ภาคตัดกรวย: ไฮเพอร์โบลา

นิยามของไฮเพอร์โบลา: เซตของจุดทุกจุดบนระนาบที่ ผลต่างของระยะทาง จากจุดนั้นไปยัง จุดคงที่ 2 จุด (จุดโฟกัส) มีค่าคงที่เสมอ ซึ่งค่าคงที่นี้จะเท่ากับ ความยาวแกนตามขวาง ($2a$)

Definition of a Hyperbola: The set of all points in a plane such that the absolute difference of their distances from two fixed points (foci) is constant. This constant always equals the length of the transverse axis ($2a$).

ส่วนประกอบและความสัมพันธ์ Components & Relationships

จุดศูนย์กลาง (Center, $C$): จุดกึ่งกลางของไฮเพอร์โบลา มักใช้พิกัด $(h, k)$
จุดยอด (Vertices, $V$): จุดที่กราฟตัดกับแกนตามขวาง ห่างจากศูนย์กลางเป็นระยะ $a$
จุดโฟกัส (Foci, $F$): จุดคงที่ 2 จุด ห่างจากศูนย์กลางเป็นระยะ $c$ (โดยที่จุดโฟกัสจะอยู่ด้านในโค้งเสมอ)
แกนตามขวาง (Transverse Axis): ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอดทั้งสอง มีความยาวเท่ากับ $2a$
แกนสังยุค (Conjugate Axis): แกนที่ตั้งฉากกับแกนตามขวางที่จุดศูนย์กลาง มีความยาวเท่ากับ $2b$
เส้นกำกับ (Asymptotes): เส้นตรงสองเส้นตัดผ่านจุดศูนย์กลาง ที่กราฟไฮเพอร์โบลาจะลู่เข้าหาแต่ไม่มีวันตัด
ความสัมพันธ์ของ $a, b, c$: $c^2 = a^2 + b^2$ (ในไฮเพอร์โบลา ค่า $c$ จะยาวที่สุดเสมอ)
ความเยื้องศูนย์กลาง (Eccentricity, $e$): $e = \displaystyle \frac{c}{a}$ โดยที่ $e > 1$ เสมอ

Center ($C$): The midpoint of the hyperbola, usually denoted by $(h, k)$.
Vertices ($V$): The points where the hyperbola intersects its transverse axis, at distance $a$ from the center.
Foci ($F$): Two fixed points at distance $c$ from the center (always inside the curves).
Transverse Axis: The line segment connecting the two vertices, with a length of $2a$.
Conjugate Axis: The line segment perpendicular to the transverse axis at the center, with a length of $2b$.
Asymptotes: Two lines passing through the center that the hyperbola approaches but never touches.
Relationship of $a, b, c$: $c^2 = a^2 + b^2$ (in a hyperbola, $c$ is always the largest).
Eccentricity ($e$): $e = \displaystyle \frac{c}{a}$, where $e > 1$ always.

ไฮเพอร์โบลาเปิดซ้าย-ขวา (แกนตามขวางขนานแกน X) Horizontal Hyperbola (Transverse axis parallel to X-axis)

สมการมาตรฐาน (Standard Form): ตัวแปร $x$ จะเป็นตัวตั้ง (เป็นบวก) เสมอ และตัวแปร $y$ จะเป็นตัวลบ

$$ \frac{({\color{#1565c0}x-h})^2}{{\color{#e65100}a}^2} - \frac{({\color{#1565c0}y-k})^2}{{\color{#e65100}b}^2} = 1 $$

จุดศูนย์กลาง: $C(h, k)$
จุดยอด: $V(h \pm a, k)$
จุดโฟกัส: $F(h \pm c, k)$ โดยที่ $c^2 = a^2 + b^2$
แกนตามขวาง: ขนานแกน X (บนเส้นตรง $y = k$) ยาว $2a$
แกนสังยุค: ขนานแกน Y (บนเส้นตรง $x = h$) ยาว $2b$
สมการเส้นกำกับ: $y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$

Standard Equation: The $x$-term is always positive (leading term), and the $y$-term is negative.

$$ \frac{({\color{#1565c0}x-h})^2}{{\color{#e65100}a}^2} - \frac{({\color{#1565c0}y-k})^2}{{\color{#e65100}b}^2} = 1 $$

Center: $C(h, k)$
Vertices: $V(h \pm a, k)$
Foci: $F(h \pm c, k)$ where $c^2 = a^2 + b^2$
Transverse Axis: Parallel to X-axis ($y = k$), length $2a$
Conjugate Axis: Parallel to Y-axis ($x = h$), length $2b$
Asymptote Equations: $y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$

Example 2.1

จงหาจุดศูนย์กลาง และค่า $a, b, c$ ของไฮเพอร์โบลา $\displaystyle \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$

$$ \begin{aligned} \frac{(x-0)^2}{16} - \frac{(y-0)^2}{9} &= 1 \\ C(h, k) &= (0, 0) \\ a^2 &= 16 \\ a &= 4 \\ b^2 &= 9 \\ b &= 3 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \\ c^2 &= 16 + 9 \\ &= 25 \\ c &= 5 \end{aligned} $$

Find the center, and $a, b, c$ values of $\displaystyle \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$.

Example 2.2

จงหาจุดยอดและจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา $\displaystyle \frac{(x-3)^2}{25} - \frac{(y+2)^2}{144} = 1$

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (3, -2) \\ a^2 &= 25 \\ a &= 5 \\ b^2 &= 144 \\ b &= 12 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \\ c^2 &= 25 + 144 \\ &= 169 \\ c &= 13 \\ V(h \pm a, k) &= (3 \pm 5, -2) \\ \text{จุดยอด } &= (8, -2) \text{ และ } (-2, -2) \\ F(h \pm c, k) &= (3 \pm 13, -2) \\ \text{จุดโฟกัส } &= (16, -2) \text{ และ } (-10, -2) \end{aligned} $$

Find the vertices and foci of $\displaystyle \frac{(x-3)^2}{25} - \frac{(y+2)^2}{144} = 1$.

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (3, -2) \\ a^2 &= 25 \\ a &= 5 \\ b^2 &= 144 \\ b &= 12 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \\ c^2 &= 25 + 144 \\ &= 169 \\ c &= 13 \\ V(h \pm a, k) &= (3 \pm 5, -2) \\ \text{Vertices } &= (8, -2) \text{ and } (-2, -2) \\ F(h \pm c, k) &= (3 \pm 13, -2) \\ \text{Foci } &= (16, -2) \text{ and } (-10, -2) \end{aligned} $$

Example 2.3

จงหาสมการไฮเพอร์โบลาที่มีจุดยอดที่ $(\pm 4, 0)$ และจุดโฟกัสที่ $(\pm 5, 0)$

(จุดยอดและโฟกัสอยู่บนแกน X แสดงว่าเป็นไฮเพอร์โบลาเปิดซ้าย-ขวา มีจุดศูนย์กลางที่ $(0,0)$)

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (0, 0) \\ a &= 4 \\ a^2 &= 16 \\ c &= 5 \\ c^2 &= 25 \\ b^2 &= c^2 - a^2 \\ b^2 &= 25 - 16 \\ &= 9 \\ \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} &= 1 \\ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} &= 1 \end{aligned} $$

Find the equation of a hyperbola with vertices at $(\pm 4, 0)$ and foci at $(\pm 5, 0)$.

(Vertices and foci on X-axis mean horizontal hyperbola with center $(0,0)$)

Example 2.4

จงหาสมการไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(0,0)$ จุดโฟกัสจุดหนึ่งที่ $(5,0)$ และแกนตามขวางยาว $8$ หน่วย

(โฟกัส $(5,0)$ อยู่บนแกน X จึงเป็นไฮเพอร์โบลาเปิดซ้าย-ขวา)

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (0, 0) \\ c &= 5 \\ c^2 &= 25 \\ 2a &= 8 \\ a &= 4 \\ a^2 &= 16 \\ b^2 &= c^2 - a^2 \\ b^2 &= 25 - 16 \\ &= 9 \\ \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} &= 1 \\ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} &= 1 \end{aligned} $$

Find the equation of a hyperbola with center $(0,0)$, a focus at $(5,0)$, and transverse axis length $8$.

(Focus $(5,0)$ is on the X-axis, meaning horizontal hyperbola)

Example 2.5

จงจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์เพื่อหาสมการมาตรฐานของ $9x^2 - 16y^2 - 36x - 32y - 124 = 0$

$$ \begin{aligned} (9x^2 - 36x) - (16y^2 + 32y) &= 124 \\ 9(x^2 - 4x) - 16(y^2 + 2y) &= 124 \\ 9(x^2 - 4x + 2^2) - 16(y^2 + 2y + 1^2) &= 124 + 9(4) - 16(1) \\ 9(x-2)^2 - 16(y+1)^2 &= 124 + 36 - 16 \\ 9(x-2)^2 - 16(y+1)^2 &= 144 \\ \frac{9(x-2)^2}{144} - \frac{16(y+1)^2}{144} &= 1 \\ \frac{(x-2)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} &= 1 \end{aligned} $$

Complete the square to find the standard form of $9x^2 - 16y^2 - 36x - 32y - 124 = 0$.

Example 2.6

จงหาความยาวเลตัสเรกตัมของไฮเพอร์โบลา $\displaystyle \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$

$$ \begin{aligned} a^2 &= 9 \\ a &= 3 \\ b^2 &= 16 \\ \text{ความยาวเลตัสเรกตัม } &= \frac{2b^2}{a} \\ &= \frac{2(16)}{3} \\ &= \frac{32}{3} \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the length of the latus rectum for $\displaystyle \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$.

$$ \begin{aligned} a^2 &= 9 \\ a &= 3 \\ b^2 &= 16 \\ \text{Latus Rectum Length } &= \frac{2b^2}{a} \\ &= \frac{2(16)}{3} \\ &= \frac{32}{3} \text{ units} \end{aligned} $$

Example 2.7

จงหาค่าความเยื้องศูนย์กลาง ($e$) ของไฮเพอร์โบลา $\displaystyle \frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$

$$ \begin{aligned} a^2 &= 144 \\ a &= 12 \\ b^2 &= 25 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \\ c^2 &= 144 + 25 \\ &= 169 \\ c &= 13 \\ e &= \frac{c}{a} \\ e &= \frac{13}{12} \\ &\approx 1.083 \end{aligned} $$

Find the eccentricity ($e$) of $\displaystyle \frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$.

$$ \begin{aligned} a^2 &= 144 \\ a &= 12 \\ b^2 &= 25 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \\ c^2 &= 144 + 25 \\ &= 169 \\ c &= 13 \\ e &= \frac{c}{a} \\ e &= \frac{13}{12} \\ &\approx 1.083 \end{aligned} $$

ไฮเพอร์โบลาเปิดบน-ล่าง (แกนตามขวางขนานแกน Y) Vertical Hyperbola (Transverse axis parallel to Y-axis)

สมการมาตรฐาน (Standard Form): ตัวแปร $y$ จะเป็นตัวตั้ง (เป็นบวก) เสมอ และตัวแปร $x$ จะเป็นตัวลบ

$$ \frac{({\color{#1565c0}y-k})^2}{{\color{#e65100}a}^2} - \frac{({\color{#1565c0}x-h})^2}{{\color{#e65100}b}^2} = 1 $$

จุดศูนย์กลาง: $C(h, k)$
จุดยอด: $V(h, k \pm a)$
จุดโฟกัส: $F(h, k \pm c)$ โดยที่ $c^2 = a^2 + b^2$
แกนตามขวาง: ขนานแกน Y (บนเส้นตรง $x = h$) ยาว $2a$
แกนสังยุค: ขนานแกน X (บนเส้นตรง $y = k$) ยาว $2b$
สมการเส้นกำกับ: $y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$

Standard Equation: The $y$-term is always positive (leading term), and the $x$-term is negative.

$$ \frac{({\color{#1565c0}y-k})^2}{{\color{#e65100}a}^2} - \frac{({\color{#1565c0}x-h})^2}{{\color{#e65100}b}^2} = 1 $$

Center: $C(h, k)$
Vertices: $V(h, k \pm a)$
Foci: $F(h, k \pm c)$ where $c^2 = a^2 + b^2$
Transverse Axis: Parallel to Y-axis ($x = h$), length $2a$
Conjugate Axis: Parallel to X-axis ($y = k$), length $2b$
Asymptote Equations: $y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$

Example 3.1

จงหาจุดศูนย์กลาง และค่า $a, b, c$ ของไฮเพอร์โบลา $\displaystyle \frac{y^2}{36} - \frac{x^2}{64} = 1$

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (0, 0) \\ a^2 &= 36 \\ a &= 6 \\ b^2 &= 64 \\ b &= 8 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \\ c^2 &= 36 + 64 \\ &= 100 \\ c &= 10 \end{aligned} $$

Find the center, and $a, b, c$ values of $\displaystyle \frac{y^2}{36} - \frac{x^2}{64} = 1$.

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (0, 0) \\ a^2 &= 36 \\ a &= 6 \\ b^2 &= 64 \\ b &= 8 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \\ c^2 &= 36 + 64 \\ &= 100 \\ c &= 10 \end{aligned} $$

Example 3.2

จงหาจุดยอดและจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา $\displaystyle \frac{(y-1)^2}{9} - \frac{(x+4)^2}{16} = 1$

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (-4, 1) \\ a^2 &= 9 \\ a &= 3 \\ b^2 &= 16 \\ b &= 4 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \\ c^2 &= 9 + 16 \\ &= 25 \\ c &= 5 \\ V(h, k \pm a) &= (-4, 1 \pm 3) \\ \text{จุดยอด } &= (-4, 4) \text{ และ } (-4, -2) \\ F(h, k \pm c) &= (-4, 1 \pm 5) \\ \text{จุดโฟกัส } &= (-4, 6) \text{ และ } (-4, -4) \end{aligned} $$

Find the vertices and foci of $\displaystyle \frac{(y-1)^2}{9} - \frac{(x+4)^2}{16} = 1$.

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (-4, 1) \\ a^2 &= 9 \\ a &= 3 \\ b^2 &= 16 \\ b &= 4 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \\ c^2 &= 9 + 16 \\ &= 25 \\ c &= 5 \\ V(h, k \pm a) &= (-4, 1 \pm 3) \\ \text{Vertices } &= (-4, 4) \text{ and } (-4, -2) \\ F(h, k \pm c) &= (-4, 1 \pm 5) \\ \text{Foci } &= (-4, 6) \text{ and } (-4, -4) \end{aligned} $$

Example 3.3

จงหาสมการไฮเพอร์โบลาที่มีจุดยอดที่ $(0, \pm 3)$ และจุดโฟกัสที่ $(0, \pm 5)$

(จุดยอดและโฟกัสอยู่บนแกน Y แสดงว่าเป็นไฮเพอร์โบลาเปิดบน-ล่าง มีจุดศูนย์กลางที่ $(0,0)$)

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (0, 0) \\ a &= 3 \\ a^2 &= 9 \\ c &= 5 \\ c^2 &= 25 \\ b^2 &= c^2 - a^2 \\ b^2 &= 25 - 9 \\ &= 16 \\ \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} &= 1 \\ \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} &= 1 \end{aligned} $$

Find the equation of a hyperbola with vertices at $(0, \pm 3)$ and foci at $(0, \pm 5)$.

(Vertices and foci on Y-axis mean vertical hyperbola with center $(0,0)$)

Example 3.4

จงหาสมการไฮเพอร์โบลาที่มีจุดโฟกัสที่ $(-2, 1)$ และ $(-2, 11)$ และแกนตามขวางยาว $8$ หน่วย

(โฟกัสทั้งสองมีค่า $x = -2$ เท่ากัน จึงเป็นไฮเพอร์โบลาเปิดบน-ล่าง)

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= \left(-2, \frac{1+11}{2}\right) \\ &= (-2, 6) \\ 2c &= 11 - 1 \\ &= 10 \\ c &= 5 \\ c^2 &= 25 \\ 2a &= 8 \\ a &= 4 \\ a^2 &= 16 \\ b^2 &= c^2 - a^2 \\ b^2 &= 25 - 16 \\ &= 9 \\ \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} &= 1 \\ \frac{(y-6)^2}{16} - \frac{(x+2)^2}{9} &= 1 \end{aligned} $$

Find the equation of a hyperbola with foci at $(-2, 1)$ and $(-2, 11)$ and transverse axis length $8$.

(Both foci have same $x = -2$, meaning vertical hyperbola)

Example 3.5

จงจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์เพื่อหาสมการมาตรฐานของ $16y^2 - 9x^2 - 64y - 54x - 161 = 0$

$$ \begin{aligned} (16y^2 - 64y) - (9x^2 + 54x) &= 161 \\ 16(y^2 - 4y) - 9(x^2 + 6x) &= 161 \\ 16(y^2 - 4y + 2^2) - 9(x^2 + 6x + 3^2) &= 161 + 16(4) - 9(9) \\ 16(y-2)^2 - 9(x+3)^2 &= 161 + 64 - 81 \\ 16(y-2)^2 - 9(x+3)^2 &= 144 \\ \frac{16(y-2)^2}{144} - \frac{9(x+3)^2}{144} &= 1 \\ \frac{(y-2)^2}{9} - \frac{(x+3)^2}{16} &= 1 \end{aligned} $$

Complete the square to find the standard form of $16y^2 - 9x^2 - 64y - 54x - 161 = 0$.

Example 3.6

จงหาความยาวเลตัสเรกตัมของไฮเพอร์โบลา $\displaystyle \frac{(y-2)^2}{25} - \frac{x^2}{11} = 1$

$$ \begin{aligned} a^2 &= 25 \\ a &= 5 \\ b^2 &= 11 \\ \text{ความยาวเลตัสเรกตัม } &= \frac{2b^2}{a} \\ &= \frac{2(11)}{5} \\ &= \frac{22}{5} \text{ หน่วย} \end{aligned} $$

Find the length of the latus rectum for $\displaystyle \frac{(y-2)^2}{25} - \frac{x^2}{11} = 1$.

$$ \begin{aligned} a^2 &= 25 \\ a &= 5 \\ b^2 &= 11 \\ \text{Latus Rectum Length } &= \frac{2b^2}{a} \\ &= \frac{2(11)}{5} \\ &= \frac{22}{5} \text{ units} \end{aligned} $$

Example 3.7

จงหาค่าความเยื้องศูนย์กลาง ($e$) ของไฮเพอร์โบลา $\displaystyle \frac{y^2}{225} - \frac{x^2}{64} = 1$

$$ \begin{aligned} a^2 &= 225 \\ a &= 15 \\ b^2 &= 64 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \\ c^2 &= 225 + 64 \\ &= 289 \\ c &= 17 \\ e &= \frac{c}{a} \\ e &= \frac{17}{15} \\ &\approx 1.133 \end{aligned} $$

Find the eccentricity ($e$) of $\displaystyle \frac{y^2}{225} - \frac{x^2}{64} = 1$.

$$ \begin{aligned} a^2 &= 225 \\ a &= 15 \\ b^2 &= 64 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \\ c^2 &= 225 + 64 \\ &= 289 \\ c &= 17 \\ e &= \frac{c}{a} \\ e &= \frac{17}{15} \\ &\approx 1.133 \end{aligned} $$

เส้นกำกับ และ ไฮเพอร์โบลามุมฉาก Asymptotes & Rectangular Hyperbola

เส้นกำกับ (Asymptotes) คือเส้นตรงที่กราฟจะลู่เข้าหาแต่ไม่ตัด สมการเส้นกำกับสามารถหาได้ง่ายๆ โดยการเปลี่ยนเลข $1$ ในสมการมาตรฐานให้เป็น $0$ แล้วแก้สมการหา $y$

ไฮเพอร์โบลาเปิดซ้าย-ขวา: $y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$
ไฮเพอร์โบลาเปิดบน-ล่าง: $y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$
จุดตัดของเส้นกำกับ: ตัดกันที่จุดศูนย์กลาง $C(h, k)$ เสมอ
ความชันเส้นกำกับ: มีความชันเป็นบวกและลบที่มีขนาดเท่ากันคือ $m = \pm \frac{b}{a}$ หรือ $\pm \frac{a}{b}$
ไฮเพอร์โบลามุมฉาก: เกิดเมื่อ $a = b$ ทำให้เส้นกำกับทั้งสองตั้งฉากกัน ($m_1 \cdot m_2 = -1$)

ไฮเพอร์โบลามุมฉาก (Rectangular Hyperbola) คือกรณีเฉพาะที่ $a = b$ ซึ่งทำให้เส้นกำกับตั้งฉากกันพอดี สามารถเขียนสมการในรูปแบบ $x^2 - y^2 = a^2$ หรือหากกราฟหมุนทำมุม 45 องศา จะเขียนในรูป $xy = k$ ได้

Asymptotes are lines that the curve approaches but never intersects. You can find them by replacing the $1$ in the standard equation with $0$ and solving for $y$.

Horizontal Hyperbola: $y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)$
Vertical Hyperbola: $y - k = \pm \frac{a}{b}(x - h)$
Intersection Point: Intersects at the center $C(h, k)$
Asymptote Slopes: Symmetrical slopes $m = \pm \frac{b}{a}$ or $\pm \frac{a}{b}$
Rectangular Hyperbola: Occurs when $a = b$, making asymptotes perpendicular ($m_1 \cdot m_2 = -1$)

A Rectangular Hyperbola is a special case where $a = b$, making its asymptotes perpendicular. It can be written as $x^2 - y^2 = a^2$, or as $xy = k$ if rotated by 45 degrees.

Example 4.1

จงหาสมการเส้นกำกับของ $\displaystyle \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$

(เปลี่ยนค่าคงที่ $1$ ทางขวาให้เป็น $0$ แล้วแก้สมการหา $y$)

$$ \begin{aligned} \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} &= 0 \\ \frac{y^2}{9} &= \frac{x^2}{16} \\ y^2 &= \frac{9}{16}x^2 \\ y &= \pm \frac{3}{4}x \end{aligned} $$

Find the asymptotes of $\displaystyle \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$.

(Replace $1$ with $0$ and solve for $y$)

$$ \begin{aligned} \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} &= 0 \\ \frac{y^2}{9} &= \frac{x^2}{16} \\ y^2 &= \frac{9}{16}x^2 \\ y &= \pm \frac{3}{4}x \end{aligned} $$

Example 4.2

จงหาสมการเส้นกำกับของ $\displaystyle \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{144} = 1$

(เปลี่ยน $1$ เป็น $0$ สำหรับไฮเพอร์โบลาเปิดบน-ล่าง)

$$ \begin{aligned} \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{144} &= 0 \\ \frac{y^2}{25} &= \frac{x^2}{144} \\ y^2 &= \frac{25}{144}x^2 \\ y &= \pm \frac{5}{12}x \end{aligned} $$

Find the asymptotes of $\displaystyle \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{144} = 1$.

(Replace $1$ with $0$ for vertical hyperbola)

$$ \begin{aligned} \frac{y^2}{25} - \frac{x^2}{144} &= 0 \\ \frac{y^2}{25} &= \frac{x^2}{144} \\ y^2 &= \frac{25}{144}x^2 \\ y &= \pm \frac{5}{12}x \end{aligned} $$

Example 4.3

จงหาสมการเส้นกำกับของ $\displaystyle \frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y+1)^2}{9} = 1$

(จุดศูนย์กลางอยู่ที่ $C(2, -1)$)

$$ \begin{aligned} \frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y+1)^2}{9} &= 0 \\ \frac{(y+1)^2}{9} &= \frac{(x-2)^2}{4} \\ (y+1)^2 &= \frac{9}{4}(x-2)^2 \\ y+1 &= \pm \frac{3}{2}(x-2) \end{aligned} $$

Find the asymptotes of $\displaystyle \frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y+1)^2}{9} = 1$.

(Center is at $C(2, -1)$)

$$ \begin{aligned} \frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y+1)^2}{9} &= 0 \\ \frac{(y+1)^2}{9} &= \frac{(x-2)^2}{4} \\ (y+1)^2 &= \frac{9}{4}(x-2)^2 \\ y+1 &= \pm \frac{3}{2}(x-2) \end{aligned} $$

Example 4.4

จงหาค่า $a, b, c$ ของไฮเพอร์โบลามุมฉาก $x^2 - y^2 = 16$

$$ \begin{aligned} \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{16} &= 1 \\ a^2 &= 16 \\ a &= 4 \\ b^2 &= 16 \\ b &= 4 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \\ c^2 &= 16 + 16 \\ &= 32 \\ c &= \sqrt{32} \\ &= 4\sqrt{2} \end{aligned} $$

Find the $a, b, c$ values of the rectangular hyperbola $x^2 - y^2 = 16$.

$$ \begin{aligned} \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{16} &= 1 \\ a^2 &= 16 \\ a &= 4 \\ b^2 &= 16 \\ b &= 4 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \\ c^2 &= 16 + 16 \\ &= 32 \\ c &= \sqrt{32} \\ &= 4\sqrt{2} \end{aligned} $$

Example 4.5

จงหาสมการไฮเพอร์โบลาเปิดซ้ายขวาที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(0,0)$ จุดยอดที่ $(\pm 3, 0)$ และมีเส้นกำกับคือ $y = \pm 2x$

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (0, 0) \\ a &= 3 \\ a^2 &= 9 \\ \text{ความชันเส้นกำกับ } \frac{b}{a} &= 2 \\ \frac{b}{3} &= 2 \\ b &= 6 \\ b^2 &= 36 \\ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} &= 1 \\ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} &= 1 \end{aligned} $$

Find the equation of a horizontal hyperbola with center $(0,0)$, vertices $(\pm 3, 0)$, and asymptotes $y = \pm 2x$.

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (0, 0) \\ a &= 3 \\ a^2 &= 9 \\ \text{Asymptote slope } \frac{b}{a} &= 2 \\ \frac{b}{3} &= 2 \\ b &= 6 \\ b^2 &= 36 \\ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} &= 1 \\ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} &= 1 \end{aligned} $$

Example 4.6

จงหาสมการไฮเพอร์โบลาเปิดบนล่างที่มีจุดศูนย์กลาง $(1,2)$ ค่า $a=4$ และเส้นกำกับมีความชัน $\pm \frac{4}{3}$

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (1, 2) \\ a &= 4 \\ a^2 &= 16 \\ \text{ความชันเส้นกำกับ (เปิดบน-ล่าง)} &= \pm \frac{a}{b} \\ \frac{4}{b} &= \frac{4}{3} \\ b &= 3 \\ b^2 &= 9 \\ \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} &= 1 \\ \frac{(y-2)^2}{16} - \frac{(x-1)^2}{9} &= 1 \end{aligned} $$

Find the equation of a vertical hyperbola with center $(1,2)$, $a=4$, and asymptote slopes $\pm \frac{4}{3}$.

$$ \begin{aligned} C(h, k) &= (1, 2) \\ a &= 4 \\ a^2 &= 16 \\ \text{Asymptote slope (vertical)} &= \pm \frac{a}{b} \\ \frac{4}{b} &= \frac{4}{3} \\ b &= 3 \\ b^2 &= 9 \\ \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} &= 1 \\ \frac{(y-2)^2}{16} - \frac{(x-1)^2}{9} &= 1 \end{aligned} $$

Example 4.7

จงหาพิกัดจุดยอดของไฮเพอร์โบลามุมฉาก $xy = 8$

(กราฟ $xy=k$ จะมีจุดยอดอยู่บนเส้นตรง $y=x$ เสมอ)

$$ \begin{aligned} \text{แทน } y &= x \text{ ลงในสมการ: } \\ x(x) &= 8 \\ x^2 &= 8 \\ x &= \pm \sqrt{8} \\ &= \pm 2\sqrt{2} \\ \text{เนื่องจาก } y &= x \\ \text{จุดยอดคือ } (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) &\text{ และ } (-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2}) \end{aligned} $$

Find the vertices of the rectangular hyperbola $xy = 8$.

(The graph $xy=k$ always has its vertices on the line $y=x$.)

$$ \begin{aligned} \text{Substitute } y &= x \text{ into the equation: } \\ x(x) &= 8 \\ x^2 &= 8 \\ x &= \pm \sqrt{8} \\ &= \pm 2\sqrt{2} \\ \text{Since } y &= x \\ \text{Vertices are } (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) &\text{ and } (-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2}) \end{aligned} $$

คำศัพท์	รากศัพท์ / Root	ความหมาย / Meaning
Hyperbola	hyper- (over, beyond) + ballein (to throw)	ไฮเพอร์โบลา · เส้นโค้งที่จุดทุกจุดมีผลต่างระยะห่างจากสองจุดคงที่เท่ากันเสมอ
Focus / Foci	focus (fireplace, hearth)	จุดโฟกัส · จุดคงที่ 2 จุดที่เป็นศูนย์รวมการกำหนดระยะห่างของภาคตัดกรวย
Vertex / Vertices	vertere (to turn)	จุดยอด · จุดวกกลับบนเส้นโค้งที่อยู่ใกล้จุดศูนย์กลางมากที่สุด (ระยะห่าง $a$)
Center	kentron (sharp point, pivot)	จุดศูนย์กลาง · จุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดและจุดโฟกัสทั้งสอง $C(h, k)$
Transverse Axis	trans- (across) + vertere (to turn)	แกนตามขวาง · เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา (ความยาว $2a$)
Conjugate Axis	con- (together) + jugare (to join)	แกนสังยุค · เส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนตามขวางที่จุดศูนย์กลาง (ความยาว $2b$)
Asymptote	a- (not) + sym- (together) + piptein (to fall)	เส้นกำกับ · เส้นตรงที่กราฟลู่เข้าหาอย่างไม่มีที่สิ้นสุด แต่ไม่เคยตัดกันเลย
Eccentricity	ek- (out of) + kentron (center)	ความเยื้องศูนย์กลาง ($e = \frac{c}{a}$) · ค่าวัดความเบี่ยงเบนจากวงกลม (ไฮเพอร์โบลา $e > 1$)
Latus Rectum	latus (side) + rectum (straight)	เลตัสเรกตัม · คอร์ดที่ลากผ่านจุดโฟกัสและตั้งฉากกับแกนหลัก (ความยาว $\frac{2b^2}{a}$)
Directrix	dirigere (to guide, keep straight)	เส้นไดเรกตริกซ์ · เส้นบังคับคงที่ใช้เทียบอัตราส่วนระยะทางจุดบนภาคตัดกรวย
Branch	branca (paw, limb, branch)	กิ่งของกราฟ · เส้นโค้งแต่ละข้างของไฮเพอร์โบลาที่แยกจากกันอย่างสมมาตร (มี 2 กิ่ง)
Difference	dis- (apart) + ferre (to bring, carry)	ผลต่าง · ผลลัพธ์จากการลบ นิยามหลักของระยะทางจุดบนไฮเพอร์โบลาไปยังจุดโฟกัส ($\|d_1 - d_2\| = 2a$)
Rectangular	rectus (straight) + angulus (angle)	มุมฉาก · (Rectangular Hyperbola) ไฮเพอร์โบลาที่มีเส้นกำกับตั้งฉากกัน ($a = b$)
Slope	aslope (inclined, sloping)	ความชัน ($m$) · อัตราการเปลี่ยนแปลง $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ ของเส้นกำกับ

ไฮเพอร์โบลา
Hyperbola

ส่วนประกอบและความสัมพันธ์ Components & Relationships

ไฮเพอร์โบลาเปิดซ้าย-ขวา (แกนตามขวางขนานแกน X) Horizontal Hyperbola (Transverse axis parallel to X-axis)

ไฮเพอร์โบลาเปิดบน-ล่าง (แกนตามขวางขนานแกน Y) Vertical Hyperbola (Transverse axis parallel to Y-axis)

เส้นกำกับ และ ไฮเพอร์โบลามุมฉาก Asymptotes & Rectangular Hyperbola

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary