 10 \\ b^2 &= 64 \\ c^2 &= a^2 - b^2 \\ c^2 &= 100 - 64 \\ c^2 &= 36 \\ c &= 6 \\ \text{Eccentricity } e &= \frac{c}{a} \\ e &= \frac{6}{10} \\ e &= 0.6 \end{aligned} $$

วงรีรีตามแกน Y (แกนเอกขนานแกน Y) Vertical Ellipse (Major axis parallel to Y-axis)

สมการมาตรฐาน (Standard Form): ตัวเลขมาก ($a^2$) จะย้ายมาอยู่ใต้ตัวแปร $y$ แทน

$$ \frac{({\color{#1565c0}x-h})^2}{{\color{#e65100}b}^2} + \frac{({\color{#1565c0}y-k})^2}{{\color{#e65100}a}^2} = 1 \quad (a > b > 0) $$

จุดศูนย์กลาง: $C(h, k)$
จุดยอด: $V(h, k \pm a)$
จุดโฟกัส: $F(h, k \pm c)$
จุดปลายแกนโท: $B(h \pm b, k)$
สมการแกนเอก: $x = h$ (ยาว $2a$ ขนานแกน Y)
สมการแกนโท: $y = k$ (ยาว $2b$ ขนานแกน X)
ความยาวเลตัสเรกตัม: $\displaystyle \frac{2b^2}{a}$
ความสัมพันธ์: $c^2 = a^2 - b^2$ หรือ $a^2 = b^2 + c^2$

Standard Equation: The larger denominator ($a^2$) is now under the $y$-term.

$$ \frac{({\color{#1565c0}x-h})^2}{{\color{#e65100}b}^2} + \frac{({\color{#1565c0}y-k})^2}{{\color{#e65100}a}^2} = 1 \quad (a > b > 0) $$

Center: $C(h, k)$
Vertices: $V(h, k \pm a)$
Foci: $F(h, k \pm c)$
Co-vertices: $B(h \pm b, k)$
Major Axis: $x = h$ (Length $2a$, parallel to Y-axis)
Minor Axis: $y = k$ (Length $2b$, parallel to X-axis)
Latus Rectum: $\displaystyle \frac{2b^2}{a}$
Relationship: $c^2 = a^2 - b^2$ or $a^2 = b^2 + c^2$

Example 3.1

จงหาจุดศูนย์กลาง และค่า $a, b, c$ ของวงรี $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$

(ตัวส่วนใต้ $y^2$ มากกว่า แสดงว่าเป็นวงรีแนวตั้ง)

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (0, 0) \\ a^2 &= 25 \\ a &= 5 \quad \text{(ตัวมากคือ } a^2 \text{)} \\ b^2 &= 9 \\ b &= 3 \\ c^2 &= a^2 - b^2 \\ c^2 &= 25 - 9 \\ c^2 &= 16 \\ c &= 4 \end{aligned} $$

Find the center, and $a, b, c$ values of $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$.

(Denominator under $y^2$ is larger, so it is a vertical ellipse)

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (0, 0) \\ a^2 &= 25 \\ a &= 5 \quad \text{(Larger value is } a^2 \text{)} \\ b^2 &= 9 \\ b &= 3 \\ c^2 &= a^2 - b^2 \\ c^2 &= 25 - 9 \\ c^2 &= 16 \\ c &= 4 \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหาจุดยอดของวงรี $\displaystyle \frac{(x+3)^2}{16} + \frac{(y-2)^2}{25} = 1$

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (-3, 2) \\ a^2 &= 25 \\ a &= 5 \\ V(h, k \pm a) &= (-3, 2 \pm 5) \\ V_1 &= (-3, 7) \\ V_2 &= (-3, -3) \end{aligned} $$

Find the vertices of $\displaystyle \frac{(x+3)^2}{16} + \frac{(y-2)^2}{25} = 1$.

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (-3, 2) \\ a^2 &= 25 \\ a &= 5 \\ V(h, k \pm a) &= (-3, 2 \pm 5) \\ V_1 &= (-3, 7) \\ V_2 &= (-3, -3) \end{aligned} $$

Example 3.3

จงหาสมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(0,0)$ จุดยอดจุดหนึ่งที่ $(0,13)$ และโฟกัสที่ $(0,5)$

$$ \begin{aligned} C(h,k) &= (0,0) \\ a &= 13 \\ a^2 &= 169 \\ c &= 5 \\ c^2 &= 25 \\ b^2 &= a^2 - c^2 \\ b^2 &= 169 - 25 \\ b^2 &= 144 \\ \frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} &= 1 \\ \frac{x^2}{144} + \frac{y^2}{169} &= 1 \end{aligned} $$

Find the equation of an ellipse with center $(0,0)$, a vertex at $(0,13)$, and a focus at $(0,5)$.

Example 3.4

จงหาสมการวงรีที่มีจุดโฟกัสที่ $(-2, 1)$ และ $(-2, 7)$ และความยาวแกนเอกเป็น $10$

(พิกัด x ของโฟกัสคงที่ แสดงว่าเป็นวงรีแนวตั้ง จุดศูนย์กลางอยู่กึ่งกลางโฟกัส)

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= \left(-2, \frac{1+7}{2}\right) \\ &= (-2, 4) \\ c &= 7 - 4 \\ &= 3 \\ c^2 &= 9 \\ 2a &= 10 \\ a &= 5 \\ a^2 &= 25 \\ b^2 &= a^2 - c^2 \\ b^2 &= 25 - 9 \\ b^2 &= 16 \\ \frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} &= 1 \\ \frac{(x+2)^2}{16} + \frac{(y-4)^2}{25} &= 1 \end{aligned} $$

Find the equation of an ellipse with foci at $(-2, 1)$ and $(-2, 7)$ and major axis length 10.

(Same x-coordinates for foci means vertical ellipse. Center is the midpoint)

Example 3.5

จงหาสมการมาตรฐานของ $25x^2 + 9y^2 + 100x - 54y - 44 = 0$ (จัดกำลังสองสมบูรณ์)

$$ \begin{aligned} 25(x^2 + 4x) + 9(y^2 - 6y) &= 44 \\ 25(x^2 + 4x + 4) + 9(y^2 - 6y + 9) &= 44 + 25(4) + 9(9) \\ 25(x+2)^2 + 9(y-3)^2 &= 44 + 100 + 81 \\ 25(x+2)^2 + 9(y-3)^2 &= 225 \\ \frac{25(x+2)^2}{225} + \frac{9(y-3)^2}{225} &= \frac{225}{225} \\ \frac{(x+2)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{25} &= 1 \end{aligned} $$

Find the standard equation of $25x^2 + 9y^2 + 100x - 54y - 44 = 0$ (completing the square).

Example 3.6

วงรีแนวตั้งมีจุดโฟกัสที่ $(0, \pm 8)$ และมีความเยื้องศูนย์กลาง $e = 0.8$ จงหาสมการ

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (0, 0) \\ c &= 8 \\ e &= \frac{c}{a} \\ 0.8 &= \frac{8}{a} \\ \frac{4}{5} &= \frac{8}{a} \\ a &= 10 \\ a^2 &= 100 \\ b^2 &= a^2 - c^2 \\ b^2 &= 100 - 64 \\ b^2 &= 36 \\ \frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} &= 1 \\ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{100} &= 1 \end{aligned} $$

A vertical ellipse has foci at $(0, \pm 8)$ and eccentricity $e = 0.8$. Find the equation.

Example 3.7

จงหาความยาวแกนเอกและแกนโทของสมการ $4x^2 + y^2 = 16$

$$ \begin{aligned} \frac{4x^2}{16} + \frac{y^2}{16} &= \frac{16}{16} \\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} &= 1 \\ a^2 &= 16 \\ a &= 4 \\ b^2 &= 4 \\ b &= 2 \\ \text{ความยาวแกนเอก } 2a &= 2(4) \\ &= 8 \\ \text{ความยาวแกนโท } 2b &= 2(2) \\ &= 4 \end{aligned} $$

Find the lengths of the major and minor axes for $4x^2 + y^2 = 16$.

$$ \begin{aligned} \frac{4x^2}{16} + \frac{y^2}{16} &= \frac{16}{16} \\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} &= 1 \\ a^2 &= 16 \\ a &= 4 \\ b^2 &= 4 \\ b &= 2 \\ \text{Major axis length } 2a &= 2(4) \\ &= 8 \\ \text{Minor axis length } 2b &= 2(2) \\ &= 4 \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Ellipse	elleipsis (falling short, defect)	วงรี · เส้นโค้งปิดที่จุดทุกจุดมีผลบวกระยะห่างจากสองจุดคงที่เท่ากันเสมอ
Major Axis	maior (greater) + axis (axle)	แกนเอก · เส้นผ่านศูนย์กลางที่ยาวที่สุดของวงรี (ความยาว 2a)
Minor Axis	minor (less, smaller)	แกนโท · เส้นผ่านศูนย์กลางที่สั้นที่สุดของวงรี (ความยาว 2b)
Foci (พหูพจน์ของ Focus)	focus (hearth, fireplace)	จุดโฟกัส · จุดคงที่ 2 จุดบนแกนเอกที่ใช้อ้างอิงการสร้างวงรี
Vertices	vertere (to turn)	จุดยอด · จุดปลายสุดทั้งสองข้างของแกนเอกในวงรี
Eccentricity	ex- (out of) + centrum (center)	ความเยื้องศูนย์กลาง (e) · อัตราส่วน c/a ตัวบ่งบอกความรีหรือความแบนของวงรี
Constant	con- (with) + stare (to stand)	ค่าคงที่ · ค่าตัวเลขที่แน่นอนและไม่มีการเปลี่ยนแปลงตลอดสมการ
Latus Rectum	latus (side) + rectum (straight)	เลตัสเรกตัม · ส่วนของเส้นตรงที่ผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับแกนเอก