กลับ
คณิตศาสตร์ · Mathematics

พาราโบลา
Parabola

ภาคตัดกรวย (Conic Sections)

TH

นิยามของพาราโบลา: เซตของจุดทุกจุดบนระนาบที่มีระยะห่างจาก จุดคงที่ (จุดโฟกัส) เท่ากับระยะห่างจาก เส้นตรงคงที่ (เส้นไดเรกตริกซ์) เสมอ

EN

Definition of a Parabola: The set of all points in a plane that are equidistant from a fixed point (the focus) and a fixed line (the directrix).

1

ส่วนประกอบของพาราโบลา Components of a Parabola

TH
  • จุดยอด (Vertex, $V$): จุดวกกลับของพาราโบลา มักใช้พิกัด $(h, k)$
  • จุดโฟกัส (Focus, $F$): จุดคงที่ที่อยู่ด้านในส่วนโค้ง ห่างจากจุดยอดเป็นระยะ $|c|$
  • เส้นไดเรกตริกซ์ (Directrix): เส้นตรงคงที่ที่อยู่ด้านนอกส่วนโค้ง ห่างจากจุดยอดเป็นระยะ $|c|$
  • แกนสมมาตร (Axis of Symmetry): เส้นตรงที่ลากผ่านจุดโฟกัสและจุดยอด แบ่งพาราโบลาออกเป็นสองซีกเท่าๆ กัน
  • ความยาวเลตัสเรกตัม (Latus Rectum): ส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัสและตั้งฉากกับแกนสมมาตร มีความยาวเท่ากับ $4|c|$ เสมอ
EN
  • Vertex ($V$): The turning point of the parabola, usually denoted by $(h, k)$.
  • Focus ($F$): The fixed point inside the curve, located at a distance of $|c|$ from the vertex.
  • Directrix: The fixed line outside the curve, located at a distance of $|c|$ from the vertex.
  • Axis of Symmetry: The line passing through the focus and vertex that divides the parabola into two symmetric halves.
  • Latus Rectum: The line segment passing through the focus and perpendicular to the axis of symmetry. Its length is always $4|c|$.
X Y O(0,0) h k k - c y = k - c x = h |c| |c| F(h, k+c) V(h, k) แกนสมมาตร · Axis แกนสมมาตร x = h Axis of Symmetry จุดโฟกัส · Focus จุดโฟกัส F(h, k+c) Focus F(h, k+c) เส้นไดเรกตริกซ์ · Directrix ไดเรกตริกซ์ y = k - c Directrix y = k - c เลตัสเรกตัม · Latus Rectum ความยาว = 4|c| เลตัสเรกตัม (Latus Rectum) ความยาว = 4|c| Latus Rectum Length = 4|c| จุดยอด · Vertex จุดยอด V(h, k) Vertex V(h, k) (x - h)² = 4c(y - k)
X Y O(0,0) h k h - c x = h - c y = k |c| |c| F(h+c, k) V(h, k) เส้นไดเรกตริกซ์ · Directrix ไดเรกตริกซ์ x = h - c Directrix x = h - c จุดยอด · Vertex จุดยอด V(h, k) Vertex V(h, k) จุดโฟกัส · Focus จุดโฟกัส F(h+c, k) Focus F(h+c, k) เลตัสเรกตัม · Latus Rectum ความยาว = 4|c| เลตัสเรกตัม (Latus Rectum) ความยาว = 4|c| Latus Rectum Length = 4|c| แกนสมมาตร · Axis แกนสมมาตร y = k Axis of Symmetry y = k (y - k)² = 4c(x - h)
2

พาราโบลาหงาย/คว่ำ (แกนขนานแกน Y) Vertical Parabola (Axis parallel to Y-axis)

TH

สมการมาตรฐาน (Standard Form):

$$ ({\color{#1565c0}x-h})^2 = 4{\color{#e65100}c}({\color{#1565c0}y-k}) $$
  • ถ้า ${\color{#e65100}c} > 0$ พาราโบลาจะ หงาย (เปิดขึ้น)
  • ถ้า ${\color{#e65100}c} < 0$ พาราโบลาจะ คว่ำ (เปิดลง)
  • จุดยอด: $V(h, k)$
  • จุดโฟกัส: $F(h, k+c)$
  • สมการไดเรกตริกซ์: $y = k-c$
  • แกนสมมาตร: $x = h$
EN

Standard Equation:

$$ ({\color{#1565c0}x-h})^2 = 4{\color{#e65100}c}({\color{#1565c0}y-k}) $$
  • If ${\color{#e65100}c} > 0$, the parabola opens upwards.
  • If ${\color{#e65100}c} < 0$, the parabola opens downwards.
  • Vertex: $V(h, k)$
  • Focus: $F(h, k+c)$
  • Directrix: $y = k-c$
  • Axis of Symmetry: $x = h$
c > 0 · พาราโบลาหงาย Opens Upward c > 0 (พาราโบลาหงาย) c > 0 (Opens Upward) x = h y = k - c 4|c| F(h, k+c) V(h, k) |c| |c| กราฟหงาย · จุดยอดต่ำสุด · โฟกัสอยู่เหนือจุดยอด Opens Upward · Minimum Vertex · Focus above Vertex กราฟหงาย · จุดยอดต่ำสุด · โฟกัสอยู่เหนือจุดยอด Opens Upward · Minimum Vertex · Focus above Vertex c < 0 · พาราโบลาคว่ำ Opens Downward c < 0 (พาราโบลาคว่ำ) c < 0 (Opens Downward) y = k - c x = h 4|c| V(h, k) F(h, k+c) |c| |c| กราฟคว่ำ · จุดยอดสูงสุด · โฟกัสอยู่ใต้จุดยอด Opens Downward · Maximum Vertex · Focus below Vertex กราฟคว่ำ · จุดยอดสูงสุด · โฟกัสอยู่ใต้จุดยอด Opens Downward · Maximum Vertex · Focus below Vertex
Example 2.1

จงหาจุดยอด จุดโฟกัส และเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา $x^2 = 12y$

$$ \begin{aligned} (x-0)^2 &= 12(y-0) \\ 4c &= 12 \\ c &= 3 \\ V(h, k) &= (0, 0) \\ F(h, k+c) &= (0, 3) \\ \text{ไดเรกตริกซ์ } y &= 0 - 3 \\ \text{ไดเรกตริกซ์ } y &= -3 \end{aligned} $$

Find the vertex, focus, and directrix of $x^2 = 12y$.

$$ \begin{aligned} (x-0)^2 &= 12(y-0) \\ 4c &= 12 \\ c &= 3 \\ V(h, k) &= (0, 0) \\ F(h, k+c) &= (0, 3) \\ \text{Directrix } y &= 0 - 3 \\ \text{Directrix } y &= -3 \end{aligned} $$
Example 2.2

จงหาส่วนประกอบต่างๆ ของพาราโบลา $(x-2)^2 = -8(y+1)$

$$ \begin{aligned} 4c &= -8 \\ c &= -2 \\ V(h, k) &= (2, -1) \\ F(h, k+c) &= (2, -1-2) \\&= (2, -3) \\ \text{ไดเรกตริกซ์ } y &= -1 - (-2) \\ \text{ไดเรกตริกซ์ } y &= 1 \\ \text{เลตัสเรกตัม } &= |4c| \\ \text{เลตัสเรกตัม }&= 8 \end{aligned} $$

Find the components of $(x-2)^2 = -8(y+1)$.

$$ \begin{aligned} 4c &= -8 \\ c &= -2 \\ V(h, k) &= (2, -1) \\ F(h, k+c) &= (2, -1-2) \\ &= (2, -3) \\ \text{Directrix } y &= -1 - (-2) \\ \text{Directrix } y &= 1 \\ \text{Latus Rectum } &= |4c| \\ \text{Latus Rectum } &= 8 \end{aligned} $$
Example 2.3

จงหาสมการพาราโบลาที่มีจุดยอด $(0,0)$ และจุดโฟกัส $(0, 5)$

(พิกัด x เท่ากัน แสดงว่าเป็นพาราโบลาแกนตั้ง หงาย/คว่ำ)

$$ \begin{aligned} V(h, k) &= (0, 0) \\ F(h, k+c) &= (0, 5) \\ k+c &= 5 \\ 0+c &= 5 \\ c &= 5 \\ (x-h)^2 &= 4c(y-k) \\ (x-0)^2 &= 4(5)(y-0) \\ x^2 &= 20y \end{aligned} $$

Find the equation of a parabola with vertex $(0,0)$ and focus $(0, 5)$.

(Same x-coordinate means vertical axis)

$$ \begin{aligned} V(h, k) &= (0, 0) \\ F(h, k+c) &= (0, 5) \\ k+c &= 5 \\ 0+c &= 5 \\ c &= 5 \\ (x-h)^2 &= 4c(y-k) \\ (x-0)^2 &= 4(5)(y-0) \\ x^2 &= 20y \end{aligned} $$
Example 2.4

จงหาสมการพาราโบลาที่มีจุดโฟกัส $(-3, 2)$ และเส้นไดเรกตริกซ์ $y = 6$

(จุดยอดอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสและเส้นไดเรกตริกซ์)

$$ \begin{aligned} h &= -3 \\ k &= \frac{2 + 6}{2} \\ k &= 4 \\ V(h, k) &= (-3, 4) \\ c &= 2 - 4 \\ c &= -2 \\ (x-(-3))^2 &= 4(-2)(y-4) \\ (x+3)^2 &= -8(y-4) \end{aligned} $$

Find the equation of a parabola with focus $(-3, 2)$ and directrix $y = 6$.

(Vertex is the midpoint between focus and directrix)

$$ \begin{aligned} h &= -3 \\ k &= \frac{2 + 6}{2} \\ k &= 4 \\ V(h, k) &= (-3, 4) \\ c &= 2 - 4 \\ c &= -2 \\ (x-(-3))^2 &= 4(-2)(y-4) \\ (x+3)^2 &= -8(y-4) \end{aligned} $$
Example 2.5

จงหาจุดยอดของพาราโบลา $x^2 - 4x - 12y - 32 = 0$ (โดยการจัดกำลังสองสมบูรณ์)

$$ \begin{aligned} x^2 - 4x &= 12y + 32 \\ x^2 - 4x + 2^2 &= 12y + 32 + 4 \\ (x - 2)^2 &= 12y + 36 \\ (x - 2)^2 &= 12(y + 3) \\ V(h, k) &= (2, -3) \end{aligned} $$

Find the vertex of $x^2 - 4x - 12y - 32 = 0$ (by completing the square).

$$ \begin{aligned} x^2 - 4x &= 12y + 32 \\ x^2 - 4x + 2^2 &= 12y + 32 + 4 \\ (x - 2)^2 &= 12y + 36 \\ (x - 2)^2 &= 12(y + 3) \\ V(h, k) &= (2, -3) \end{aligned} $$
Example 2.6

จากข้อ 2.5 จงหาความยาวเลตัสเรกตัม

$$ \begin{aligned} (x - 2)^2 &= 12(y + 3) \\ 4c &= 12 \\ \text{เลตัสเรกตัม } &= |4c| \\ \text{เลตัสเรกตัม } &= 12 \end{aligned} $$

From Example 2.5, find the length of the latus rectum.

$$ \begin{aligned} (x - 2)^2 &= 12(y + 3) \\ 4c &= 12 \\ \text{Latus Rectum } &= |4c| \\ \text{Latus Rectum } &= 12 \end{aligned} $$
Example 2.7

พาราโบลามีจุดยอดที่ $(1, 2)$ แกนสมมาตรขนานกับแกน Y และผ่านจุด $(3, 10)$ จงหาสมการ

$$ \begin{aligned} (x-h)^2 &= 4c(y-k) \\ (x-1)^2 &= 4c(y-2) \\ (3-1)^2 &= 4c(10-2) \\ 2^2 &= 4c(8) \\ 4 &= 32c \\ c &= \frac{1}{8} \\ (x-1)^2 &= 4\left(\frac{1}{8}\right)(y-2) \\ (x-1)^2 &= \frac{1}{2}(y-2) \end{aligned} $$

A parabola has vertex $(1, 2)$, axis parallel to Y-axis, and passes through $(3, 10)$. Find its equation.

$$ \begin{aligned} (x-h)^2 &= 4c(y-k) \\ (x-1)^2 &= 4c(y-2) \\ (3-1)^2 &= 4c(10-2) \\ 2^2 &= 4c(8) \\ 4 &= 32c \\ c &= \frac{1}{8} \\ (x-1)^2 &= 4\left(\frac{1}{8}\right)(y-2) \\ (x-1)^2 &= \frac{1}{2}(y-2) \end{aligned} $$
3

พาราโบลาเปิดซ้าย/ขวา (แกนขนานแกน X) Horizontal Parabola (Axis parallel to X-axis)

TH

สมการมาตรฐาน (Standard Form):

$$ ({\color{#1565c0}y-k})^2 = 4{\color{#e65100}c}({\color{#1565c0}x-h}) $$
  • ถ้า ${\color{#e65100}c} > 0$ พาราโบลาจะ ตะแคงขวา (เปิดขวา)
  • ถ้า ${\color{#e65100}c} < 0$ พาราโบลาจะ ตะแคงซ้าย (เปิดซ้าย)
  • จุดยอด: $V(h, k)$
  • จุดโฟกัส: $F(h+c, k)$
  • สมการไดเรกตริกซ์: $x = h-c$
  • แกนสมมาตร: $y = k$
EN

Standard Equation:

$$ ({\color{#1565c0}y-k})^2 = 4{\color{#e65100}c}({\color{#1565c0}x-h}) $$
  • If ${\color{#e65100}c} > 0$, the parabola opens right.
  • If ${\color{#e65100}c} < 0$, the parabola opens left.
  • Vertex: $V(h, k)$
  • Focus: $F(h+c, k)$
  • Directrix: $x = h-c$
  • Axis of Symmetry: $y = k$
c > 0 · พาราโบลาเปิดขวา Opens Right c > 0 (เปิดขวา) c > 0 (Opens Right) y = k x = h - c 4|c| V(h, k) F(h+c, k) |c| |c| กราฟเปิดขวา · จุดยอดซ้ายสุด · โฟกัสอยู่ขวาของจุดยอด Opens Right · Leftmost Vertex · Focus right of Vertex กราฟเปิดขวา · จุดยอดซ้ายสุด · โฟกัสอยู่ขวาของจุดยอด Opens Right · Leftmost Vertex · Focus right of Vertex c < 0 · พาราโบลาเปิดซ้าย Opens Left c < 0 (เปิดซ้าย) c < 0 (Opens Left) y = k x = h - c 4|c| V(h, k) F(h+c, k) |c| |c| กราฟเปิดซ้าย · จุดยอดขวาสุด · โฟกัสอยู่ซ้ายของจุดยอด Opens Left · Rightmost Vertex · Focus left of Vertex กราฟเปิดซ้าย · จุดยอดขวาสุด · โฟกัสอยู่ซ้ายของจุดยอด Opens Left · Rightmost Vertex · Focus left of Vertex
Example 3.1

จงหาจุดยอด จุดโฟกัส และเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา $y^2 = -16x$

$$ \begin{aligned} (y-0)^2 &= -16(x-0) \\ 4c &= -16 \\ c &= -4 \\ V(h, k) &= (0, 0) \\ F(h+c, k) &= (-4, 0) \\ \text{ไดเรกตริกซ์ } x &= 0 - (-4) \\ \text{ไดเรกตริกซ์ } x &= 4 \end{aligned} $$

Find the vertex, focus, and directrix of $y^2 = -16x$.

$$ \begin{aligned} (y-0)^2 &= -16(x-0) \\ 4c &= -16 \\ c &= -4 \\ V(h, k) &= (0, 0) \\ F(h+c, k) &= (-4, 0) \\ \text{Directrix } x &= 0 - (-4) \\ \text{Directrix } x &= 4 \end{aligned} $$
Example 3.2

จงหาส่วนประกอบต่างๆ ของพาราโบลา $(y-3)^2 = 8(x+2)$

$$ \begin{aligned} 4c &= 8 \\ c &= 2 \\ V(h, k) &= (-2, 3) \\ F(h+c, k) &= (-2+2, 3) \\ &= (0, 3) \\ \text{ไดเรกตริกซ์ } x &= -2 - 2 \\ \text{ไดเรกตริกซ์ } x &= -4 \\ \text{เลตัสเรกตัม } &= |4c| \\ \text{เลตัสเรกตัม } &= 8 \end{aligned} $$

Find the components of $(y-3)^2 = 8(x+2)$.

$$ \begin{aligned} 4c &= 8 \\ c &= 2 \\ V(h, k) &= (-2, 3) \\ F(h+c, k) &= (-2+2, 3) \\ &= (0, 3) \\ \text{Directrix } x &= -2 - 2 \\ \text{Directrix } x &= -4 \\ \text{Latus Rectum } &= |4c| \\ \text{Latus Rectum } &= 8 \end{aligned} $$
Example 3.3

จงหาสมการพาราโบลาที่มีจุดยอด $(-1, 4)$ และจุดโฟกัส $(2, 4)$

(พิกัด y เท่ากัน แสดงว่าเป็นพาราโบลาแนวนอน เปิดซ้าย/ขวา)

$$ \begin{aligned} V(h, k) &= (-1, 4) \\ F(h+c, k) &= (2, 4) \\ h+c &= 2 \\ -1+c &= 2 \\ c &= 3 \\ (y-k)^2 &= 4c(x-h) \\ (y-4)^2 &= 4(3)(x-(-1)) \\ (y-4)^2 &= 12(x+1) \end{aligned} $$

Find the equation of a parabola with vertex $(-1, 4)$ and focus $(2, 4)$.

(Same y-coordinate means horizontal axis)

$$ \begin{aligned} V(h, k) &= (-1, 4) \\ F(h+c, k) &= (2, 4) \\ h+c &= 2 \\ -1+c &= 2 \\ c &= 3 \\ (y-k)^2 &= 4c(x-h) \\ (y-4)^2 &= 4(3)(x-(-1)) \\ (y-4)^2 &= 12(x+1) \end{aligned} $$
Example 3.4

จงหาสมการพาราโบลาที่มีจุดโฟกัส $(5, -2)$ และเส้นไดเรกตริกซ์ $x = -1$

$$ \begin{aligned} k &= -2 \\ h &= \frac{5 + (-1)}{2} \\ h &= 2 \\ V(h, k) &= (2, -2) \\ c &= 5 - 2 \\ c &= 3 \\ (y-(-2))^2 &= 4(3)(x-2) \\ (y+2)^2 &= 12(x-2) \end{aligned} $$

Find the equation of a parabola with focus $(5, -2)$ and directrix $x = -1$.

$$ \begin{aligned} k &= -2 \\ h &= \frac{5 + (-1)}{2} \\ h &= 2 \\ V(h, k) &= (2, -2) \\ c &= 5 - 2 \\ c &= 3 \\ (y-(-2))^2 &= 4(3)(x-2) \\ (y+2)^2 &= 12(x-2) \end{aligned} $$
Example 3.5

จงหาจุดยอดของพาราโบลา $y^2 + 6y + 8x + 25 = 0$ (โดยการจัดกำลังสองสมบูรณ์)

$$ \begin{aligned} y^2 + 6y &= -8x - 25 \\ y^2 + 6y + 3^2 &= -8x - 25 + 9 \\ (y + 3)^2 &= -8x - 16 \\ (y + 3)^2 &= -8(x + 2) \\ V(h, k) &= (-2, -3) \end{aligned} $$

Find the vertex of $y^2 + 6y + 8x + 25 = 0$ (by completing the square).

$$ \begin{aligned} y^2 + 6y &= -8x - 25 \\ y^2 + 6y + 3^2 &= -8x - 25 + 9 \\ (y + 3)^2 &= -8x - 16 \\ (y + 3)^2 &= -8(x + 2) \\ V(h, k) &= (-2, -3) \end{aligned} $$
Example 3.6

จากข้อ 3.5 จงหาพิกัดจุดโฟกัส

$$ \begin{aligned} (y + 3)^2 &= -8(x + 2) \\ 4c &= -8 \\ c &= -2 \\ V(h, k) &= (-2, -3) \\ F(h+c, k) &= (-2+(-2), -3) \\ &= (-4, -3) \end{aligned} $$

From Example 3.5, find the coordinates of the focus.

$$ \begin{aligned} (y + 3)^2 &= -8(x + 2) \\ 4c &= -8 \\ c &= -2 \\ V(h, k) &= (-2, -3) \\ F(h+c, k) &= (-2+(-2), -3) \\ &= (-4, -3) \end{aligned} $$
Example 3.7

จงหาสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุดกำเนิด แกนสมมาตรทับแกน X และผ่านจุด $(-2, 4)$

$$ \begin{aligned} (y-k)^2 &= 4c(x-h) \\ (y-0)^2 &= 4c(x-0) \\ (4)^2 &= 4c(-2) \\ 16 &= -8c \\ c &= -2 \\ y^2 &= 4(-2)x \\ y^2 &= -8x \end{aligned} $$

Find the equation of a parabola with vertex at the origin, axis on the X-axis, and passing through $(-2, 4)$.

$$ \begin{aligned} (y-k)^2 &= 4c(x-h) \\ (y-0)^2 &= 4c(x-0) \\ (4)^2 &= 4c(-2) \\ 16 &= -8c \\ c &= -2 \\ y^2 &= 4(-2)x \\ y^2 &= -8x \end{aligned} $$

คำศัพท์ที่น่าสนใจ Key Vocabulary

คำศัพท์คณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ พร้อมรากศัพท์

คำศัพท์ รากศัพท์ / Root ความหมาย / Meaning
Parabola para- (beside) + ballein (to throw) พาราโบลา · เส้นโค้งที่เกิดจากการตัดกรวยด้วยระนาบขนานกับเส้นกำเนิดกรวย
Vertex vertere (to turn) จุดยอด · จุดวกกลับของพาราโบลา จุดกึ่งกลางระหว่างโฟกัสและไดเรกตริกซ์
Focus focus (hearth, fireplace) จุดโฟกัส · จุดคงที่ที่อยู่ด้านในส่วนโค้งพาราโบลา
Directrix dirigere (to set straight) เส้นไดเรกตริกซ์ · เส้นตรงคงที่อ้างอิงที่อยู่ด้านนอกพาราโบลา
Axis of Symmetry axis (axle) + symmetria (agreement in dimensions) แกนสมมาตร · เส้นตรงที่แบ่งพาราโบลาออกเป็นสองซีกเท่าๆ กัน
Latus Rectum latus (side) + rectum (straight) เลตัสเรกตัม · เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัสและตั้งฉากกับแกนสมมาตร
Equidistant aequus (equal) + distans (standing apart) มีระยะห่างเท่ากัน · นิยามหลักของจุดบนพาราโบลาต่อโฟกัสและไดเรกตริกซ์
Vertical vertex (highest point) แนวดิ่ง / แนวตั้ง · พาราโบลาที่เปิดขึ้นหรือเปิดลง
Horizontal horizon (bounding circle) แนวนอน · พาราโบลาที่เปิดซ้ายหรือเปิดขวา